结构构件可靠度的计算方法讲解

,L
,U
* n
)

n i 1
G Ui
Pˆ*
(Ui

U
* i
)

0
G
(U1*
,U
* 2
,L
,U
* n
)

0

a0
ai Xi
i 1
Z
n
2
ai Xi
i 1
根据概率论中心极限定理，当 n，Z 近似服从正态分布
Pf ( )
– 什么条件下，上述公式计算的失效概率是精确的？
– 设计验算点：
X
* i

Xi
i Xi
i
ai
n
ai2
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
Z

g(X1 , X2 ,L
,Xn )
n
(Xi
i 1


X
i
)
g X i
(X1 ,X2 ,L ,Xn )

g(M )
n i 1
(Xi

xi*
)
g X i
M
3.1 均值一次二阶矩法
3. 功能函数的概率特征值 Z g(X1 , X2 ,L , Xn )
Xi

一般情况下，均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极 限状态方程表示的失效面上。
g(X *) 0
例 3.1
3.1 均值一次二阶矩法
结构构件截面强度的功能函数为
Z RS
其中 R 表示结构构件的屈服极限， S 表示结构构件截面的应力。
R 服从正态分布，分别取下面三组分布参数：
err2 7.88% err3 38.55%
3.1 均植的一次二阶矩法
(6) 计算灵敏性系数（第一组参数）
R


g R
g R
P* R
P*
R

2


g S
i
2
P*
s

g X i
P* Xi
n i 1

g X i
2
...
f
n (x0 n!
)
(
x

x0
)
n
Rn
- 二阶矩: 在进行结构可靠度计算时，仅应用随机变量的二 阶矩。
- 均值一次二阶矩法又叫均值法或中心点法.
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.2 线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
n
Z g( X ) a0 a1x1 a2 x2 L an xn a0 ai xi i 1
exp


1 2
2R

2
2 R


1


ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

R



R
2 R

Pf*1 0.1381
Pf*2 0.0926
Pf*3 0.0620
(5) 两种方法计算失效概率的误差
err1

|
Pf*1 Pf Pf*1
1
|
100%

19.70%
Z2

fy
128800
W
( fy


f
y
)

128800
W2
(W
W )
(3)计算功能函数的均值和标准差

均值：
Z1

fy W
128800
103043.8（N·m）
Z2

fy
128800
W
116446830.2（Pa）
Z2

fy
128800
b、在随机不都服从正态分布时，采用均值法计算的可靠指
标计算失效概率，其误差大，也即是 Pf 不成立。
c、均值一次二阶矩法计算的设计验算点不在极限状态方程 表示的失效面。
例 3.2
3.1 均值一次二阶矩法
假定钢梁承受确定性的弯矩M＝128.8kN·m。钢梁截面的塑
性抵抗矩W和材料屈服强度fy都是随机变量，且相互独立。 已知fy的均值和变异系数分布为 fy 262MPa和 fy 0.1；W 的均值和变异系数分布为 W 884.9 106 m3和 W 0.05。试 求构件抗弯可靠指标。
2 X
i

g X i
2
X P*

mZ

n i 1
(mXi

xi* )
g X i
X P*
Z
i
n 1

2 X
i

g X i
2
X P*
2. 方法二
将X空间的相关量转换到标准正态U空间 将随机变量标准化
Ui

Xi Xi Xi
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.2 可靠指标求解
1. 方法一 假定构件功能函数（非线性）
Z g( X ) g( X1, X 2 ,L , X n )
X
是相互独立的正态随机变量，相应的均值和标准差为
i
X
i
和 Xi
。
功能函数泰勒级数展开
将Z在各变量的设计验算点 P* x1*, x2*处,...展, xn*开成泰勒级数，并取
3 1.765
3.1 均值一次二阶矩法
(3) 计算结构构件截面强度的失效概率
Pf ( ) 1 ( )
Pf 1 1 (1) 0.1653
Pf 2 0.0853 Pf 3 0.0381
(4) 采用概率直接积分法计算结构构件截面强度的失效概率
Pf

2
ai Xi
i 1
3.1 均植的一次二阶矩法 一般情况下，下式不成立
Pf
可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率越 大，也即结构的安全性越高。
设计验算点：
X
* i

Xi
i Xi
i
g X i
P*
Xi
2
n g
i1 X i
P*

P* Xi
0.1961 S
g R
g S
P* s
P*
R

2


g S
P*
s

2
0.9806
(7) 计算验算点（第一组参数）
X
* i

Xi
i Xi
R* R RR 9.808
S* S ss 9.712
计算过程:
(1) 建立功能函数 a、按截面塑性弯矩极限状态
3.1 均值一次二阶矩法
Z1 Wf y M Wf y 128800（N·m）
b、材料屈服应力极限状态。
Z2

f
y

M W

fy
128800 W
（Pa）
(2)对功能函数在均值点进行线性化
Z1 fy W 128800 w ( f y fy ) fy (W W )
3.1.2 非线性功能函数
1. 假定构件的功能函数为
Z g(X ) g(X1, X2,L , X n)
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为Xi 和 Xi 。
2. 功能函数泰勒级数展开
将Z在各变量的均值点 M (X1 , X2 ,处L 展, X开n ) 成泰勒级数，并取线 性项
– 随机变量由 X空间向 U 空间变换
X (X1, X 2,L , X n )
U (U1,U2 ,L ,Un )
– 功能函数由X空间向 U 空间变换 Z g( X ) g( X1, X 2 ,L , X n ) Zˆ G(U) G(U1,U2,L ,Un)
– 设计验算点由 X空间向 U 空间变换
式中：ai (i 0,1, 2,L , n) 是常系数；
X i 是相互独立的随机变量，其相应的均值和标准差为Xi
和 Xi 。
2. 功能函数的概率特征值
n
Z a0 ai Xi i 1
Z
n
2
ai Xi
i 1
3.1 均值一次二阶矩法
可靠指标：
n


Z
计算过程:
3.1 均值一次二阶矩法
(1) 计算结构构件截面强度的功能函数的特征值
Z R S
Z

2 R

2 S
(2) 计算结构构件截面强度的可靠指标
Z R S
Z

2 R


2 S
1

Z1 Z

R1 S

2 R

2 S
0.981
2 1.373
同一极限状态方程的不同表达式可得到不同可靠指标的 原因是线性化的功能函数代替真实的功能函数时，功能 函数表达式不同，非线性程度不一样，线性化的功能函 数拟合真实功能函数的精度不一样。
第三章 结构构件可靠度计算方法
3.2 改进的一次二阶矩法
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
3.2.1 基本概念
3.1 均植的一次二阶矩法 (8) 演验算计算验算点是否在失效面上（第一组参数）
g R* S * 0.096 0
(9) 总结 a、可靠指标越大，结构的失效概率越小，结构的保证概率 越大，也即结构的安全性越高。
0.981 1.373 1.765
Pf* 0.1381 0.0926 0.0620
g
(
X
* 1
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)

0
非正态随机变量的当量正态化
改进均值一次二阶法的不足
在极限状态曲面 g(X )寻 找0 验算点 P* ，x1*,并x2*在,...,此xn*基础上
进行泰勒级数展开，应用随机变量的前二阶矩，采用非正态 随机变量的当量正态化，迭代求解结构的失效概率的一种方 法，该方法简称验算点法，后被JCSS推荐使用，又称JC法。
(5) 总结
同一功能要求的不同功能函数表达式，采用均值法计算结果 差别达7.46%。
3.1 均值一次二阶矩法
3.1.4 均值一次二阶矩法的特点
1. 优点 计算简单。 不要求随机变量的概率分布。
2. 缺点
当随机变量不都服从正态分布时，其计算的失效概率是 不准确的。
在随机变量都服从正态分布时，功能函数的非线性程度 影响可靠指标计算精度，功能函数的非线性程度越高， 可靠指标计算的精度越低，功能函数的非线性程度越低， 可靠指标计算的精度越高，
（1）
R 10kN / cm2 R 1kN / cm2 （2）
R
R


12kN
1kN /
/ cm2
cm2 （3）
R R
14kN / cm2 1kN / cm2
S
服从指数分布，分布参数：
S
S
1/ 1/
5kN 5kN
/ cm2 / cm2
计算R取不同分布参数构件截面可靠指标、失效概率和验算点。
第三章 结构构件可靠度计算方法
第三章 结构构件可靠度计算方法
主要内容：
3.1 均值一次二阶矩法 3.2 改进的一次二阶矩法 3.3 响应面法 3.4 优化法 3.5 蒙特卡洛（Monte-Carlo Simulation）法
第三章 结构构件可靠度计算方法
3.1 均值一次二阶矩法
3.1 均值一次二阶矩法
P* (
X
* 1
,
X
* 2
,L
,
X
* n
)
Pˆ *
(U1*
,U
* 2
,L
,U
* n
)
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
在U空间的可靠指标
在U空间，将 Zˆ G(U ) 0 在各变量的设计验算点 Pˆ*(U1*,U2*,L ,Un*) 处展开成泰勒级数，并取线性项
G(U1*
,U
* 2
W
1164436.8130均1 .值5 一次二阶矩法
标准差：
Z1
2 2 W fy


2 fy

2 W

2 2 2 W fy fy


2 fy
W2

2 W
25920.9（N·m）
2
2
Z2
2 fy


128800
W2


2 W

2 2 fy fy


128800
W

W2
27191968.7（Pa）
(4) 计算可靠指标
1

Z1 Z1

103043.8 25920.9

3.975
2

Z 2 Z2
116446830.2 27191968.7
4.283
err | 1 2 | 100% 7.46% (1 2 ) / 2
线性项
Z

g(P*)
n i 1
(Xi

xi* )
g X i
X P*
g(P*) 0
Z

n i 1
(Xi

xi*
)
g X i
X P*
3.2 改进的一次二阶矩法（验算点）
可靠指标计算
mZ

n
(mXi
i1

xi*
)
g X i
X P*

2 Z

i
n 1

3.1.1 基本概念
- 均值点或中心点:非线 性功能函数的泰勒级 数的均值展开点
S
S
均值点
●
R
R
- 一次: 在应用非线性功能函数的泰勒级数进行可靠度计算 分析时，保留随机变量的一次项和常数项。
f (x)
f (x0 )
f '(x0 )(x x0 )
f
'
'(x0 2!
)
(
x

x0
)
2
2
Z
n i 1
g Xi
M
Xi


式中：ai

g X i
M
n
2
ai Xi
i 1
可靠指标： Z g(X1 , X2 ,L , Xn )
Z
2
n
i 1
g Xi
M
Xi

g(M )
n