三次样条插值函数PPT课件
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3.4三次样条插值
3.4.2
三次样条函数插值法
样条(Spline)是早期飞机、造船工作中，绘图员 是早期飞机、造船工作中， 样条 是早期飞机 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时， 用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。绘图时，为 将一些已知点连成光滑的曲线， 将一些已知点连成光滑的曲线，绘图员用压铁把样 条固定在这些点处，因样条有弹性， 条固定在这些点处，因样条有弹性，便形成通过这 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。数学 些点的光滑曲线，沿着它就可画出所需曲线。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 上仿此得出的函数便称为样条函数。 是一种分段函数， 所谓 m 次样条函数 S(x) ，是一种分段函数， 它在节点(a = x0 < x1 <L< xn−1 < xn = b) 分成的每个 xi 小区间i−1, xi ] 上是 次多项式，而在整个区间 ,b] [x [a m 次多项式， 阶导数连续。常用三次样条函数。 上 m−1 阶导数连续。常用三次样条函数。
样条插值的存在惟一问题
1）由于在每个小区间上是三次多项式，有四个 由于在每个小区间上是三次多项式， 待定系数。有个n小区间，共4n个待定系数。 待定系数。有个n小区间， 待定系数。 2）分析三次样条函数满足的条件可得： 分析三次样条函数满足的条件可得： 每个小区间的两个端点上满足插值条件
S j +1 ( x j ) = y j S j +1 ( x j +1 ) = y j +1 ( j = 0,1,2L , n − 1)
( x − x1)( x − x2 ) 1 = 2 ( x − x1 )( x − x2 ) l0(x) = ( x0 − x1)( x0 − x2 ) 2h ( x − x0 )( x − x2 ) 1 其中 l1(x) = = − 2 ( x − x0 )( x − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) h (x − x0 )( x − x1) 1 l2(x) = ( x − x )( x − x ) = 2h2 ( x − x0 )( x − x1 ) 2 0 2 1
三次参数样条曲线PPT精选文档
p 2
t
2 2
p (t)
p1
p 1t
[
3
(
p
2
t
2 2
p1)
2 p 1 t2
p 2 ] t 2 t2
导
[
2
(
p1
t
3 2
p2)
p 1
t
2 2
p 2
t
2 2
]t
3
14
三
次
参 数 样 条 曲
对pi, pi1段有
pi
(t)
pi
pit
[3(piti121
pi
)
2pi ti1
pi1]t2 ti1
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
7
三次样函数的端点条件
(1)夹持端：
端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
三次样条插值ppt
f [x, x0, xn1] f [x0, x1, xn ] f [x, x0, x1, xn ](x xn )
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
把以上各式由后向前代入,可得
Nn (x) f (x0) f [x0, x1](x x0) f [x0, x1, xn](x x0) (x xn1)
Rn (x) f (x) Nn (x) f [x, x0, x1, xn ](x x0) (x xn)
yi
n1 ( x) ( x xi )n' 1 ( xi )
（2）插值误差估计
定理2 设 f (n) (x) 在[a,b] 上连续，f (n1) (x)在 (a,b) 内存在, 节点 a x0 x1 xn b，Pn (x) 是拉格朗日插值多项 式，则对任意 x [a,b] , 插值余项
x4 f ( x4 ) f [x3, x4 ] f [x2 , x3 , x4 ] f [x1, x2, x3, x4 ] f [x0, x1, x2, x3, x4 ]
(2) Newton插值公式
由差约定义 x [a,b]
f (x) f (x0 ) f [x, x0 ](x x0 )
f [x, x0 ] f [x0, x1] f [x, x0, x1](x x1)
xn1] f [x1, x2 , x0 xn
xn ] n 阶差商
差商表
xk
f
(xk )
一阶 差商
二阶差商
三阶差商 四阶差商
x0 f (x0 )
x1 f (x1) f [x0, x1]
x2 f (x2 ) f [x1, x2 ] f [x0 , x1, x2 ]
x3 f (x3 ) f [x2, x3] f [x1, x2 , x3 ] f [x0, x1, x2, x3]
第5章-3-三次样条插值PPT课件
(x
a)
m
m次截断多项式
a
.
7
定理5.5 任意s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)均可唯一地表示为
n
s(x)pm(x) cj(xxj)m , x (4-31) j1
其中pm(x)∈Pm，cj(j=1,2,…,n)为实数。
定理5.6 为使s(x)∈Sm(x1,x2,…,xn)，必须且只须存在pm(x)∈Pm
8
例1 验证分片多项式是三次样条函数。
1 2x
x 3
S ( x) 2825x9x2x3 3x1
2619x3x2x3 1x0
2619x3x2
0 x
解 利用上面的定理(光滑因子)验证．
(x 3)3,
2(x 1)3,
x3,
所以由定理5.5可知该函数为三次样条函数．
例，设
x3x2
0x1
S(x) a3xb2 xc x11x2
信息;
样? ?条?插插值值：:（样条函数—满足一定光滑性的分段多项式）。 局部性好, 满足一定光滑性, 收敛性保证, 只需要函数值
信息。
.
2
样条函数是一个重要的逼近工具，在插值、数值微分、曲 线拟合等方面有着广泛的应用。
定义5.3 对区间(-∞，+∞)的一个分割：
: x 1 x 2 x n ,
n
p n (x )p n 1 (x ) c n (x x n )m p0(x) cj(xxj)m j1
为了便于表示分段信息, 引进截断多项式：
(x a)m
(x a)m , x a,
0, x a,
(5-30)
易见
(x
a)
m
∈Cm-1(-∞,+∞)
数学数值分析三次样条插值PPT课件
第2页/共40页
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
第10页/共40页
2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
第18页/共40页
S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
2.8.1 三次样条函数
定义 给定区间[a,b]的一个划分 a=x0<x1<…<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,…,n),如果函数S(x)满足： (1) S(xi )=yi (i=0,1,…,n); (2) 在每个小区间[xi, xi+1] (i=0,1,...,n-1)上是次数不超
S上且( xS与)(x相)的(邻x表节达x点j式的1 )为2两[hh个jj3转2角( x有关x j，)]故y j称为三h转j=x角j+方1-x程j 。
(
x
x
j
)2[hj 2( hj3
x
x j1 )] y j1
(x
x j1 )2 ( x h2j
xj)
mj
(x
x j )2( x h2j
x j1 )
m j1
则方程组化为：
2 1 2 2 2
m1 g1 1 f0
m2
g2
n2 2 n2 mn2 gn2
n1 2 mn1 gn1 n1 fn
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2、已知 S( x0 ) f0, S( xn ) fn
2m0
m1
3
f
[x0 ,
x1 ]
h0 2
f0
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S(
x)
M
j
(
x j1 6hj
x)3
M
j1
(x
x 6hj
j
)3
(
y
j
M jh2j 6
)
x
j1 hj
x
(
y
j1
M
j1h2j 6
)
x
x hj
样条函数及三次样条插值PPT课件
(x)
lim
x xk
Sk 1( x)
lim
x
x
k
Sk (x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
k 1,2,,n 1
------(4)
lim
x
x
k
Sk( x)
lim
x
x
k
Sk1( x)
共4n 2个条件
5
Sk (x)是[xk , xk 1 ]上的三次样条插值多项式,应有4个待定的系数 即要确定S(x)必须确定4n个待定的系数 少两个条件 并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制 也要对插值多项式在两端点的状态加以要求 也就是所谓的边界条件:
例. 使用不同的插值方法于函数
y
1
1 x2
x [5,5]
最后，介绍一个有用的结论
定理 . 设f (x) C 2[a,b], S(x)是以xk (k 0,1,, n)
为节点, 满足任意边界条件的三次样条插值函数，
设hi
xi 1
xi
,
h
max
0in1
hi
,
min
0in1
hi
,
则当 h
c 时
S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x)和f (x)
------(6)
13
由(11)式,可知
S0( x0
)
6( x0
x1 h03
2 x0
) ( y1
y0 )
6 x0
2 x0 h02
4 x1
m0
6 x0
4 x0 h02
2 x1
m1
6 h02
(
第2章 7.三次样条插值
(1 ≤ x ≤ 2 ) ( 2 ≤ x ≤ 4) (4 ≤ x ≤ 5)
三次样条/ 三次样条 Cubic Spline /插值 插值
邹昌文
三次样条函数的定义
设在xoy平面上给定 n + 1个有序点( x0 , y0 ) ⋯ ( x n , yn ), 其中x0 < x1 < ⋯ < x n , 要求构造 一个函数 S ( x )使其满足条件 1. S ( x i ) = yi ( i = 0,1,⋯ n)
∧
已知的函数值如下： 例.已知的函数值如下：
x f (x)
1 1
2 3
4 4
5 2
在区间[1,5]上求三次样条插值函数S(x),使它满足 在区间[1,5]上求三次样条插值函数S(x),使它满足 S(x), 边界条件 S ′′(1) = 0, S ′′( 5) = 0 这是在第二种边界条件下的插值问题， 解:这是在第二种边界条件下的插值问题，由已知 ′ 边界条件, 边界条件,有 S′′( x0 ) = y0′ = M0 = 0, S′′( x3 ) = y′′ = M3 = 0 3 则得求解 M 1 , M 2 的方程组为
这时： 0 = 0 , g0 = 2 y0′ ; µn = 0 , gn = 2 y′′ 这时： ′ λ n 特别地， 称为自由边界 特别地，M0 = Mn = 0 称为自由边界 / free boundary /，对应的样 ， 条函数称为自然样条 。 条函数称为自然样条 / Natural Spline /。 第3类边条件 / periodic boundary / ： 类边条件 µ M g 2 λ 周期函数时 当 f 为周期函数时，
2 λ1 M1 g1 − µ1 y0 '' 6 f [ x0 , x1 , x2 ] − µ1 y0 '' µ 2 M = g − λ y '' = 6 f [ x , x , x ] − λ y '' 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3
第二章三次样条插值
hk hk 1
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k 0,1,2
小结
1 x3 3 x2 7 x 1
8 8 4
1 x2
S(x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
3 x3 45 x2 103 x 33
88
4
2x4 4x5
f (3) S(3) 17 4
最后，介绍一个有用的结果
定理 . 设f (x)C2[a,b],S(x)是以xk (k 0,1,,n)
m2 m3
g0 g1 g2
g3
解方程组得：m0
17 8
, m1
Байду номын сангаас
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
将上述结果代入(10)式
S0 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
S1 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
1 x 2 2x4
S2(x)
3 8
x3
45 8
x2
103 4
x
33
4x5
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
mk 1 2mk
hk 1 hk hk 1
k 1
3( hk yk1 yk hk1 yk yk1 )
hk hk 1
hk
hk hk 1
hk 1
k mk1 2mk k mk 1 gk
k
hk
hk hk 1
k
hk 1 hk hk 1
gk
3(k
yk yk 1 hk 1
k 0,1,2
小结
1 x3 3 x2 7 x 1
8 8 4
1 x2
S(x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
3 x3 45 x2 103 x 33
88
4
2x4 4x5
f (3) S(3) 17 4
最后，介绍一个有用的结果
定理 . 设f (x)C2[a,b],S(x)是以xk (k 0,1,,n)
m2 m3
g0 g1 g2
g3
解方程组得：m0
17 8
, m1
Байду номын сангаас
7 4
, m2
5 4
, m3
19 8
将上述结果代入(10)式
S0 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
S1 ( x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
1 x 2 2x4
S2(x)
3 8
x3
45 8
x2
103 4
x
33
4x5
注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需 要）；而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。
-三次样条插值课件
Ai
1 hi
y i 1
1 6
M
h2
i1 i
,
Bi
1 hi
yi
1 6
M
i
hi2
将其代入（5.31）即得
第8页，共38页。
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
yi1
M i1 6
hi2
(xi hi
x)
yi
Mi 6
hi2
(x
xi1) hi
)
将
x0
1, x1
2, y0
1, y1
3, h1
1, M 0
0, M1
3 4
代入上式化简后得
S1 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
同理S(x)在 x1 , x2 上的表达式为
S2 (x)
1 8
x3
3 8
x2
7 4
x
1
第20页，共38页。
S(x)在 x2 , x3 上的表达式为
S3 (x)
S i( x)
M i1
xi x xi1 xi
Mi
x xi1 xi xi1
记 hi xi x，i1 则有
S i( x)
M i1
xi x hi
Mi
x xi1 hi
第7页，共38页。
连续两次积分得
Si (x)
M i1
(xi x)3 6hi
Mi
(x xi1 )3 6hi
Ai (xi
y0
M 0
h1 2
y1 y0 h1
h1 6
样条函数(三次样条)
样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。
1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是一个分段定义的公式。
给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, …, n-1，x递增），都是一个三次多项式。
b. 满足（i = 0, 1, …, n ）c. ，导数，二阶导数在[a, b]区间都是连续的，即曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, …, n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解已知:a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-1微分连续性：, 其中i = 0, 1, …, n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出b. 由(i = 0, 1, …, n-1)推出c. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出由此可得：d. 由(i = 0, 1, …, n-2)推出设，则a. 可写为：，推出b. 将ci, di带入可得：c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, …, n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式，但却有n+1个未知量m 。
要想求解该方程组，还需另外两个式子。
所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。
选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。
具体表示为和则要求解的方程组可写为：b. 固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。
三次样条插值
则有: S(-1)= – a1+b1–c1+d1=f(-1)=1, S(1)=a2+b2+c2+d2= f (1) =1,
S(0)=d1= f(0)=0,
S(0-0)= d1=S(0+0)=d2, S'-(0)= c1= S'+(0)= c2, S''-(0)=b1= S''+(0)=b2 由自然边界条件: S''(0)= – 6a1+2b1=0, S'(1)= 6a2+2b2=0 解方程组,得 a1=-a2=1/2, b1=b2=3/2, c1=c2=d1=d2=0
令 S( x j ) M j，（j 0,1,2,, n)
参数
插值函数， 因为S j ( x)是三次样条
所以, S [ x j , x j 1 ]上是一次函数,由两点拉格朗日插值可表示为 j ( x)在 x j 1 x x xj S ( x) Mj M j 1 , x [ x j , x j 1 ], hj x j 1 x j hj hj (2.46) 对上式积分,得 ( x j 1 x)2 ( x x j )2 S ( x) Mj M j 1 c1 , (2.47) 2h j 2h j
( xi , f ( xi )),(i 0,1,, n)且 a x0 x1 xn b ;
f ( x ) 于 [a , b] 存在 ，则 ( a （或（ ) b ）或（ c ）） (2)给定边界条件
) b）或（ c））。 唯一3次样条插值函数 S ( x ),且满足 (a（或（
第二章 插值法
例 2.13 已知 f (–1) = 1, f (0) = 0, f (1) = 1.求[–1，1] 上的三次自然样条(满足自然边界条件). 解设
三次样条插值
f(x) H(x) S(x)
由三次样条函数的定义，在每个[ xi , xi +1 ]上要确定 S( x) ∈ C 2[a, b] 三次样条函数的定义， 共有4个待定系数，需要 个条件！共有n个小区间 需4n个条件 共有 个待定系数，需要4个条件！共有 个小区间， 4n个条件！ 个待定系数 个条件！
例如，对于第一种条件，可以导出以下两个方程
6 2 M 0 + M 1 = ( f [ x0 , x1 ] − f ′( x0 )) = d 0 h1 6 M n −1 + 2 M n = ( f ′( x n ) − f [ xn −1 , xn ]) = d n hn
可得以下线性代数方程组：
2 λ0 M0 d0 λ1 2 µ1 M1 d1 M = M O O O λn−1 2 µn−1 Mn−1 dn−1 λn 2 Mn dn
xi Mi
f ( x ) y i −1 f ′′( x ) M i −1
yi
f ′′( x ) M i −1
M i S i′′( x ) = M i −1l i −1 ( x ) + M i l i ( x )
由连接条件 Si′(−i x 0) = Si′+x(− ix− 0)，i = 1 2Ln ， xi x − 1 x i −1 Si′′( x) = M i −1 + Mi mn 由条件 xi − m 0 , m 1 ,xL xi −1 , m n + 1 i − 共n+1个未知数： xi −1 个未知数： 个未知数 上式可以写成关于n+1个未知数的 个线性方程组： 个未知数的n-1个线性方程组 上式可以写成关于 个未知数的 个线性方程组： xi ， x x − xi −1 Si h ， (i i 由补充的两个条件，恰好构成封闭线性方程组，1该方程组的特 由补充的两个条件− h恰好构成封闭线性方程组x−−1 ) = f ( xi −1 ) i+M M λi= a ii −11+ 2 M i + µ i, b i i += = ,d ii = i = 1 , 2 L = 1 −1 a i M i− M= n− 1 2 c h 点是：除了首末方程外， c mhi = d 点是：除了首末方程外，每个方程中只有三个未知数而且脚标 h i −(1x+) h i f ( x ) S = a m h+−ib m h+ i 1 + i
由三次样条函数的定义，在每个[ xi , xi +1 ]上要确定 S( x) ∈ C 2[a, b] 三次样条函数的定义， 共有4个待定系数，需要 个条件！共有n个小区间 需4n个条件 共有 个待定系数，需要4个条件！共有 个小区间， 4n个条件！ 个待定系数 个条件！
例如，对于第一种条件，可以导出以下两个方程
6 2 M 0 + M 1 = ( f [ x0 , x1 ] − f ′( x0 )) = d 0 h1 6 M n −1 + 2 M n = ( f ′( x n ) − f [ xn −1 , xn ]) = d n hn
可得以下线性代数方程组：
2 λ0 M0 d0 λ1 2 µ1 M1 d1 M = M O O O λn−1 2 µn−1 Mn−1 dn−1 λn 2 Mn dn
xi Mi
f ( x ) y i −1 f ′′( x ) M i −1
yi
f ′′( x ) M i −1
M i S i′′( x ) = M i −1l i −1 ( x ) + M i l i ( x )
由连接条件 Si′(−i x 0) = Si′+x(− ix− 0)，i = 1 2Ln ， xi x − 1 x i −1 Si′′( x) = M i −1 + Mi mn 由条件 xi − m 0 , m 1 ,xL xi −1 , m n + 1 i − 共n+1个未知数： xi −1 个未知数： 个未知数 上式可以写成关于n+1个未知数的 个线性方程组： 个未知数的n-1个线性方程组 上式可以写成关于 个未知数的 个线性方程组： xi ， x x − xi −1 Si h ， (i i 由补充的两个条件，恰好构成封闭线性方程组，1该方程组的特 由补充的两个条件− h恰好构成封闭线性方程组x−−1 ) = f ( xi −1 ) i+M M λi= a ii −11+ 2 M i + µ i, b i i += = ,d ii = i = 1 , 2 L = 1 −1 a i M i− M= n− 1 2 c h 点是：除了首末方程外， c mhi = d 点是：除了首末方程外，每个方程中只有三个未知数而且脚标 h i −(1x+) h i f ( x ) S = a m h+−ib m h+ i 1 + i
2.3.3三次样条插值
17 7 5 19 , m1 , m2 , m3 8 4 4 8
6 2 ( f [ x 0, x1] f ) M0 M1 0 h 1 6 ( f f [ x n1, x n ]). M n1 2M n n hn
华长生制作 11
这样可解出
M
i
d
0
6
h
( f [ x 0, x1]
f ), n 0 1,
华长生制作
S ( p) ( x0 0) S ( p) ( xn 0) ------(7) p 1,2 7
一般使用第一、二类边界条件, 常用第二类边界条件 加上任何一类边界条件(至少两个)后
确定S( x)必须确定4n个待定的系数的条件正 好也是4n个
即
lim S ( x ) lim S ( x ) k 1,2 ,, n 1 lim S ( x) lim S ( x) ------(8) k 1 , 2 , , n 1 lim S ( x) lim S ( x) k 1,2 ,, n 1 S(x 0) m S(x 0) m 或 S(x 0) M S( x 0) M
当 x [ xi 1 , xi ] 时, S ( x ) 的表达式可得,因此有
S ( x i 0) f [ x i 1 , x i ] hi 1 ( M i 1 2 M i ). 6
利用条件 S( xi 0) S( xi 0) 得
华长生制作 10
i M i 1 2M i i M i 1 d i, i 0,1, 2,
13
例1. 对于给定的节点及函数值 k 0 1 2 3 xk 1 2 4 5 f ( xk ) 1 3 4 2
第五章 三次样条插值Spline
Sketch of the Algorithm: Cubic Spline
①
② 计算 M (追赶法等) ; 计算 αi , γi , βi ; i ③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ; ④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
Cubic Spline
例
由函数表 i 0 xi 0 0 yi
的近似值，而且常用 S (x) [(3.2)式]近似计算 f (x) .
稳定性：只要方程组系数矩阵为SDD阵，保证数
值稳定。
另有三转角法得到样条函数，即设 S (xi) = mi，则
易知[xi, xi+1 ]上的S(x) 就是Hermite函数. 再利用S(x) 的连续性，可导出关于mi 的方程组，加上边界条件 即可解。
S ( x ) x xi x x i 1 M i 1 Mi , hi hi
其中 hi = xi – xi-1 . 对S (x) 积分两次得
( xi x )3 ( x xi 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi C1 x C2 6hi 6hi
x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,, n
这是三次样条插值函数的表达式,当求出Mi 后, S(x)就完全确定.
为了求 Mi ,需要利用S(x)在内结点处一阶导数连续的条件, 由上式可得
( xi x )2 ( x xi 1 )2 yi yi 1 hi S ( x ) M i 1 Mi M i M i 1 (3.2) 2hi 2hi hi 6
0 0 0 M 0 0 2 0 0 M 2 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 M 2 2 0 0 0 0 0 0 n 1 2 n 1 M n 1 n 1 0 n 2 0 0 0 Mn n
①
② 计算 M (追赶法等) ; 计算 αi , γi , βi ; i ③ 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 i ) ; ④ 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。
Cubic Spline
例
由函数表 i 0 xi 0 0 yi
的近似值，而且常用 S (x) [(3.2)式]近似计算 f (x) .
稳定性：只要方程组系数矩阵为SDD阵，保证数
值稳定。
另有三转角法得到样条函数，即设 S (xi) = mi，则
易知[xi, xi+1 ]上的S(x) 就是Hermite函数. 再利用S(x) 的连续性，可导出关于mi 的方程组，加上边界条件 即可解。
S ( x ) x xi x x i 1 M i 1 Mi , hi hi
其中 hi = xi – xi-1 . 对S (x) 积分两次得
( xi x )3 ( x xi 1 )3 S ( x ) M i 1 Mi C1 x C2 6hi 6hi
x [ xi 1 , xi ], i 1, 2,, n
这是三次样条插值函数的表达式,当求出Mi 后, S(x)就完全确定.
为了求 Mi ,需要利用S(x)在内结点处一阶导数连续的条件, 由上式可得
( xi x )2 ( x xi 1 )2 yi yi 1 hi S ( x ) M i 1 Mi M i M i 1 (3.2) 2hi 2hi hi 6
0 0 0 M 0 0 2 0 0 M 2 0 0 0 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 M 2 2 0 0 0 0 0 0 n 1 2 n 1 M n 1 n 1 0 n 2 0 0 0 Mn n
【VIP专享】_三次样条插值课件
S (x0 ) S (xn ), S (x0 ) S (xn )
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条件
和连接条件，就能得出4n个方程，可以惟一确 定4n个系数。从而得到三次样条插值函数S(x) 在各个子区间xi , xi+1上的表达式S(xi） (i=1,2,…,)。但是，这种做法当n较大时，计 算工作很大，不便于实际应用。因此我们希望找
三次样条插值函数S(x)是一个分段三次多项式,要求出 S(x),在每个小区间xi,xi+1上要确定4个待定参数,若用 Si(x)表示它在第i个子区间xi,xi+1上的表达式，则
Si (x) ai0 ai1x ai2 x2 ai3 x3 i 0,1, , n 1
其中四个待定系数为 ai0 , ai1, ai2 , ai3 ,子区间共有n个 所以要确定S(x)需要4n个待定系数。
第二种类型：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
作为特例,S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。满 足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然样 条插值函数。
第三种类型：当f(x)是以为 xn x0 周期的函数时， 则要求S(x)也是周期函数,这时边界条件应满足 当 f (x0 ) f (xn ) 时，
i 1,2, , n 1
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n个,因此 还需要2个条件才能确定S(x),通常在区间端点上
a x0 ,b xn 各加一个条件,称为边界条件, 常用边 界条件有三种类型。
第一种类型：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S (x0 ) f (x0 ), S (xn ) f (xn )
另一方面,要求分段三次多项式S(x)及其导数 S(x) 和 S(x) 在整个插值区间a,b上连续,则要求它们在 各个子区间的连接点 x0 , x1 , , xn1 上连续， 即满足条件
4.4三次样条插值(共70张PPT)
解 做差商表(P111),由于是等距离(jùlí)节点,
hi xi xi1 0.15 i 1,2,3,4
i
hi hi1 hi
1 2
,
i
hi1 hi1 hi
1 2
第二十六页，共七十页。
由第二类边界条件得
2 1
M0 5.86667
0.5
2
0.5
M
1
5.14260
0.5
x1 6
] f
[
xi
1
,
xi
,
xi
1
]
（i 1,2,..., n 1）
M
n
1
2Mn
6
f [xn1, xn , xn ]
第二十二页，共七十页。
三次(sān cì)样条插值
第二类边界条件 s'' (x0 ) f '' (x0 ) M 0 , s'' (xn ) f '' (xn ) M n 同理可得
yi xi
yi1 xi1
2 (6 Mi
1 6 M i1)(xi
xi1)
(2)
因为s( x)连续，所以（1）（2）即
yi1 yi xi1 xi
(
1 6
M
i 1
2 6
M
i
)( xi 1
xi
)
yi xi
yi1 xi1
(
2 6
M
i
1 6
M
i 1
)( xi
xi1)
记hi xi xi1
i
hi hi1 hi
则法方程为其中xedx1008731273130873127313169030903平方误差为06277452对离散数据的曲线拟合最小二乘法曲线拟合问题对于fx插值问题要想提高精度就要增加节点因此多项式的次数也就太高计算量过大而节点少多项式的次数低但误差精度不能保证为了消除误差干扰取多一些节点利用最小二乘法确定低次多项式近似表示fx这就是曲线拟合问题
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.
1
4.5.1 三次样条差值函数的力学背景
在工程和数学应用中常有这么一类数据处理问题：在平面 上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑的曲线把这些 点按次序连接起来。在过去很长一段时间内，工程技术人员为 了得到这条光滑的曲线，常常使用一条富有弹性的均匀细木条 （或是有机玻璃条），一次经过这些点，并用亚铁在若干点处 压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，并形象地称之 为“样条曲线”。
在力学上，如果把细木条看成弹性细梁，亚铁看成作用在
梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载
荷作用下的弯曲变形曲线。
.
2
.
3
4.5.2 三次样条差值函数
.
4
.
5
.
6
.
7
.
8
相邻区间的长度比
插值数据在 处的二阶中心 差商的3倍
.
9
.
10
从而得
.
11
边界条件
方程组都为n+1个未 知数、n-1个方程的 线性方程组
无法保 证唯一 解
按具体问题的要求在区 间端点给出约束条件， 称为边界条件
加两个 条件
.
12
边界条件的分类
.
13
讨论M连续方程的各类边界条件
.
14
.Leabharlann 15.16
.
17
三次样条插值函数的性质
.
18
.
19
.
20
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4.5.1 三次样条差值函数的力学背景
在工程和数学应用中常有这么一类数据处理问题：在平面 上给定了一组有序的离散点列，要求用一条光滑的曲线把这些 点按次序连接起来。在过去很长一段时间内，工程技术人员为 了得到这条光滑的曲线，常常使用一条富有弹性的均匀细木条 （或是有机玻璃条），一次经过这些点，并用亚铁在若干点处 压住，然后沿这条细木条画出一条光滑的曲线，并形象地称之 为“样条曲线”。
在力学上，如果把细木条看成弹性细梁，亚铁看成作用在
梁上的集中载荷，“样条曲线”就可模拟为弹性细梁在外加集中载
荷作用下的弯曲变形曲线。
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4.5.2 三次样条差值函数
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相邻区间的长度比
插值数据在 处的二阶中心 差商的3倍
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从而得
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11
边界条件
方程组都为n+1个未 知数、n-1个方程的 线性方程组
无法保 证唯一 解
按具体问题的要求在区 间端点给出约束条件， 称为边界条件
加两个 条件
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边界条件的分类
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13
讨论M连续方程的各类边界条件
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三次样条插值函数的性质
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