灰色理论模型
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k 2,3, ,n
则称 x (0) (k ) 为数列 x (1) 的１- 次累减生成。
(r ) (r ) (r ) (r ) 一般地，对于r- 次累加生成数列 x x (1), x (2),, x (n)(r 1)
则称 x( r 1) (k ) x( r ) (k ) x( r ) (k 1)
3
几个概念
1. 2. 3.
灰数 灰运算 灰生成
4
灰数
灰数是指信息不完全的数，例如：“那个小姑娘的 身高大约有165公分左右，体重只有40公斤左 右”．这里的165左右和40公斤左右都是灰数，可以 分别记为 (165) 和 (40) .再如：“他的体温大约在38度～39度 之间”，关于体温是灰数，记为 (T ) [38,39] .
设原始数列为 令
(1)
例如: x(0)=（1，3，2，5，8） x(1)=（1，4，6，11，19） x(2)=（1，5，11，22，41）
x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n)
k
x (k ) x ( 0) (i) (k 1,2,, n)
1 1 1
13
参数向量μ的确定方法：
由最小二乘法则有： 具体地：
ˆ)T (BT B) 1 BT YN u ˆ (a ˆ, b
(0) (1) x (3) az (3) b x ( 0) (n) az (1) (n) b x (2) az (2) b
令：
z (1) (2) (1) z (3) YN ( x ( 0 ) (2), x ( 0) (3),, x ( 0) (n))T , u (a, b) T , B (1) z ( n)
z (1) z (1) (2), z (1) (3), , z (1) (n)
( 0) (1) x ( k ) az (k ) b 亦即
于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为
d (k ) az (k ) b
(1)
12
其中x(0)(k)称为灰导数，a称为发展系统，z(1)(k)称为白 化背景值，b称为灰作用量. 将k=2,3,…,n代入上式则有： (0) (1)
k 其中： (1) x (k ) x (0) (i)(k 1,2, , n) i 1
定义x(1)(k)的灰导数为:
x(1) (k ) x(1) (k 1) d (k ) x(0) (k ) k (k 1) 令z(1)为数列x(1)的均值数列，即
z (1) (k ) 0.5x (1) (k ) 0.5x (1) (k 1)(k 2,3,, n)
z (0) (k ) 0.5x (0) (k ) 0.5x (0) (k 1)
为邻均值生成数，即等权邻值生成数.
11
灰色模型—GM(1,1)
1.
定义：设x(0)为n个元素的数列：x(0)=(x(0)(1), x(0) (2),…, x(0) (n)),
x(0) 的累加生成数列为：x(1)=(x(1)(1), x(1) (2),…, x(1) (n)),
r- 次累加生成.记 x (r ) x (r ) (1), x (r ) (2),, x (r ) (n)
r- 次累加生成数列.
i 1
，称之为 x
(0)
的
9
例如: x(1)=（1，4，6，11，19） x(0)=（3，2，5，8）
二、逆累加生成（IAGO)
设原始数列为 x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n) 令 x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1)
i 1
则称 x (1) (k ) 为数列 x ( 0 ) 的１- 次累加生成，数列
x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)
(r ) k
称为数列 x ( 0 )
的１- 次累加生成数列来自百度文库
类似地有 x (k ) x ( r 1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x ( 0 ) 的
k 2,3,
, n 为数列 x ( r ) 的
r -次累减生成。
累加生成与累减生成互为逆过程。
10
三、均值生成（MEAN）
[0,1] 对于常数：
例如: x(0)=（1，4，6，11，19） z(0)=（2.5，5，8.5，15） a=0.5
设原始数列为：x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (k 1), x (0) (k ),, x (0) (n) 称 ：z (0) (k ) x (0) (k ) (1 ) x (0) (k 1) 为数列 x ( 0 ) 在生成系数（权） 下的邻值生成数 （或生成值）。 0.5 时，则称： 特别地，当生成系数
5
灰运算
6
灰运算
7
灰生成（灰色生成数列 ）
1.
2.
对灰数的处理主要是利用某种数据处理方法去寻求 数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进 行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的 规律性，这种方法称为数据的生成. 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、 累减生成和均值生成等.
8
一、累加生成（AGO）
不确定系统研究方法
模糊数学 概率统计 灰色系统 认识不确定 随机不确定 小信息的不确定
1
三个问题
1 什么是灰色理论？ 2. 什么是灰色模型？ 3 如何建立和使用灰色模型？
2
什么是灰色理论？
通过对灰数进行灰运算、灰生成，以建立起灰 色模型，通过模型再对客观事物进行预测、控 制、优化…等等，这一套方法体系，我们就称 之为灰色理论。 灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂， 数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然 内涵某种规律。关键在于我们如何选择适合的 方式挖掘利用它，生成弱化其随机性，展现其 规律性。
则称 x (0) (k ) 为数列 x (1) 的１- 次累减生成。
(r ) (r ) (r ) (r ) 一般地，对于r- 次累加生成数列 x x (1), x (2),, x (n)(r 1)
则称 x( r 1) (k ) x( r ) (k ) x( r ) (k 1)
3
几个概念
1. 2. 3.
灰数 灰运算 灰生成
4
灰数
灰数是指信息不完全的数，例如：“那个小姑娘的 身高大约有165公分左右，体重只有40公斤左 右”．这里的165左右和40公斤左右都是灰数，可以 分别记为 (165) 和 (40) .再如：“他的体温大约在38度～39度 之间”，关于体温是灰数，记为 (T ) [38,39] .
设原始数列为 令
(1)
例如: x(0)=（1，3，2，5，8） x(1)=（1，4，6，11，19） x(2)=（1，5，11，22，41）
x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n)
k
x (k ) x ( 0) (i) (k 1,2,, n)
1 1 1
13
参数向量μ的确定方法：
由最小二乘法则有： 具体地：
ˆ)T (BT B) 1 BT YN u ˆ (a ˆ, b
(0) (1) x (3) az (3) b x ( 0) (n) az (1) (n) b x (2) az (2) b
令：
z (1) (2) (1) z (3) YN ( x ( 0 ) (2), x ( 0) (3),, x ( 0) (n))T , u (a, b) T , B (1) z ( n)
z (1) z (1) (2), z (1) (3), , z (1) (n)
( 0) (1) x ( k ) az (k ) b 亦即
于是定义GM(1,1)的灰微分方程模型为
d (k ) az (k ) b
(1)
12
其中x(0)(k)称为灰导数，a称为发展系统，z(1)(k)称为白 化背景值，b称为灰作用量. 将k=2,3,…,n代入上式则有： (0) (1)
k 其中： (1) x (k ) x (0) (i)(k 1,2, , n) i 1
定义x(1)(k)的灰导数为:
x(1) (k ) x(1) (k 1) d (k ) x(0) (k ) k (k 1) 令z(1)为数列x(1)的均值数列，即
z (1) (k ) 0.5x (1) (k ) 0.5x (1) (k 1)(k 2,3,, n)
z (0) (k ) 0.5x (0) (k ) 0.5x (0) (k 1)
为邻均值生成数，即等权邻值生成数.
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灰色模型—GM(1,1)
1.
定义：设x(0)为n个元素的数列：x(0)=(x(0)(1), x(0) (2),…, x(0) (n)),
x(0) 的累加生成数列为：x(1)=(x(1)(1), x(1) (2),…, x(1) (n)),
r- 次累加生成.记 x (r ) x (r ) (1), x (r ) (2),, x (r ) (n)
r- 次累加生成数列.
i 1
，称之为 x
(0)
的
9
例如: x(1)=（1，4，6，11，19） x(0)=（3，2，5，8）
二、逆累加生成（IAGO)
设原始数列为 x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n) 令 x(0) (k ) x(1) (k ) x(1) (k 1)
i 1
则称 x (1) (k ) 为数列 x ( 0 ) 的１- 次累加生成，数列
x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)
(r ) k
称为数列 x ( 0 )
的１- 次累加生成数列来自百度文库
类似地有 x (k ) x ( r 1) (i) (k 1,2,, n, r 1) 称之为 x ( 0 ) 的
k 2,3,
, n 为数列 x ( r ) 的
r -次累减生成。
累加生成与累减生成互为逆过程。
10
三、均值生成（MEAN）
[0,1] 对于常数：
例如: x(0)=（1，4，6，11，19） z(0)=（2.5，5，8.5，15） a=0.5
设原始数列为：x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (k 1), x (0) (k ),, x (0) (n) 称 ：z (0) (k ) x (0) (k ) (1 ) x (0) (k 1) 为数列 x ( 0 ) 在生成系数（权） 下的邻值生成数 （或生成值）。 0.5 时，则称： 特别地，当生成系数
5
灰运算
6
灰运算
7
灰生成（灰色生成数列 ）
1.
2.
对灰数的处理主要是利用某种数据处理方法去寻求 数据间的内在规律，通过对已知数据列中的数据进 行处理而产生新的数据列，以此来研究寻找数据的 规律性，这种方法称为数据的生成. 数据的生成方式有多种，常用的方法有累加生成、 累减生成和均值生成等.
8
一、累加生成（AGO）
不确定系统研究方法
模糊数学 概率统计 灰色系统 认识不确定 随机不确定 小信息的不确定
1
三个问题
1 什么是灰色理论？ 2. 什么是灰色模型？ 3 如何建立和使用灰色模型？
2
什么是灰色理论？
通过对灰数进行灰运算、灰生成，以建立起灰 色模型，通过模型再对客观事物进行预测、控 制、优化…等等，这一套方法体系，我们就称 之为灰色理论。 灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂， 数据离乱，但它总是有整体功能的，因此必然 内涵某种规律。关键在于我们如何选择适合的 方式挖掘利用它，生成弱化其随机性，展现其 规律性。