二阶导数意义

二阶导数的意义

二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：

（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率

（2）函数的凹凸性。

（3）判断极大值极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

一、用二阶导数判断极大值或极小值定理

设

)

(x

f在0x二阶可导，且0

)

(

,0

)

(

≠

''

=

'x

f

x

f

．

(1) 若

)

(

<

''x

f

，则

)

(x

f在0x取得极大值；

(2) 若

)

(

>

''x

f

，则

)

(x

f

在0x取得极小值．

例试问a为何值时，函数

x

x

a

x

f3

sin

3

1

sin

)

(+

=在

3

π

=

x处取得极

值？它是极大值还是极小值？求此极值．

解

x

x

a

x

f3

c o s

c o s

)

(+

=

'

．

由假设知

)

3

(=

'

π

f，从而有0

1

2

=

-

a

，即

2

=

a．

又当2=a 时，

x x x f 3sin 3sin 2)(--=''，且

03)3(<-=''π

f ，所以x x x f 3sin 31sin 2)(+=在3

π=x 处取得极大值，且极大值3)3(=πf ．

例 求函数

593)(2

3+--=x x x x f 的极大值与极小值．

解 )(x f 在]4,2[-上连续，可导．令

0)3)(1(3963)(2

=-+=--='x x x x x f ，

得

1-=x 和3=x ，

思考： )(x f 在1-=x 取得极大还是极小值？在3=x 取得极大还是极小值？

'()66f x x '=-

-1代入二阶导数表达式为-12，)(x f 在1-=x 取得极大值 3代入二阶导数表达式12，在3=x 取得极小值

三、函数图像凹凸定理 若)(x f 在),(b a 内二阶可导，

则曲线

)

(x f y =在),(b a 内的图像是凹曲线的充要条件是

0)(≥''x f ，),(b a x ∈．

曲线

)

(x f y =在

)

,(b a 内的图像是凸曲线的充要条件是

0)(≤''x f ，),(b a x ∈。

几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I 上有''()0f x >恒成立，那么在区间I 上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

１. 曲线的凸性

对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸， 图 1—1 图 1—2

1212

()()(22

f x f x x x f ++>

定义 4.5.1 设)(x f y =在),(b a 内可导，若曲线)(x f y =位于其每点处切线的上方，则称它为在),(b a 内下凸(或上凹)；若曲线)(x f y =位于其每点处切线的下方，则称它在),(b a 内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(x f y =分别为),(b a 内的下凸函数和上凸函数(通常把下凸函数称为凸函数)．

从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率)(tan x f '=α(其中α为切线的倾角)随着x 的增大而增大，即)(x f '为单增函数；上凸曲线斜率)(x f '随着x 的增大而减小，也就是说，)(x f '为单减函数．但)(x f '的单调性可由二阶导数

)(x f ''来判定，因此有下述定理．

定理4.5.1 若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则曲线)(x f y =在),(b a 内下凸(凹函数)的充要条件是

0)(≥''x f

)

,(b a x ∈．

例1 讨论高斯曲线2

x e

y -=的凸性．

解 2

2x xe y --='，2

)12(22x e x y --=''．所以 当0122>-x ，即当2

1>

x 或2

1-

''y ；

当0122<-x ，即当2

121<<-

x 时0<''y ．

因此在区间)2

1,(-

-∞与),2

1(

+∞内曲线下凸；在区间)2

1,2

1(-内曲线上凸．

四川高考数学2006——理22压轴题

22，已知函数2

2

()ln f x x a x x

=++，

证明f(x)的导函数f ’(x)

对于任意两个不相等的正数x 1，x 2，当0a ≤时，有

1212

()()()

22

f x f x x x f ++> 证法一：由

2

2

()ln f x x a x x

=++