材料力学(刘鸿文)第十四章 超静定结构

2、“用能量法求解超静定问题时，只需考虑变形 几何条件。”
一 直梁的静不定 1、 EI已知，求轴承反力
P
L
L
L
2、三支座的等截面轴由于制造误差，轴承有
高低，使C支座偏离轴线δ。梁的抗弯刚度
为EI，求梁内的最大弯矩。
δ
L
L
C
3、两个横梁的抗弯刚度均为EI＝24×106Nｍ2，拉
杆的横截面面积为A＝3×10－4㎡。横梁与拉杆
D 2L A P H
B C
L
L
11、直角拐的抗拉压刚度相等为EI，拉杆DG 的横截面面积为A，且I＝Aａ２。求C截面 处的弯矩。
D a G a a C
q
2a
12、求图示中二个悬臂梁的最大弯矩。
EI, a
EA, a
P
EI, a
13、图示结构由梁AB与杆CD组成，AC=CB，材
料相同。梁截面的惯性矩为I，拉杆的横截面的面 积为A。求拉杆CD 的轴力。
16 两端固定的阶梯装杆如图所示。已知AC段和BD 段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；该 杆材料的弹性模量为E=210GPa，线膨胀系 数 121061/ C 。试求当温度升高30℃ 后，该杆各部分产生的应力。
17 两根长度各为L1和L2的梁交叉放置如图所示， 在两梁交叉点处作用有集中荷载P。两梁横截面 的惯性矩分别为I1及I2，梁的材料相同。试问在 两梁间荷载是怎样分配的。
求解得到： 故：
FN 0.91F
FN 2 3 D 3 EI
0.91 50 103 8 5.05m m 6 3 24 10
变形比较法计算超静定的步骤
（1）、判定超静定次数; （2）、确定多余约束； （3）、去掉多余约束代之以反力，得到相当系统; （4）、变形协调方程; （5）、利用能量法求多余约束处的位移或转角; 此时多余约束反力作常量处理; 一般情况下，多余约束反力为力的用能量法求线位移；
3 超静定次数 未知力的数目与独立平衡方程数目之差。
P P
4 多余约束
静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；
5 多余约束反力
与多余约束相对应的反力；
6 超静定系统的特点：
P P ①、提高构件的强度和刚度。 ②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。 ③、可以产生装配应力和温度应力。
7 超静定问题分类
比较原结构与其相当系统在多余约束处的变形， 相当系统应满足原结构的位移边界条件。
变形协调关系。
如何用变形比较法求解超静定问题？
1. 判定超静定次数 2. 释放多余约束, 构造相当系统 3. 列写变形协调方程 4. 利用莫尔积分 变形协调关系 未知力的方程
超静定结构的求解思想： 1 结构静定化 解除 相当系统
并求C截面的挠度。
P 90 C
5、图示中的钢制直角曲拐ABC的截面为圆型，直径为d＝100 毫米，位于水平面内，A端固定，C处铰接钢制直杆CD。已 知CD杆的横截面面积为A＝40毫米2，钢材的弹性模量为E＝ 200GPa，剪变模量为G＝80GPa，线胀系数α＝12.5×10－ 6(1/oC)。试用能量法求在K截面处作用有扭转力偶M＝5KNm， 且CD的温度下降40 oC，CD杆的内力。AK=KB=BC=0.5m， CD=0.3m D C M
q
a
a
7、悬臂梁的抗弯刚度为EI，长为2ａ，用二根长均为 ａ的拉杆BC、CD支撑。已知拉杆的抗拉压刚度相 等同为EA。求C点的铅垂挠度。
a C a 2a D
B
8、两个长度相等的悬臂梁之间用一拉杆连接，梁与
杆采用同种材料制成。梁的抗弯截面系数为 WZ=AL/16，惯性矩为IZ=AL2/3。其中：A为杆的 横截面面积；L为梁的长度。求拉杆内的应力。
2KN
2KN
0.5m
2、GH平行于EF，并且GH、EF垂直于圆轴的轴线。 圆轴、GH、EF处于水平。已知：圆轴的直径为D1 ＝100毫米，GH、EF的直径为D2＝20毫米，材料 相同。G＝0.4E，M＝7KNｍ。求轴内的最大剪应 力。
1m M 1m G
2m
H
E
2m F
3、直角拐ABC的直径为D＝20毫米，CD杆的横截面
下，A处的约束反力。设GIP＝4EI/5,δ=qL4/6EI
q A
L
C
δ
L
B
14、直角拐的抗弯刚度为EI，拉杆CD的抗拉压刚
度相等为EA，各段的长度均为L，且I＝AL2，求 CD杆的内力并作刚架的弯矩图。
D L C
L
P
三、二次超静定问题（刚架抗弯刚度EI为常量） 1、求C截面的铅垂位移
C
a q a a
EI 24 106 N m 2 BE=2AD=2米，由钢杆CD连接。 4 2 CD杆的长 l 5m 横截面面积 A 3 10 m
E 200 GPa
F 50 KN
试求悬臂梁AD在D点的挠度。
A
D
F
B
C
E
A
D
（1）、判定超静定次数
F B C E
一次内力超静定问题。
（2）、确定多余约束
L L L/2 P L/2
9、L1/L2=2/3，EI1/EI2=4/5。中间夹一刚珠。 求梁内的最大弯矩。
P
L1 EI1
L2
EI2
10、平面直角拐与CD杆均为圆截面，材料相同。直
角拐的抗扭刚度GIｐ＝4 EI /5，拉杆CD 的抗拉
压刚度相等EA＝2EI/(5L2)，其中EI为直角拐的抗
弯刚度。求CD杆的内力。
二、刚架的静不定（各刚架的抗弯刚度EI为常量） 1、直角拐的抗弯刚度为EI，CD杆的变形 不计。求CD杆的受力。
2a P a D C
2、直角拐直径为D，弹性模量E是剪变模量G的 2.5倍。C处弹簧刚度为K，求弹簧受力。
a P
a
C K
3、、求B处支反力
a B a
P
4、求B支反力
M=Pa P 2a 2a B
以CD杆的轴力为多余约束力；
（3）、去掉多余约束代之以反力 ，得到相当系统。
A D FN FN C FN
F E
B
FN
（4）、设两梁的挠度以向下为正，则变形协调方程为
C D l
FN 2 3 D 3EI
FN l l EA
（5）、用能量法求 wC
x
FN
x
F
M 1 ( x) Fx
面积为A＝6.5㎜2，二者采用同种材料制成。弹性 模量E＝200GPａ，剪变模量G＝80 GPａ。CD杆 的线胀系数α=12.5×10-6，温度下降50º 。求出直 角拐的危险点的应力状态。
A 0.6m 0.3m C D B
4、图示中梁为工字型截面，梁的跨度为L＝4米， 力P＝40KN作用在梁的中央。对本身形心轴的惯性 矩为IZ＝18.5×106mm4，求该梁的最大剪力和弯矩，
混合超静定
内力超静定
外力超静定
判断下列结构属于哪类超静定
B A R C
P
P D
P
E
A
C
B
静定结构，称为三铰拱。
外力静不定，且为一次静不定
判断下列结构属于哪类超静定
P
P
A
B
P
A B C D
内力超静定，一次超静定
静定结构。
8、基本静定基
解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；
静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。 可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；
0 x2
0 x2
A D
M 2 ( x) F ( x 2) FN x
F B C E
单位力作用下的内力方程：
M 1( x ) 0
x
1.0
M 2 ( x) x
积分得到：
1 1.0 wC EI
F x
2 0
2
2 x FN x 2 dx


1.0 wC
采用同种材料E＝200GPａ。P＝50KN，L=2m,
求D点的铅垂挠度。
L D 2.5L
L
P
L
B
C
4、两个简支梁的长均为2L，抗弯刚度相等同为 EI。在梁的中点用一抗拉压刚度为EA拉杆连 接。求下面梁的中点的挠度。
q
L
L EA
L
L
5、求拉杆BC内的应力。
C EA L
EI a
B P
6、直梁的抗弯刚度为EI，梁长为2ａ，梁的右 端用一刚度K=3EI/a3的弹簧支撑。求弹簧的 变形。
D
q A
C B
14、AB、CD两梁的长度相等均为L，并有相同的
抗弯刚度EI。两梁水平放置、垂直相交。CD为简 支梁，AB的A端固定，B端自由。加载前两梁在中
点接触，不计梁的自重。求在力P的作用下B端沿作
用力方向的位移。
D P A B C
15 水平刚性横梁AB上部由杆1和杆2悬挂，下部由 铰支座C支承，如图所示。由于制造误差，使杆1的 长度做短了δ=1.5mm。已知两杆的材料和横截面面 积均相同，且E1=E2=E=200GPa，A1=A2=A。试求 装配后两杆的应力。
1 8 4 8 F 2 F N EI 3 2 3
( F FN ) 8 4 F 1.0 wc 3 EI EI
A
D
F B C E
（6）、回代到协调方程中，得到：
8( F FN ) 4 F 8FN FN l 3EI EI 3EI EA
.
第十四章：超静定结构
§14–1 超静定结构概述
§14–2 变形比较法
§14–3 力法正则方程