等比数列求和公式的推导

用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤

湖南省邵东县第一中学 刘玉 （邮编：422800）

极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点

用导数判别f (x 0)是极大、极小值的思路: 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

求函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) (2)求方程f ′(x )=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f (x )在这个根处无极值

在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值；在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个

利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与

)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

例1 求列函数的极值：（1）22)2()1(--=x x y ；（2）21

22

-+=

x x

y 解：（1）2

/

2

2

)2)(75)(1()(,)2()1()(---=∴--=x x x x f x x x f

令0)(/

=x f ，得驻点2,5

7

,1321==

=x x x

x )1,(-∞

1 )5

7,1( 5

7 )2,5

7( 2 ),2(+∞

)(/x f

+ 0 - 0 + 0 + )(x f

↗

极大

↘

极小

↗

↗

0)1(=∴f 是函数的极大值；3125

108

)57(-

=f 是函数的极小值. （2）2

2222/

2)

1()1)(1(2)1(22)1(2)(,212)(x x x x x x x x f x x x f ++-=+⋅-+=∴-+= 令0)(/=x f ，得驻点121,1x x =-=

x )1,(--∞

-1 )1,1(-

1 ),1(+∞

)(/x f

- 0 + 0 - )(x f

↘

极大

↗ 极小

↘

∴当1-=x 时，f 极小

=-3；当1=x 时，f

极大

=-1值。

例2 设e e x ax x f x

()1()(2

-⋅-+=为自然对数的底，a 为常数且R x a ∈<,0），

)(x f 取极小值时，求x 的值.

解：)1()1()12()(2-⋅⋅-++⋅+='--x x

e x ax e ax x f

)2)(1(-+⋅-=-x ax e

z

令21

0)(或a x x f -

=⇒=' （1）02

1

21<<->-a a 即当，由表

x （－∞，－2）

－2 )1

,2(a

--

a 1-

),1

(+∞-a

f ′(x ) + 0 － 0 + f （x ）

↗

极大值

↘

极小值

↗

)(,1

x f a

x 时-=∴取极小值.

（2）0)2(21

)(,21212≤-⋅⋅-='-==--x e x f a a x 时即当无极值. （3）2

1

21-<<-a a 即当时，由表

x （－∞，－a 1） a

1

- )2,1(--a －2

),2(+∞- f ′(x ) + 0 － 0 + f （x ）

↗

极大值

↘

极小值

↗

取极小值时时当综上取极小值时)(,1

,021,.)(,2x f a

x a x f x -=<<-

-=∴ 取极小值时时当)(,2,2

1

x f x a -=-<。 例3 求抛物线2

2

1x y =

上与点)0,6(A 距离最近的点。 解：设),(y x M 为抛物线2

2

1x y =上一点，

则=+-=

22)6(||y x MA 4

24

1)6(x x +

-。 ||MA 与2||MA 同时取到极值，

令4

2

2

4

1)6(||)(x x MA x f +

-==。 由0)62)(2()(2/=++-=x x x x f 得2=x 是唯一的驻点.

当-∞→x 或+∞→x 时，

2,)(,||=∴+∞→∴+∞→x x f MA 是)(x f 的最小值点，此时222

1

,22=⨯=

=y x . 即抛物线2

2

1x y =上与点)0,6(A 距离最近的点是（2，2）.

例4 设函数f （x ）=12+x －ax ，其中a ＞0，求a 的范围，使函数f （x ）在区间

［0，+∞）上是单调函数.

分析：要使f （x ）在［0，+∞）上是单调函数，只需f ′（x ）在［0，+∞）上恒正或恒负即可.