向量方法解立体几何

用向量方法求空间角和距离
空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角
求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b 求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量，则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 求二面角 二面角l αβ--的平面角α=1212arccos
||||n n n n 求点面距离 设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==
例题：如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角；（II ）求1BC 和面EFBD 所成的角；（III ）求1B 到面EFBD 的距离
例题：如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥''
（Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．（II ）
试问：
当A A '的长度为多少时二面角A C A D -'-大小为？
60 D A C
B P
例题：如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA
上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直；
（II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小． 例题：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面，且PD AD a ==，问平面PBA 与平面PBC 能否垂直？试说明理由．（不垂直）
例题：如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90A ︒∠=，1,,O O G 分别为111,,BC BC AA 的
中点，且12AB AC AA ===．
（1）求1O 到面11ACB 的距离；
（22） （2
）求BC 到面11GBC 的距离．（263）
空间向量与立体几何
例题：已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面外任意一点，若有OC OB OA OP λ++=
3251确定的点与A ，B ,C 三点共面，则λ＝______．（152因为13
251=++λ） 例题：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点。

如图，建立空间直角坐标系．(1)求BN 的坐标及BN 的长；(2)求><11,cos CB BA 的值；(3)求证：A 1B ⊥C 1M ．
例题：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝CC 1，AC ⊥BC ，点D 是AB 的中点．
(1)求证：AC 1∥平面CDB 1；(2)求异面直线AC 1与B 1D 所成的角的大小（30°）．
例题：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AB ，A 1D 1的中点，求证：MN ∥平面BB 1D 1D ．
例题：如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝4，E ，F ，M ，N 分另是A 1D 1，D 1D ，BC ，BB 1的中点． 求证：平面EFC 1∥平面AMN ．
例题：正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BB 1，D 是BC 的中点，
(1)求直线BB 1与平面AC 1D 所成的角余弦值；（552）(2)求二面角C －AC 1－D 的大小（5
15）．
例题：正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝4，点E ，F 分别是CC 1，A 1D 1的中点．
(1)求EF 的长；(2)求点A 到直线EF 的距离（263
2）． 例题：正四棱锥S －ABCD 的所有棱长均为2，E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，SB 的中点． (1)求证：BD ∥平面EFG ，并求出直线BD 到平面EFG 的距离（21）；(2)求点C 到平面EFG 的距离（2
3||||=⋅m m EC ）． 例题：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝1，AB ＝2，BB 1＝3．求两个平行平面AB 1D 1与平面BDC 1之间的距离（
76）．
例题：如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面而得到的，其中AEC 1F 为平行四边形且AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1．(1)求BF 的长；（62|| BF ）(2)求点C 到平面AEC 1F 的距离（11
334）． 例题：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝BB 1＝1，点D 是A 1C 的中点． (1)求A 1B 1与AC 所成的角的大小（45°）；(2)求证：BD ⊥平面AB 1C ；(3)求二面角C －AB 1－B 的余弦值（
33）
例题：在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为4的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA ＝SC ＝22，M ，N 分别为AB ，SB 的中点．(1)证明：AC ⊥SB ；(2)求二面角N －CM －B 的余弦值（为3
1）(3)求点B 到平面CMN 的距离．（为324） 例题：如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，PD ⊥CD ，且PA ＝2，E 为PD 中点．
(1)求证：PA ⊥平面ABCD ；(2)求二面角E －AC －D 的余弦值；（
3
3） (3)在线段BC 上是否存在点F ，使得点E 到平面PAF 的距离为552？若存在，确定点F 的位置；若不存在，请说明理由（线段BC 上存在点F ，使得点E 到平面P AF 的距离为5
52，且F 为BC 中点）。