55反常积分审敛法

则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)
lim (x a)q f (x) l
x
则有: 1) 当
《高 等 数 学》
2) 当
例5.
判别反常积分
3
1
d ln
x x
的敛散性
.
解: 此处 x 1为瑕点, 利用洛必达法则得
根据极限审敛法2, 所给积分发散.
《高 等 数 学》
例6. 判定椭圆积分 1
dx
(k 2 1) 的敛
0 (1 x2 )(1 k 2 x2 )
散性.
解:1
(1 x2 )(1 k 2x2 )
lim
1
1
x1 (1 x)(1 k 2x2 ) 2 (1 k 2 )
根据极限审敛法2, 椭圆积分收敛.
n!(1)
《高 等 数 学》
1
ln x x
x4 ln x
1
x4
1
1
x4
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛.
《高 等 数 学》
三、 函数
1. 定义
(s) xs1 exd x 0
(s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛. 令
I1
1 xs1 exd x ,
0
I2
xs1 exd x
1
1) 讨论 I1. 当s 1时, I1 是定积分 ;
解: lim x2 1 lim x x 1 x2 x
根据极限审敛法1, 该积分收敛.
1 1
1 x2
1
3
例3. 判别反常积分
x2 1 1 x2
dx
的收敛性.
解:
3
lim
x
x
1 2
1
x
2
x
2
lim x 1
x2 x
2
1
根据极限审敛法1, 该积分发散.
《高 等 数 学》
定理5.
若
f
(
x)
2) 当
证: 1) 当p 1时, 根据极限定义, 对取定的
当x
充分大时, 必有
,即
《高 等 数 学》
2) 当p 1时,可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
即
注意:
此极限的大小刻画了
《高 等 数 学》
例2. 判别反常积分
1x
dx 1 x2 的收敛性.
当0 s 1时,
xs1 ex
1 x1s
e1x
1 x1s
而1 s 1, 根据比较审敛法 2 知 I1 收敛 .
《高 等 数 学》
I2
xs1 exd x
1
2) 讨论 I2 .
( x s 1
ex
)
lim
x
x s 1 ex
0
根据极限审敛法1知 I2 收敛 .
综上所述 , (s) I1 I2 在 s 0上收敛 .
f
(x)
N xp
《高 等 数 学》
例1. 判别反常积分
《高 等 数 学》 的收敛性.
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛. 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
的收敛性.
可知原积分发散.
定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
《高 等 数 学》
C
[a
,
)
,
且
a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分
a
f
( x) d
x收敛 .
证：令
(
x)
1 2
[
f
(
x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
a
f（x）d x收敛 ,
a
(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)
f (x)d x 2
(x)d x
a
a
a
f (x) d x
可见反常积分
a
f
( x) d
x
收敛 .
《高 等 数 学》
定义. 设反常积分 f (x)d x 收敛 , a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
绝对收敛; 条件收敛.
例4. 判断反常积分 的收敛性.
解:
根据比
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a
给积分收敛 (绝对收敛).
《高 等 数 学》
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
由定义
b
b
f (x) d x lim f (x) d x
a
0 a
令 x a 1 , 则有
t
b
f (x) d x lim
a
0
1
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
《高 等 数 学》
2. 性质
(1) 递推公式 (s 1) s (s) (s 0)
证: (s 1) xs exd x xs dex (分部积分)
0
0
xs ex
s
xs1 exd x
0
0
s(s)
注意到:
n N
(1) ,有
0
e
xd
x
1
(n 1) n(n) n (n 1)(n 1)
类似定理5, 有下列结论:
《高 等 数 学》
若反常积分
b
a
f
(x) d x
(a为瑕点)收敛 , 则反常积分
b
a
f
( x) d
x
收敛
,
称为绝对收敛.
例7. 判别反常积分
的收敛性.
解:
此处 x 0 为瑕点, 因 lim
1
x 4 ln x 0,故对充分小
1
x0
的 x, 有 x4 ln x 1, 从而
1 ba
f
(a
1) t
dt t2
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来.
《高 等 数 学》
利用
b
a (x
1 a)q
dx
收敛 , 发散 ,
q 1 q 1
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点, 使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .