例3答案年金精算现值变量方差的计算

lx n Ex (1 i ) n lx n 1 1 n lx S n (1 i ) v n px lx n n Ex
n t
x
n
x
xn
1
Ex
1
n t
E x t E x n t E x t 1 n t E x t
t
1
t
S
Ex n Ex
Ex
0
1 vt
0

t
px x t dt
1 zt 1 vt 1 （2）ax E (aT ) E ( ) E( ) (1 Ax )



1 ax Ax
1 zt 1 vt 1 （3）Var (aT ) Var ( ) Var ( ) 2 Var ( zt )
Ex nt Ext
Ex t
1
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
连续生存年金的定义
连续生存年金定义
在被保险人存活的条件下，保险人向其每年连续支付年金的 保险种类
连续生存年金的种类
终身连续生存年金 定期连续生存年金
年金在保险中的重要性
它是一种常见的保险金支付方式
• 广泛应用在养老保险、残疾保险、抚恤保险、失业保险等场合 。
生存年金也是一种常见的保费缴纳方式。
• 被保险人除了可以采用保险合同签订时一次性缴纳所有保费的 趸缴方式之外，还可以采用分期缴纳的方式缴纳保费，保费缴 纳以被保险人在保费缴纳期间是否生存为缴纳条件，这时保费 缴纳方式就是一种生存年金方式。
年金1000元。 现在开发一种新产品，在原来年金给付的 基础上增加死亡即刻给付2万元。 假定利息力为5％，求：
（1）新产品的趸缴净保费 （2）现值变量的方差 （3）当死亡赔付定为多大时，该产品赔付现值 的方差最小？
解4.2
例4.3
在死亡力为常数0.04，利息力为常数
0.06的假定下，求
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
一次性生存给付定义与含义
N年定期生存保险 相关公式及意义
n Ex A
1 x:n
v n px
n
lx n Ex (1 i) lxn
n
一次性生存给付现值相关的函数关系
0
T
考虑该次生存赔 付发生的概率， 计算该年金现值 的期望值
ax E (vT ) vt t px dt
0
例4.1
假定寿命服从[0，110]上的均匀分布，且
0.05
计算（30）所购买的终身连续生存年金。
例4.1解
例4.2
有一种终身年金产品，每年连续给付生存
考虑这个生存赔 付发生的概率， 计算这个确定性 年金现值的期望 值
ax E(aT ) aT fT (t )dt
0

aT
1 vT

ax E (aT ) aT fT (t )dt
0
相关公式及理解
（） 1 ax E wk.baidu.comaT ) aT fT (t )dt
1 0.12 t 0.04 t 0.06 t 0.04 t 2 [ e 0.04 e ( e 0.04 e ) ] 2 0 0 0.06 1 0.04 0.04 2 [ （ ）] 25 Var[aT ] 5 2 0.06 0.16 0.10
生存年金
本章专业名词中英文对照
生存年金 确定性年金 延付年金（期末支付） 初付年金（期初支付） life annuity annuities-certain annuity-immediate annuity-due
综合支付技巧
当期支付技巧
年h付次的生存年金
定义
所谓生存年金（life annuity）是以被保险人存活为条件 ，间隔相等的时期（年、半年、季或月）支付一次保 险金的保险类型。
生存年金通常出现在生存保险场合
比如乙向保险公司购买10万元养老保险，要求保险公 司在其60~70岁这10年内每月支付生存给付金。这时保 险公司的付款以被保险人的存活为给付条件。如果乙 在这10年内一直生存，那么保险公司将支付120次生存 给付，如果乙只获得了10次给付就死亡了，那么剩下 的110次给付保险公司也不再支付了。这时保险公司的 系列付款就构成了生存年金。
生存年金和确定性年金的区别
年金
生存年金
支付期数是不确定 的，它以被保险人 生存为给付条件， 被保险人一旦死亡 ，给付就终止
确定性年金
支付期数是确定的 ，无论中间发生什 么事情，支付时期 都不可发生更改
生存年金的分类与应用
分类
连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 非延期年金/延期年金



Var (aT )
1

2 2 [ A ( A ) ] x x 2
方法二：当期支付技巧（终身生存）
步骤 a 1
T
1 vT

步骤 2
ax E (aT )
0
aT fT (t )dt
步骤 3
以生存给付 事件发生为 考虑线索
计算当期生存 给付的现值
v
ax E(aT ) aT fT (t )dt
（1）ax
（2）aT 的标准差
（3）aT 超过 ax 的概率。
例4.3答案
（） 1 ax v t px dt e
t 0 0 0.06t t
e dt e0.06t e0.04t dt 10
0

（2）Var[aT ]
1

2 2 [ A ( A ) ] x x 2
连续生存年金精算现值的估计方法
综合支付技巧 当期支付技巧
方法一：综合支付技巧（终身生存）
步骤 a 1
T
1 vT

步骤 2
ax E (aT )
0
aT fT (t )dt
步骤 3
以死亡事件 发生为考虑 线索
计算到死亡发生 时间T为止的所 有已支付的确定 性年金的现值
aggregate payment
technique
current payment technique
h-thly payment life insurances
本章结构 1. 2. 3.
生存年金简介 一次性生存给付 连续生存年金 离散生存年金
4.
5.
一年给付H次生存年金
生存年金的定义