计算流体力学清华大学讲义

∂u ∂u + u = 0 ∂t ∂x u ( x ,0 ) = f ( x )
类比于线性的波传播方程，可以设 通解为： u ( x , t ) 讨论： u x
= f ( x − ut )
= f '⋅(1 − u x t )
⇒
ux =
f' 1 + f 't
（1－3－5）
若 1 + f '⋅t = 0, 即 1＋f ' ( x( s ) − ut ( s ) ) ⋅ t ( s ) = 0
模型方程可以提炼为：
∂u ∂u ∂ 2u + u =α ∂t ∂x ∂x 2
一维 Burger 方程。
（二） 。几个典型的模型方程 l 一维波传播方程：
∂u ∂u + a = 0 ∂t ∂x ∂u ∂ 2u =α ∂t ∂x 2 ∂u ∂u ∂ 2u + a =α ∂t ∂x ∂x 2
l
一维热传递方程：
ϕ t − αϕ xx = 0
（1－3－3）
则（1－3－2）给出了 Burger 方程的解析解的一般形式。 若 u ( x, t ) 的初始条件为 u ( x ,0)
= f ( x ) ，则由（1－3－2）给出的的对应于
1 ϕ ( x, t ) 的初始条件是： ϕ ( x,0) = exp[− 2α
1 1 1 ( − λ)2 ( − λ )( − λ) = 0 u u+a u−a 1 1 1 λ1, 2 = , λ3 = λ4 = u u+a u−a
为四个实根，即方程在 Y-t 平面为双曲型；所以 Euler 方程可以在时间座 标方向推进，而在定常问题中能否推进计算，必须根据流动是否为超音速 （M 与 1 的关系）来定。 3．定常不可压缩 Navier –Stokes 方程的数学分类
t(s ) , x 其对应的 u 为 u(s),使上式为 0。 （s） 表示在 t-x 座标中 的某一 个特定的点，
此时 u x → ∞, 且 t ( s ) > 0 ∴ f ' ( x( s ) − ut ( s ) 0 < 0
即 u ( x, t ) ，必定在 ( x( S ), t ( s ) ) 点发生解的间断，间断的位置由（1－3－5）式确 定 §1.4 计算流体力学的控制方程 （一） 。概述 l 物理问题的解析解通常 依赖于 一些特殊形式的 方程（如采用 若干简化假 设、选用高阶形式的方程，以避免方程个数过多等） ；而对于计算流体力 学的求解，由于数值计算的特点，不惧怕方程的复杂，因此可以基于更一 般的方程形式，例如，可以由最基本的物理守恒律Baidu Nhomakorabea出的普遍形式作为出 发方程。 l 对于求解一个实际问题，往往需要在任意曲线坐标系下来描述，在数值计 算中，需要贴体坐标系。因而，要求在任意的非正交曲线坐标系下来描述 物理问题是极为平常的情况。 （此点于理论的解析解是极为不同的） l 对于理论分析，采用守恒或非守恒变量，守恒方程或非守恒方程，通常没 有本质的差别，但在离散的数值计算中，守恒型与非守恒型将可能导致很 大的差别，故方程的守恒性是计算流体中，必须特别注意的问题。 （二） 。基本守恒律的数学描述 1．连续方程：
∂2 ∂2 << ∂x 2 ∂y 2
把流动方向的二阶偏导数略去， （注意与边界层方程不同的是一阶偏导数都将保留！ ） 结论是定常 N-S 方程此时变为抛物型方程。 §1.3 模型方程以及在计算流体力学中的应用 （一） 。模型方程的引入 简化对差分格式的性质的讨论及考核 必须反映物理问题的最基本的特征，且方便于进行理论分析
ϕ ϕ ϕ ∂u u = 4α 2 x ( xx − x2 ) ∂x ϕ ϕ ϕ ϕ 2ϕ ϕ ∂ 2u 2 ϕx α 2 = −2α 2 [( xx ) x − x 2 xx ) + ϕ ∂x ϕ ϕ3
代入（1－3－1） ，则得
3
2
ϕ ∂ ϕt [ − α xx ] = 0 ∂x ϕ ϕ
不妨设 ϕ 为满足抛物方程得解 ，即：
{
}
如果：
1 ）u 2 + v 2 − a 2 > 0 2）u 2 + v 2 − a 2 < 0
2。二维非定常理想流体流动的 Euler 方程
∂U ∂U ∂U +A +B =0 ∂t ∂x ∂y ∂U ∂U ∂U +C +D =0 ∂x ∂y ∂t D = A −1 C = A −1 B
求 C 的特征值，结论与定常相同：得到在 X-Y 平面的方程性质； 求 D 的特征值，得：
∂u ∂u ∂ 2u + u =α ∂t ∂x ∂x 2
（1－3－1）
α ：粘性系数， α = 0 时为无粘方程。
解： α ≠ 0
u ( x, t ) = −2α
时，可令未知函数具有如下的形式：
ϕx ϕ
（1－3－2）
其中 ϕ ( x, t ) 是待定的二阶可微分函数，将其代入（1－3－1）式：
ϕ x t ϕ xϕ t ∂u ∂ ϕ = −2α ( − 2 ) = −2α ( t ) ∂t ϕ ∂x ϕ ϕ
u
∂ρ ∂x ∂u u ∂x ∂v u ∂x ∂p u ∂x
+ v + + +
a2 = γ
∂ρ ∂u ∂v + ρ( + ) = 0 ∂y ∂x ∂y ∂u 1 ∂p v = − ρ ∂x ∂y ∂v 1 ∂p v = − ρ ∂y ∂y ∂p ∂ρ ∂ρ v − a 2 (u + v ) = 0 ∂y ∂x ∂y p ρ ∂U ∂U +B =0 ∂x ∂y ∂U ∂U +C =0 ∂x ∂y
∂u ∂v =− ∂x ∂y ∂u 降阶法：令： g = ∂y ∂v h= ∂x − − 1 ∂p µ ∂ 2u ∂ 2u + ( + ) = uf + vg ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂y 2
1 ∂p µ ∂ 2v ∂ 2v ( ) = uh − vf + + ρ ∂y ρ ∂x 2 ∂y 2 ∂f ∂g − = 0 ∂y ∂x ∂f ∂h + = 0 ∂x ∂y ∂u = f ∂x ∂v = h ∂x
v ρ 0 0 v 0 B= 0 0 v 0 0 γp v 2 u (u − a ) v − 2 2 ρ (u − a ) 1 ρu uv u2 − a2
2
0 0 1 ρ v
0 − ρva 2 u2 − a2
例如：以流－涡函数描述二维流动问题时有方程：
∂Ω ∂Ω ∂Ω µ ∂ 2Ω ∂ 2Ω + u + v = ( + ) ∂t ∂x ∂y ρ ∂x 2 ∂y 2 ∇ 2Ψ = Ω r r r r r ∂V ∂V ∂V ∂ 2V 1 µ ∂ 2V 又如： + u + v = − ∇p + + ( ) ∂t ∂x ∂y ρ ρ ∂x 2 ∂y 2
∂U ∂U +A =F ∂t ∂xi u1 u 2 . 其中 U = A 为 n 阶矩阵 . . u n
若： A 的特征值为 λi (i = 1, 2,...n),即 A − λI = 0的根 ,则： ⑴．当 n 个特征值全部为复数时，称方程在 (t , xi )平面上为纯椭圆型； ⑵．当 n 个特征值全部为互不相等的实数时，称方程在(t , xi )平面上为纯双 曲型；而当 n 个特征值全部为实数，但有部分为相等的实数时，称方程在(t , xi )平面上为双 曲型； ⑶．当 n 个特征值全部为零时，称方程在 (t , xi )平面上为纯抛物型； ⑷．当 n 个特征值部分为复数、部分为实数时，称方程在(t , xi )平面上为双 曲椭圆型； 二阶拟线性方程组，可以通过降阶法进行类似的分析。( 实例见后) （二） 流体力学控制方程数学分类的举例： 1． 二维定常理想流体 流动的 Euler 方程
写成向量形式： A
ρ u U= v p v u 0 C = A −1 B = 0 0
u ρ 0 u A= 0 0 0 γp − ρv u − a2 uv 2 u − a2
2
0 0 u 0
2
0 1 ρ 0 u
+∝ −∝
∫ f (ξ )dξ ] ≡ F ( x)
0
x
由（1－3－3）给出的 Burger 方程的通解是：
ϕ ( x, t ) =
1 4παt
∫ F (ξ )e
−
( x−ξ ) 2 4αt dξ
再代入（1－3－2）可得 u ( x, t ) 的解析解。特别指出，粘性 Burger 方程的解是 连续的。 无粘 Burger 方程解的间断性：
l
一维对流扩散方程：
l
Laplace 方程：
∂ 2u ∂ 2u + = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂u ∂u ∂ 2u + u =α ∂t ∂x ∂x 2 ∂u ∂u + u = 0 ∂t ∂x
l
Burger 方程：
l
无粘 Burger 方程：
其中前 4 个方程为线性方程，可求出解析解，后两个方程为非线性方程，也可以求出解析解。 ▲ Burger 方程的解析解：
∂u ∂v + = 0 ∂x ∂y u u 1 ∂p µ ∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u ( ) + v = − + + ρ ∂x ρ ∂x 2 ∂x ∂y ∂y 2 1 ∂p µ ∂ 2v ∂ 2v ∂v ∂v ( ) + + v = − + ρ ∂y ρ ∂x 2 ∂x ∂y ∂y 2 f =
第一章
绪论
§1.1 计算流体力学简介 （一） 什么是计算流体力学 1．以计算机作为模拟手段，运用一定的计算技术寻求流体力学各种复杂问题的 离散化数值解。 l 数值解而不是解析解； l 计算技术起关键作用； l 与计算机的发展紧密相关 2．计算流体力学、理论流体力学、实验流体力学是流体力学研究工作的三种主 要手段――既互相独立又相辅相成 n 理论分析具有普遍性――各种影响因素清晰可见、为实验和计算研究 提供依据 n 实验研究仍是研究工作的 基石，数值研究的许多方面都密切依赖于实 验研究：实验提供数据；计算结果需由实验验证；观察实验 现象分析 实验数据以建立计算模型等等。 n 数值模拟是特殊意义下的实验，也称数值实验 （二） 计算流体力学研究工作的方向 1． 与现代计算技术的发展相关联的研究方向： （与计算物理，计算力学发展、 图形学、网格技术等） 2． 与离散数学的理论研究相关连的研究方向； 离散化理论、边界条件数值处理的稳定性分析、格式的熵条件等 3． 在一些相关学科的边缘上寻求新的发展点； 4． 解决众多相关学科的的 科研工作和工 程实际提出的与流体力学问题有关 的各类复杂的问题 机械、航天航空、气象、海洋、石油、环境（包括气动噪音控制） 、建筑、 （三） 计算流体力学研究工作的优势、存在的问题和困难 1．优势： “数值实验”比“物理实验”具有更大的自由度和灵活性，例如“自由”地选 取各种参数等 “数值实验”可以进行“物理实验”不可能或很难进行的实验；例如：天体内 部地温度场数值模拟，可控热核反应地数值模拟 “数值实验”的经济效益极为显著，而且将越来越显著； 2．问题与不足 流动机理不明的问题，数值工作无法进行； 数值工作自身仍然有许多理论问题有待解决； 离散化不仅引起定量的误差，同时也会引起定性的误差，所以数值工作仍然 离不开实验的验证； §1.2 流体力学微分方程的数学性质 当微分方程转化为差分方程并用数值方法求解时，不同类型的微分方程，其数 值处理方法各异，其中包括提法的适定性、物理解的性质、差分格式的适用性 等； 在一些特殊的问题中，甚至通过差分格式的特殊技巧来改变方程的数学性质 （一） 一阶拟线性微分方程组的分类 对于一阶拟线性微分方程组的向量形式：
以下的分析与一阶拟线性方程组的讨论相似，结论为定常 N-S 方程为椭圆 型。 4．非定常不可压缩 Navier –Stokes 方程 5．定常可压缩 Navier –Stokes 方程 6．非定常可压缩 Navier –Stokes 方程类 7．抛物化 N –S 方程 利用边界层流动的概念，设 X 方向为主流方向，即考虑有：
ρu u − a2 a2 − 2 u − a2 v u γρu 2 u − a2
求矩阵 C 的特征值得：
v ( − λ ) 2 [uv − λ (u 2 − a 2 )]2 − a 2 (u 2 + v 2 ) + a 4 = 0 u v λ1, 2 = u λ3,4 uv ± a u 2 + v 2 − a 2 = u2 − a2 ⇔ M > 1 四个实根，双曲型 双曲－椭圆型 ⇔ M < 1 两个实根，两个复根，