圆锥曲线中的热点问题

圆锥曲线中的热点问题

一、离心率问题

例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，

顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C .

(1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫

43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．

【离心率问题的求解策略】

①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．

②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于a ，b ，c 的平方关系消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．

【跟踪训练】

1．若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两

条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a 2

7，则该双曲线的离心率e ＝

________． 2．已知F 为抛物线

y 2＝2px (p >0)的焦点，抛物线的准线与双曲线

x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于A 、B 两点．若△AFB 为直角三角形，则双曲线的离心率为________． 3．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右两个焦点，若在其右准线上存在点P ，

使线段PF 1的中垂线过点F 2，则该椭圆的离心率的取值范围是________．

4．已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞

c >0，a 2＝b 2＋c 2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若以F 2为圆心，

b －

c 为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于

32

(a

－c )，则椭圆的离心率的取值范围为________．

二、圆锥曲线中的最值、范围问题

例2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝1

2，点P 为椭圆

上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3.

(1)求椭圆的方程；

(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC →·BD →

＝0，求|AC →|＋|BD →

|的取值范围．

【最值、范围问题的求解策略】

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；

③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．

【跟踪训练】

1已知点A (0，2)及椭圆x 24

＋y 2

＝1上任意一点P ，则P A 的最大值为________．

2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋PC 的最小值为________．

3．若直线y ＝kx 交椭圆x 24＋y 2

＝1于A 、B 两点，且AB ≥10，则k 的取值范围为________．

4．已知椭圆方程为x 216＋y 2

12

＝1，若M 为右准线上一点，A 为椭圆的左顶点，连结AM 交椭

圆于点P ，则PM

AP

的取值范围是________．

5．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)．

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ， 求OE →·OF →

的取值范围．

6．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，其焦点F 到准线的距离为1

2

.

(1)试求抛物线C 的方程；

(2)设抛物线C 上一点P 的横坐标为t (t ＞0)，过P 的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 作PQ 的垂线交C 于另一点N ，若MN 是C 的切线，求t 的最小值．

三、圆锥曲线中的定点、定值问题

例3 如图，在平面直角坐标系xOy 中，离心率为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左顶点为

A ，过原点O 的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点．若直线PQ 的斜率为

2

2

时，PQ ＝2 3.

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)试问以MN 为直径的圆是否经过定点(与直线PQ 的斜率无关)？请证明你的结论．

【定点、定值问题的求解策略】

(1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k 或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．

(2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．

(3)无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标．