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知识点四 三角函数线
在平面直角坐标系中，任意第一象限角α的终边与单位 圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示， 结合三角函数的定义， 你能得到sin α，cos α，tan α 与线段MP，OM，AT的关系吗？
sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT
2π 4π cos 3 >cos 5
2π 4π tan 3 <tan 5
利用三角函数线比较三角函数值的大小时， 一般分三步： (1)角的位置要“对号入座”； (2)比较三角函数线的长度； (3)确定有向线段的正负.
类型五 利用三角函数线解不等式(组)
例6 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
类型三 三角函数线
T
例 4 作出－58π的正弦线、余弦线和正切线.
解 如图所示，
y
sin－58π＝MP，
1
cos－58π＝OM， tan－58π＝AT.
M
A
o
x
P
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的 交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到 正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终 边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
则OP1，OP2是角α的终边，
因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋π6或
α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
类型四 利用三角函数线比较大小
例 5 利用三角函数线比较 sin23π和 sin45π，cos23π和 cos45π，tan23π和 tan45π的大小.
2π 4π sin 3 >sin 5
1.任意角α的 终边与单位 圆交于点P
有向线段MP,OM,AT
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
并由此写出角α的集合.
sin
α≥
3 2
作直线 y＝ 23交单位圆于 A，B 两点， 连接 OA，OB，
则OA与OB围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.
故满足要求的角 α 的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}.
有向线段MP,OM,AT
1.任意角α的 终边与单位 圆交于点P
三角函数线的应用
y
o
sin
2
1
x
[0,
2
]时
正弦函数f(x ) sin x是增函数
x
[
2
， ]时
正弦函数f(x ) sin x是减函数
1x
wenku.baidu.com
x
[0,
4
]时，sin
x
cos x
太多太多的结论！
例 在单位圆中画出满足sin α＝12 的角α的终边，并求角
α的取值集合. 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12. 所以在 y 轴上取点0，12，过这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，
在平面直角坐标系中，任意第一象限角α的终边与单位 圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示， 结合三角函数的定义， 你能得到sin α，cos α，tan α 与线段MP，OM，AT的关系吗？
sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT
2π 4π cos 3 >cos 5
2π 4π tan 3 <tan 5
利用三角函数线比较三角函数值的大小时， 一般分三步： (1)角的位置要“对号入座”； (2)比较三角函数线的长度； (3)确定有向线段的正负.
类型五 利用三角函数线解不等式(组)
例6 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
类型三 三角函数线
T
例 4 作出－58π的正弦线、余弦线和正切线.
解 如图所示，
y
sin－58π＝MP，
1
cos－58π＝OM， tan－58π＝AT.
M
A
o
x
P
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的 交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到 正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终 边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.
则OP1，OP2是角α的终边，
因而角 α 的取值集合为{α|α＝2kπ＋π6或
α＝2kπ＋56π，k∈Z}.
类型四 利用三角函数线比较大小
例 5 利用三角函数线比较 sin23π和 sin45π，cos23π和 cos45π，tan23π和 tan45π的大小.
2π 4π sin 3 >sin 5
1.任意角α的 终边与单位 圆交于点P
有向线段MP,OM,AT
2.作PM⊥x轴
约定：方向 与x轴或y轴 的正方向一 致的为正值 反之，为负 值.
3.过点A(1，0)作单位圆 的切线，交α的终边 或其反向延长线于点T
则有：长度等于三角函 数值的绝对值， 方向表示三角函数值的 正负.
有向线段MP，OM，AT恰好表示角α的正弦、余弦、正切 三角函数线：正弦线、余弦线、正切线
并由此写出角α的集合.
sin
α≥
3 2
作直线 y＝ 23交单位圆于 A，B 两点， 连接 OA，OB，
则OA与OB围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.
故满足要求的角 α 的集合为{α|2kπ＋π3≤α≤2kπ＋23π，k∈Z}.
有向线段MP,OM,AT
1.任意角α的 终边与单位 圆交于点P
三角函数线的应用
y
o
sin
2
1
x
[0,
2
]时
正弦函数f(x ) sin x是增函数
x
[
2
， ]时
正弦函数f(x ) sin x是减函数
1x
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x
[0,
4
]时，sin
x
cos x
太多太多的结论！
例 在单位圆中画出满足sin α＝12 的角α的终边，并求角
α的取值集合. 解 已知角 α 的正弦值，可知 MP＝12，则 P 点纵坐标为12. 所以在 y 轴上取点0，12，过这点作 x 轴的平行线，交单位圆于 P1，P2 两点，