勤学早2016年九年级数学上第24章圆专题一点通一圆中的证明与计算word版有复习资料

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算

1．如图，AB是⊙O的直径，直线点F、C是⊙O上两点，且弧BC＝弧FC，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D

(1) 求证：CD是⊙O的切线

(2) 若CD＝2，弧AF＝弧FC，求⊙O的半径

2．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，OC∥AP交PB于C

(1) 求证：AP＝OC＋BC

(2) 若⊙O的半径为4，P A＝8，求BC的长

3．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP、CP

(1) 求△OPC的最大面积

(2) 求∠OCP的最大度数

(3) 如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线

4．已知AB 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的动点，点D 是AB 延长线上的动点，在运动过程中，保持CD ＝OA

(1) 当直线CD 与半圆O 相切时（如图1），求∠ODC 的度数

(2) 当直线CD 与半圆O 相交时（如图2），设另一交点为E ，连接AE ，AE ∥OC ① AE 与OD 的大小有什么关系？为什么？ ② 求∠ODC 的度数

5．已知四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 与边CD 相切于点E (1) 如图1，求证：∠ADC ＝2∠CBE

(2) 如图2，若OD ＝6，OC ＝8，求⊙O 的半径

6．已知直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB (1) 如图1，求证：AC ＝AD

(2) 如图2，E 、F 为⊙O 上两点，且∠CDE ＝∠ADF ．若⊙O 的半径为

2

5

，CD ＝4，求EF 的长

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（二）

圆中的数形结合

1．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x －5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ．如图1，过A 、O 、B 作⊙O 1 (1) 求圆心O 1的坐标

(2) 如图2，点P 是劣弧OB 上一点，连接P A 、PO 、PB ．当点P 在劣弧OB 上（端点除外）运动时，求

PO

PB

PA -的值 (3) 如图3，线段OB 绕点O 逆时针方向旋转30°到OC ，过A 、O 、C 三点作⊙O 2，点P 是劣弧AO 上一点，连接P A 、PO 、PC ．当点P 在劣弧AO 上（端点除外）运动时，则PO

PA

PC -的值是否发生变化？如果不变化，求其值；如果变化，说明理由

2．如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A (32，0)，B (0，2)，点P 是△AOB 外接圆上的一点，且∠AOP ＝45°

(1) 如图1，求点P 的坐标

(2) 如图2，点Q 是弧AP 上一动点，（不与A 、P 重合），连PQ 、AQ 、BQ ，求

PQ

AQ

BQ -的值 (3) 如图3，连BP 、AP ，在PB 上任取一点E ，连AE ．将线段AE 绕A 点顺时针旋转90°到AF ，连BF ，交AP 于点G ．当E 在线段BP 上运动时，（不与B 、P 重合），求

PG

BE

的值

3．已知在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为2，⊙O 交坐标轴于A 、B 、C 、D 四点

(1) 如图1，点F 是弧BC 的中点，连接FO ，并延长交⊙O 于E ，连接F A 、FD ，求证：FE 平分∠AFD

(1) 知图2，点P 是弧AD 上任意一点（不含A 、D ），连接PC ，过A 作AQ ⊥CP 于Q ，连接OQ 、AP ，求∠OQC 的度数

(3) 如图3，点M 是弧AC 上一动点，连接MA 、MC 、MB 、MD ，求MB

MA MC MD •-22的值

勤学早九年级数学（上）第24章《圆》专题一点通（一）

圆中的证明与计算参考答案

1．证明：(1) 连接OC

∵OA ＝OC ∴∠OAC ＝∠OCA ∵弧BC ＝弧FC ∴∠CAF ＝∠CAB ∴∠F AC ＝∠OCA ∴OC ∥AD ∵CD ⊥AF ∴OC ⊥CD ∴CD 是⊙O 的切线 (2) ∵弧AF 弧FC ∴∠F AC ＝∠BAC ＝30°

∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠AOC ＝120° 在Rt △ACD 中，AC ＝4，OA ＝

3

3

4 即⊙O 的半径为

3

3

4 2．证明：(1) 连接OA 、OB

∵P A 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ∴OA ⊥P A ，OB ⊥PB 过点C 作CD ⊥AP 于D ∴四边形OADC 为矩形 ∴OA ＝CD ＝OB ∵OC ∥AP ∴∠OCB ＝∠CPD 在△OCB 和△CPD 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠CPD OCB CD

OB CDP OBC ∴△OCB ≌△CPD （ASA ） ∴BC ＝PD

∴AP ＝AD ＋DP ＝OC ＋BC (2) 由(1)可知，OC ＝PC

设AD ＝OC ＝PC ＝x ，则PD ＝8－x 在Rt △CDP 中，42＋(8－x )2＝x 2，解得x ＝5 ∴BC ＝8－5＝3

3．解：(1) 当OP ⊥OC 时，S △OPC 有最大值为4 (2) 当CP 为⊙O 的切线时，∠OCP 有最大值

∵OP ＝

2

1

OC ∴∠OCP ＝30° (3) 连接AP ∵∠AOP ＝∠BOD ∴AP ＝BD ∵CP ＝BD ∴AP ＝CP ∴∠A ＝∠C ＝∠D 在△BDP 和△PCO 中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=OC PD C D PC BD ∴△BDP ≌△PCO （SAS ） ∴∠OPC ＝∠PBD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠PBD ＝90° ∴∠OPC ＝90° ∴CP 是⊙O 的切线 4．解：(1) ∠ODC ＝45°

(2) ① AE ＝OD ，理由如下： ∵AE ∥OC ∴∠OAE ＝∠COD ∵CD ＝OA ＝OE ＝OC ∴△OAE ≌△DCO ∴AE ＝OD

② 设∠ODC ＝α，则∠OAE ＝∠OEA ＝∠COD ＝α ∴∠OCE ＝2α ∵OC ＝OE

∴∠OEC ＝∠OCE ＝2α

在△ADE 中，α＋α＋2α＋α＝180°，α＝30° 5．证明：(1) ∵CB 、CE 是⊙O 的切线

∴CB ＝CE ∴∠CBE ＝∠CEB

设∠CBE ＝∠CEB ＝α，则∠C ＝180°－2α ∵AD ∥BC ∴∠C ＋∠D ＝180° ∴∠D ＝2α ∴∠ADC ＝2∠CBE (2) r ＝4.8

6．解：(1) 连接AO 并延长交CD 于E

∵AB 与⊙O 相切 ∴OA ⊥AB