第3章 幂级数展开

2
这就是说，幂级数的和可以用连续函数的回路积分来表
示，而连续函数的回路积分可在积分号下求导任意多次。所 以，幂级数的和在收敛圆的内部是解析函数。
3、幂级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。
§3.3
泰勒级数展开
一、解析函数以幂级数展开问题
1、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数 证明 f(z)在CR内解析，则应用Cauchy公式，在CR内有
k k 0 k 1
k 1 k
lim
k
1
1 a R 1 R R a
k 1 k 1 1
可知 a R 收敛，根据Weierstrass判别法， 知级数 ak ( z z0 ) 绝对且一致收敛。
k k 0
2、级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点） 证明
1
( ) a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2
( z ) 成立。
说明n＞N后面项的和为一小数，则级数收敛。 证明略
二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质
1、 绝对收敛 ⑴ 绝对收敛的定义 由复数级数 的各项模 1 、 2 …. k 组成的新级数
k k
或写为
u1 v1 、
2 2
u2 v2
2 2
k
、…
k
uk vk
2
1 k
( k 1) 1 ak lim lim(1 ) 1 R lim k k k a k k k 1
在收敛圆周上 z 1 1
当z=0时，级数为： (1)
n 1

n
1 n
-----交错级数，由莱布尼茨准则知级数收敛
1 当z=2时，级数为: n 1 n

u
k 1 k k 1
k
i v k
k 1
2、复数项级数的收敛判据---Cauchy收敛判据 （1）实数项级数的收敛定义 如果实数项级数 u k 的部分和序列 S n 有极限S，即
k 1
s1 u1 s2 u1 u2 s3 u1 u2 u3
2、Cauchy法求收敛半径 应用正项级数的根值判别法可知,如果
lim a z z 0 ＜1 幂级数绝对收敛；若＞1则发散。
k k k k
收敛半径为
R = lim k k
1
a
k
对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）
例１ 求级数 1 t t 2 ... t k .... 的收敛圆，t 为复变数。 解：
2 3
( t 1)
收敛半径为 R lim
k
ak 1, ak 1
6
1 级数的和为 1 z z z 1 z2
2 4
( z 1)
例3 求下列级数的收敛半径；
zn 1） n3 （并讨论z=1的情况） n 1
( z 1) n 2） （并讨论z= 0， z= 2时的情况） n n 1
k 0
其中 z0 , a0 , a1 , a2 , 都是复常数，这样的级数称为以z0为 中心的幂级数。
二、幂级数的收敛半径及其求法：
1、收敛半径R： 应用正项级数的比值判别法可知,如果
a ( z z0 ) lim a ( z z0 )
k 1 k k
k 1
k
ak 1 lim ( z z0 ) 1 k a k
1 1
Cauchy公式，有
a0 a1 ( z0 ) 1 ( ) 1 1 CR1 z d 2 i CR1 z d 2 i CR1 z d 2 i a2 ( z0 ) 2 1 CR1 z d 2 i
极限S称为级数的和.
s u1 u2 u3 ......
......
limS
n
n

S
反之，称为发散。
则称级数 u k 收敛。 k 1
（2） 复数项级数的收敛定义 如果复数项级数 k 的部分和序列 S n 有极限S，即
k 1
s1 1
s2 1 2
n p
k n 1
u
k
成立。
证明见高等数学教材。
（4）复数项级数Cauchy收敛原理 函数项级数 k ( z ) 收敛的充分必要条件为：
k 1
对于任意给定的正数 ,总存在自然数N(z)使得当n>N(z) 时， 对于任意的自然数p 都有：
n p
k n 1

k
c R 内任一点z，用 1 1 同乘以等式两边， 取 2 i z
1 ( ) 1 a0 1 a1 ( z0 ) 1 a2 ( z0 ) 2 2 i z 2 i z 2 i z 2 i z
该级数在c R 上仍一致收敛，可以沿c R 逐项积分，再应用
则幂级数绝对收敛。否则发散。
ak 引入记号R， R lim k a k 1
于是，若 z z0 R, 则幂级数绝对收敛。若 则幂级数发散。
z z 0 R,
以 z 0 为圆心作一个半径为 R 的圆，幂级数在圆的内部 绝对收敛，在圆外发散。这个圆称为幂级数的收敛圆，它
的半径称为收敛半径。
k

k 0

f ( k ) ( z0 ) ( z z0 ) k k!
解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数。
2、说明 1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是 唯一的。（证明略）
2）若函数f(z)在收敛圆上或外部不解析，则函数与展开
的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。
二、解析函数展为泰勒级数举例
第三章
重点内容
幂级数展开
1、求幂级数收敛半径的方法
2、复变函数泰勒展开条件与展开方法
3、复变函数洛朗展开条件与展开方法
4、极点阶的确定
§3.1
复数项级数
一、复数项级数定义及其收敛判据
1. 复数项级数定义：


k 1
k
1 2 3 .....
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说明： ⑴每一项均为复数 ⑵实数项级数是复数项级数的特例 ⑶一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论
1、直接展开法：
例1 在 z 0 0 的邻域上把 f ( z ) e z 展开。
解： f ( z ) e z 在整个复平面上解析，在 z0 0 的邻域上 也是解析的，而
f (1) ( z0 ) e z f (2) ( z0 ) e z f ( k ) ( z0 ) e z

z0
x
z z0 ( 1) z0
z z z z 2 1 1 0 0 1 z z0 z0 z0
z z0 z z0 1 z z k 1 z0 k 0 k 0 0 0
2
收敛，则称这个级数 为绝对收敛级数。 ⑵ 性质： a. 如果级数 是绝对收敛的，则该级数收敛。
k k
——充分条件
，
常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛
b. 如果级数 和 是绝对收敛的，将它们逐项相乘，
k
k
k
k
得到的级数 也是绝对收敛的。
k l k l

k k
k
A, k B,
k l l

k
k l AB
k l
c.改变绝对收敛级数各项的先后次序其和不变。
和相同

1,2 ,.i , j....k
1,2 ,. j ,i....k
2、一致收敛 ⑴ 一致收敛的定义 如果级数定义在区域B（或某曲线l）上，则在区域 B（或l）上的各点z，对于给定的小正数ε，存在与z无
关的正整数N,使得n >N时，对于任意的自然数p恒有：
n p
k n 1

k
( z ) 成立。
则称级数 k 为一致收敛。
k 1
⑵ 性质：
a、一致收敛是对B或l而言，或者说是对复函数而言的。 b、在B上一致收敛的级数的每一项都是B上的连续函数，
则级数的和也是B上的连续函数。 在l上一致收敛的级数的每一项都是l上的连续函数，则 级数的和也是l上的连续函数,而且级数可以沿l逐项积分。 c、在 B中一致收敛的级数的每一项都在 B 中单值解析，则 级数的和也是 B 中的单值解析函数，其各阶导数可由级数 逐项求导得到，且导数的级数在 B 内的任意一个闭区域中 一致收敛。
k k
应用Cauchy公式，逐项积分，有
1 f ( ) f (z) c R1 ( z )d 2 i
f ( )( z z0 ) k 1 c R1 ( z0 )k 1 d 2 i k 0
1 f ( ) ( z z0 ) . c R1 ( z0 )k 1 d 2 i k 0
a0 a1 ( z0 ) a2 ( z0 ) 2 1 1 1 (z) CR1 z d 2 i CR1 z d 2 i CR1 z d 2 i
a0 a1 z z0 a2 z z0
解： 1） a =
k
1
k
3
R lim a a
k
k
k 1
( k 1)3 1 3 lim lim(1 ) 1 3 k k k k
z=1时，级数为
1 n3 n 1

，这是实数项级数，为收敛级数（P 级数）。
2）
( z 1) n n n 1
a
k