高中物理竞赛(热学)课件
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时的密度为 ，此时它的分子方均根速率 v2 _________ 。
v2 3kT m
v 8kT
m
vp
2kT m
2kT1 3kT2
m
m
T1 / T2 3 / 2
v 2 3kT 3nkT 3 p
m
nm
7.已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图，试在该图上 定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。
r R2时， T T2
T1
Q
2k
ln
R1
C
T2
Q
2k
ln
R2
C
解得：
Q
2k(T1
T2
)
/
ln
R2 R1
C
T1
(T2
T2
)
ln ln
R1 R2
R1
所以r处的温度为：
ln R1
T
T1
(T1
T2 ) ln
r R2
R1
热力学第一定律
基本公式：
参见《大学物理》上册第170页
该过程为绝热自由膨胀，Q=0，
A=0，由热一律E 0，所以内 A
B
能应保持不变。
C
2.摩尔数相同的两种理想气体，第一种由单原子分子组成， 第二种由双原子分子组成，现两种气体从同一初态出发，经 历一准静态等压过程，体积膨胀到原来的两倍(假定气体的温 度在室温附近)。在两种气体经历的过程中，外界对气体作的
(a)大；(b)小；(c)一样。
可用范德瓦尔斯气体代表真实气体来粗略讨论分子体积及分子 间引力的影响。1mol范氏气体在Tl温度下等温膨胀，作功为：
A
V2 pdV
V1
( V2 RT1 V1 V b
a V2
)dV
RT1
lnV2 V1
b b
1 a(
V2
1) V1
只考虑分子体积影响时，可取a＝0，由于 lnV2 b lnV2 ，
根据麦克斯韦速率分布律，在任意速率区间 v ~ v v 内的
分子数占总分子数的百分率为：
N 4 (
m
)
3
2
e
mv 2 2kT
v
2
v
N
2kT
4
(
v
( v )2
)2 e vp
v
vp
vp
设
v
vp vp
:v
1.41 :1.59
v v v p
v
0.13v p
0
所以 所以
P
1 2r2
2
P
2r 2
n n0e kT n0e 2kT
R
N
TH
因
2r 2
R
R
N 0 n2rHdr 2Hn0 0 e 2kT rdr
2Hn0
kT
2
[e
2R2 2kT
1]
所以
n0
N 2 2HkT
2R2
特别注意：
1. 对理想气体的任何热力学过程：
E
CV ,mT
i RT
2
2. 解题过程中不要忘记用理想气体状态方程：
pV RT
3. 解题时首先把各状态的状态参量列出来。
历届考题：
1.隔板C把绝热材料包裹的容器分为A、B两室。如图所示， A室内充以真实气体，B室为真空。现把C打开，A室气体充 满整个容器，在此过程中，内能应___不__变_____。
vR(T2
T1 )
3 2
p(V2
V1
)
双原子分子理想气体内能变化
E2
5 2 vR(T2
T1 )
5 2
p(V2
V1 )
E1 3 E2 5
3.摩尔质量为 、摩尔数为 的单原子理想气体进行了一次x
过程，在p-V图上过程曲线向下平移p0后，恰好与温度为T0的 等温曲线重合，则x过程的过程方程(V-T关系式)为________， x过程的比热c与压强p的关系为c=________。
子间相互作用的势能要增加
dE
。由功能原理，保守内力
p
作的功等于势能的减少，即
dE p
pi dV
a V2
dV
d(a V
)
dE
dEk
dE p
d( a V
)
所以内能的增量： E V2 d( a ) a( 1 1 )
V1
V
V1 V2
(c) Q A E RT lnV2 b a( 1 1 ) a( 1 1 )
(
p
a Vm2
)(Vm
b)
RT
dT
5. 热传导
dQ k( dz )z0 dSdt
历届考题：
1.一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均 自由程仅决定于
(A)压强p
(B)体积V
(C)温度T
(D)分子的平均碰撞频率
v
z
1
2d
2n
1
2d 2N
/V
V
2d 2N
N不变
功 A1与 A2之比为___1_____；两种气体内能的变化 E1与E2 之
比为__3_/_5____。
准静态过程气体对外作功：
A
V2 pdV
V1
p(V2 V1 )
A1 A2 p(V2 V1 )
A1 1 A2
由理想气体内能公式，可知单原子分子理想气体内能变化
E1
3 2
f(v)
N2
H2
v
vp
2kT m
又 mN2 mH2
f
(v
p
)
4
(m
2kT
)3 2
( 2kT m
)
e
m 2 kT
2 kT m
4
(
m
)1 2
e 2kT
(vP )N2 (vP )H2
( f (vP ))N2 ( f (vP ))H2
8. 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p代
每个分子的质量同为，圆筒绕轴以恒角速度 旋转，桶内气
体的状态达到平衡后其温度为T，试求桶内气体分子的数密度
n的分布规律。(注：不考虑重力的影响。)
解：每个分子受的惯性离心力为 2r ，
其相应的势能变化规律为
d P 2rdr
选转轴上为势能的零点，则
0
P
d
P
r 2rdr
p a(3p0,V0)
Ta Tb E 0
由图知曲线下面积，即气体对外作功为 O
A
1 2
(3
p0
p0 )(3V0
V0 )
4 p0V0
由热力学第一定律知 Q E A 4 p0V0
(2) 由图知过程方程即ab直线的方程为
p
p0 V0
V
4
p0
代入状态方程
b(p0,3V0) V
pV nRT
T pV p0 V 2 4 p0V
nR nRV0
nR
dT 2 p0 V 4 p0 dV nRV0 nR
空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子。室温下振 动自由度未激活，分子的自由度为5，所以一个分子的平均 动能为：
5 kT 5 1.381023 300 1.041020 J 22
4.有一个边长为10cm的立方体容器，内盛处于标准状态下的 He气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为
解：x过程曲线向下平移p0后，恰好与温 度为T0的等温曲线重合，由此可给出
( p p0 )V vRT0
p p0
x过程
状态方程为 pV vRT
x过程的过程方程为
V
vR (T
p0
T0 )
T0 等温过程
p0
对x过程，设想一微小变化：温度改变dT，体积改变dV，则
V
由过程方程有 dV vR dT
(
p
a V2
)(V
b)
RT
p
RT V b
a V2
所以对外界作的功为
A
V2 pdV
V1
V2 RT dV V1 V b
V2 V1
a V2
dV
RT lnV2 b a( 1 1 ) V1 b V2 V1
(时b)气d一E体摩k 的尔0内气。压体强分子p热i 运Va动2 。的气动体能膨为胀E时k 2pi iR作T 负。功作，等气温体膨分胀
解：在重力作用下，上述状态不能保持不 变。 因为在重力作用下，气体平衡条件要求压 强随高度而减小，而上端容器中水与蒸汽 平衡要求上端容器中蒸汽压为pT(温度为T 时的饱和蒸汽压)，同样，下端容器中水 汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为pT，这三 个条件不能同时成立。最终状态下水将完 全出现在下端容器中。
11. 如图所示，一半径为R高为H的圆筒内盛有N个气体分子，
表最可几速率，v 为一固定的速率间隔，则速率在 v v
范围内的分子的百分率随着温度的增加将___减__少______ ，
速率在 vp到 v 之间的分子的百分率随着温度的增加将 ____不__变_______。
f (v)
T1 T2 T1
矩形面积减小
O v1 v v2 v
v
v1 v v2 v
V1 b V2 V1
V1 V2
RT lnV2 b
V1 b
5.有n摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图 中p0、V0是已知量，ab是直线，求
(1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量，
(2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么?
并在p一V图上指出其位置。 解：(1) 由图知 paVa pbVb
2. 在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞 频率增大?
(a)增大压强，提高温度 (c)降低压强，提高温度 (b)增大压强，降低温度 (d)降低压强，保持温度不变
z 2d 2nv 2d 2 p 8kT p kT m T
3.一大气压下，27 C 时空气分子的平均动能是_1_._0_4__1_0__2_0 J____。
1.59 1.41 v p
1.13v p
N
4
(vp
( v p )2
)2 e vp
0.13v p
N vp
vp
4 e1 0.13 10.8%
是恒定值，不随温度而变。
9. 真实气体在气缸内以温度 T1 等温膨胀，推动活塞作功，活 塞移动距离为L。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考 虑时为(a )；若仅考虑分子之间存在作用力去计算功，比不考 虑时为( b)。
/[e 2kT
1]
n
N 2
2r 2
2R2
e 2kT /[e 2kT 1]
2HkT
R
N
TH
12.两个无限长圆筒共轴地套在一起，内筒和外筒的半径分别 为R1和R2。内筒和外筒分别保持在恒定的温度T1和T2，且T1 ＞T2。已知两筒间的导热系数为k，试求稳定时离轴r处的温 度。(R1＜r＜R2)
物理竞赛辅导
热学
基本公式：
气体动理论
参见《大学物理学》上册第129页 特别注意：
1.平均碰撞频率 z 2d 2vn
2.平均自由程
1
2d
2n
kT
2d 2 p
3.玻耳兹曼分布率：平衡态下某状态区间（粒子能量
为E）的粒子数密度 n n0eE / kT4. 范德瓦耳斯方程：
1mol气体
(a)1020s1 (b)1026s1
(c )1032 s 1
单位时间内碰一个器壁面的分子数为：
1 nvA 1 pA 8RT 1.121026 / s
4
4 kT M
5.氧气在温度为27℃、压强为1个大气压时，分子的方均根 速率为485米／秒，那么在温度为27℃、压强为0.5个大气压 时，分子的方均根速率为________米／秒，分子的最可几速 率为________米／秒，分子的平均速率为______米／秒。
dQ pdV 3 vRdT p0 2
dQ
p3
vR( )
dT
p0 2
c 1 dQ R ( p 3)
v dT p0 2
4.一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温膨胀，体 积由V1变到V2。试求氮气(a)对外界作的功；(b)内能的改变； (c)吸收的热量。
(a)由范德瓦尔斯方程
v2 3kT m
v 8kT
m
三者均与压强无关，故仍有
v 2 485m/s
vp
2 v 2 396m/s 3
v 8 v 2 447m/s
3
vp
2kT m
6.某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子 方均根速率相等，则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为p
所以分子体积的影响是使作功增加。
V1 b V1
只考虑分子之间引力的影响，可取b=0，由于 a( 1 1 ) 0 ，
所以分子之间引力的影响是使作功减少。
V2 V1
10.在地面上竖立一根弯管，管的两端各连接一个盛水容器，弯 管和容器都是绝热的，设初始时两容器中的温度相同(都等于 T)，管内充满温度为T的饱和水蒸汽。在考虑重力作用的情况 下，上述状态能否保持不变?为什么?如果发生变化，则最终状 态与上述状态的差别何在?
解：设单位长度内筒每秒向外传导的热量为Q，由于传导稳定，
所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面(与内外筒共轴)单位长
度的热量亦应是Q。设该处温度随半径的变化率为 dT / dr ，由
热传导方程可知
Q k dT 2r
dr
积分得： T Q ln r C
2k
C为积分常数
r R1时， T T1
v2 3kT m
v 8kT
m
vp
2kT m
2kT1 3kT2
m
m
T1 / T2 3 / 2
v 2 3kT 3nkT 3 p
m
nm
7.已知氮气分子的麦克斯韦速率分布曲线如图，试在该图上 定性画出相同温度下氢气分子的速率分布曲线。
r R2时， T T2
T1
Q
2k
ln
R1
C
T2
Q
2k
ln
R2
C
解得：
Q
2k(T1
T2
)
/
ln
R2 R1
C
T1
(T2
T2
)
ln ln
R1 R2
R1
所以r处的温度为：
ln R1
T
T1
(T1
T2 ) ln
r R2
R1
热力学第一定律
基本公式：
参见《大学物理》上册第170页
该过程为绝热自由膨胀，Q=0，
A=0，由热一律E 0，所以内 A
B
能应保持不变。
C
2.摩尔数相同的两种理想气体，第一种由单原子分子组成， 第二种由双原子分子组成，现两种气体从同一初态出发，经 历一准静态等压过程，体积膨胀到原来的两倍(假定气体的温 度在室温附近)。在两种气体经历的过程中，外界对气体作的
(a)大；(b)小；(c)一样。
可用范德瓦尔斯气体代表真实气体来粗略讨论分子体积及分子 间引力的影响。1mol范氏气体在Tl温度下等温膨胀，作功为：
A
V2 pdV
V1
( V2 RT1 V1 V b
a V2
)dV
RT1
lnV2 V1
b b
1 a(
V2
1) V1
只考虑分子体积影响时，可取a＝0，由于 lnV2 b lnV2 ，
根据麦克斯韦速率分布律，在任意速率区间 v ~ v v 内的
分子数占总分子数的百分率为：
N 4 (
m
)
3
2
e
mv 2 2kT
v
2
v
N
2kT
4
(
v
( v )2
)2 e vp
v
vp
vp
设
v
vp vp
:v
1.41 :1.59
v v v p
v
0.13v p
0
所以 所以
P
1 2r2
2
P
2r 2
n n0e kT n0e 2kT
R
N
TH
因
2r 2
R
R
N 0 n2rHdr 2Hn0 0 e 2kT rdr
2Hn0
kT
2
[e
2R2 2kT
1]
所以
n0
N 2 2HkT
2R2
特别注意：
1. 对理想气体的任何热力学过程：
E
CV ,mT
i RT
2
2. 解题过程中不要忘记用理想气体状态方程：
pV RT
3. 解题时首先把各状态的状态参量列出来。
历届考题：
1.隔板C把绝热材料包裹的容器分为A、B两室。如图所示， A室内充以真实气体，B室为真空。现把C打开，A室气体充 满整个容器，在此过程中，内能应___不__变_____。
vR(T2
T1 )
3 2
p(V2
V1
)
双原子分子理想气体内能变化
E2
5 2 vR(T2
T1 )
5 2
p(V2
V1 )
E1 3 E2 5
3.摩尔质量为 、摩尔数为 的单原子理想气体进行了一次x
过程，在p-V图上过程曲线向下平移p0后，恰好与温度为T0的 等温曲线重合，则x过程的过程方程(V-T关系式)为________， x过程的比热c与压强p的关系为c=________。
子间相互作用的势能要增加
dE
。由功能原理，保守内力
p
作的功等于势能的减少，即
dE p
pi dV
a V2
dV
d(a V
)
dE
dEk
dE p
d( a V
)
所以内能的增量： E V2 d( a ) a( 1 1 )
V1
V
V1 V2
(c) Q A E RT lnV2 b a( 1 1 ) a( 1 1 )
(
p
a Vm2
)(Vm
b)
RT
dT
5. 热传导
dQ k( dz )z0 dSdt
历届考题：
1.一定量的理想气体盛于容器中，则该气体分子热运动的平均 自由程仅决定于
(A)压强p
(B)体积V
(C)温度T
(D)分子的平均碰撞频率
v
z
1
2d
2n
1
2d 2N
/V
V
2d 2N
N不变
功 A1与 A2之比为___1_____；两种气体内能的变化 E1与E2 之
比为__3_/_5____。
准静态过程气体对外作功：
A
V2 pdV
V1
p(V2 V1 )
A1 A2 p(V2 V1 )
A1 1 A2
由理想气体内能公式，可知单原子分子理想气体内能变化
E1
3 2
f(v)
N2
H2
v
vp
2kT m
又 mN2 mH2
f
(v
p
)
4
(m
2kT
)3 2
( 2kT m
)
e
m 2 kT
2 kT m
4
(
m
)1 2
e 2kT
(vP )N2 (vP )H2
( f (vP ))N2 ( f (vP ))H2
8. 设气体分子服从麦克斯韦速率分布律，v 代表平均速率，v p代
每个分子的质量同为，圆筒绕轴以恒角速度 旋转，桶内气
体的状态达到平衡后其温度为T，试求桶内气体分子的数密度
n的分布规律。(注：不考虑重力的影响。)
解：每个分子受的惯性离心力为 2r ，
其相应的势能变化规律为
d P 2rdr
选转轴上为势能的零点，则
0
P
d
P
r 2rdr
p a(3p0,V0)
Ta Tb E 0
由图知曲线下面积，即气体对外作功为 O
A
1 2
(3
p0
p0 )(3V0
V0 )
4 p0V0
由热力学第一定律知 Q E A 4 p0V0
(2) 由图知过程方程即ab直线的方程为
p
p0 V0
V
4
p0
代入状态方程
b(p0,3V0) V
pV nRT
T pV p0 V 2 4 p0V
nR nRV0
nR
dT 2 p0 V 4 p0 dV nRV0 nR
空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子。室温下振 动自由度未激活，分子的自由度为5，所以一个分子的平均 动能为：
5 kT 5 1.381023 300 1.041020 J 22
4.有一个边长为10cm的立方体容器，内盛处于标准状态下的 He气，则单位时间内原子碰撞一个器壁面的次数的数量级为
解：x过程曲线向下平移p0后，恰好与温 度为T0的等温曲线重合，由此可给出
( p p0 )V vRT0
p p0
x过程
状态方程为 pV vRT
x过程的过程方程为
V
vR (T
p0
T0 )
T0 等温过程
p0
对x过程，设想一微小变化：温度改变dT，体积改变dV，则
V
由过程方程有 dV vR dT
(
p
a V2
)(V
b)
RT
p
RT V b
a V2
所以对外界作的功为
A
V2 pdV
V1
V2 RT dV V1 V b
V2 V1
a V2
dV
RT lnV2 b a( 1 1 ) V1 b V2 V1
(时b)气d一E体摩k 的尔0内气。压体强分子p热i 运Va动2 。的气动体能膨为胀E时k 2pi iR作T 负。功作，等气温体膨分胀
解：在重力作用下，上述状态不能保持不 变。 因为在重力作用下，气体平衡条件要求压 强随高度而减小，而上端容器中水与蒸汽 平衡要求上端容器中蒸汽压为pT(温度为T 时的饱和蒸汽压)，同样，下端容器中水 汽平衡要求下容器中蒸汽压亦为pT，这三 个条件不能同时成立。最终状态下水将完 全出现在下端容器中。
11. 如图所示，一半径为R高为H的圆筒内盛有N个气体分子，
表最可几速率，v 为一固定的速率间隔，则速率在 v v
范围内的分子的百分率随着温度的增加将___减__少______ ，
速率在 vp到 v 之间的分子的百分率随着温度的增加将 ____不__变_______。
f (v)
T1 T2 T1
矩形面积减小
O v1 v v2 v
v
v1 v v2 v
V1 b V2 V1
V1 V2
RT lnV2 b
V1 b
5.有n摩尔的理想气体，经历如图所示的准静态过程，图 中p0、V0是已知量，ab是直线，求
(1)气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量，
(2)在该过程中温度最高值是什么?最低值是什么?
并在p一V图上指出其位置。 解：(1) 由图知 paVa pbVb
2. 在下面四种情况中，何种将一定能使理想气体分子平均碰撞 频率增大?
(a)增大压强，提高温度 (c)降低压强，提高温度 (b)增大压强，降低温度 (d)降低压强，保持温度不变
z 2d 2nv 2d 2 p 8kT p kT m T
3.一大气压下，27 C 时空气分子的平均动能是_1_._0_4__1_0__2_0 J____。
1.59 1.41 v p
1.13v p
N
4
(vp
( v p )2
)2 e vp
0.13v p
N vp
vp
4 e1 0.13 10.8%
是恒定值，不随温度而变。
9. 真实气体在气缸内以温度 T1 等温膨胀，推动活塞作功，活 塞移动距离为L。若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考 虑时为(a )；若仅考虑分子之间存在作用力去计算功，比不考 虑时为( b)。
/[e 2kT
1]
n
N 2
2r 2
2R2
e 2kT /[e 2kT 1]
2HkT
R
N
TH
12.两个无限长圆筒共轴地套在一起，内筒和外筒的半径分别 为R1和R2。内筒和外筒分别保持在恒定的温度T1和T2，且T1 ＞T2。已知两筒间的导热系数为k，试求稳定时离轴r处的温 度。(R1＜r＜R2)
物理竞赛辅导
热学
基本公式：
气体动理论
参见《大学物理学》上册第129页 特别注意：
1.平均碰撞频率 z 2d 2vn
2.平均自由程
1
2d
2n
kT
2d 2 p
3.玻耳兹曼分布率：平衡态下某状态区间（粒子能量
为E）的粒子数密度 n n0eE / kT4. 范德瓦耳斯方程：
1mol气体
(a)1020s1 (b)1026s1
(c )1032 s 1
单位时间内碰一个器壁面的分子数为：
1 nvA 1 pA 8RT 1.121026 / s
4
4 kT M
5.氧气在温度为27℃、压强为1个大气压时，分子的方均根 速率为485米／秒，那么在温度为27℃、压强为0.5个大气压 时，分子的方均根速率为________米／秒，分子的最可几速 率为________米／秒，分子的平均速率为______米／秒。
dQ pdV 3 vRdT p0 2
dQ
p3
vR( )
dT
p0 2
c 1 dQ R ( p 3)
v dT p0 2
4.一摩尔氮气(设氮气服从范德瓦尔斯方程)作等温膨胀，体 积由V1变到V2。试求氮气(a)对外界作的功；(b)内能的改变； (c)吸收的热量。
(a)由范德瓦尔斯方程
v2 3kT m
v 8kT
m
三者均与压强无关，故仍有
v 2 485m/s
vp
2 v 2 396m/s 3
v 8 v 2 447m/s
3
vp
2kT m
6.某气体在温度T1时的分子最可几速率与在温度T2时的分子 方均根速率相等，则T1 / T2 =_______。这种气体在压强为p
所以分子体积的影响是使作功增加。
V1 b V1
只考虑分子之间引力的影响，可取b=0，由于 a( 1 1 ) 0 ，
所以分子之间引力的影响是使作功减少。
V2 V1
10.在地面上竖立一根弯管，管的两端各连接一个盛水容器，弯 管和容器都是绝热的，设初始时两容器中的温度相同(都等于 T)，管内充满温度为T的饱和水蒸汽。在考虑重力作用的情况 下，上述状态能否保持不变?为什么?如果发生变化，则最终状 态与上述状态的差别何在?
解：设单位长度内筒每秒向外传导的热量为Q，由于传导稳定，
所以单位时间穿过内外筒间任一圆柱面(与内外筒共轴)单位长
度的热量亦应是Q。设该处温度随半径的变化率为 dT / dr ，由
热传导方程可知
Q k dT 2r
dr
积分得： T Q ln r C
2k
C为积分常数
r R1时， T T1