混沌时间序列分析理论与方法讲解

d
j
(0)

min X
||
Yj
Yˆj
||
| j ˆj | p
其中p为时间序列的平均周期，则最大Lyapunov
指数就可以通过基本轨道上每个点的最近邻点的平均 发散速率估计出来：
1(i)

1 it
1 (M i)
M i j 1
ln
d j (i) d j (0) Nhomakorabea其中 t为样本周期,dj(i)是基本轨道上第j对最近邻 点对经过i个离散时间步长后的距离。最大Lyapunov
右上1：单摆吸引子
右下2：Lorenz奇异吸引 子
2.混沌识别
混沌识别主要包括定性和定量两种方法，定 性方法主要通过揭示混沌信号在时域或频域中表 现出的特殊空间结构或频率特性来判别，这种方 法简单直观，但是过于笼统。
定量方法通过计算混沌信号奇异吸引子的特 性参数来辨别混沌行为的方法。主要有两个： (1)描述邻近轨道发散率的Laypunov指数 (2)描述吸引子维数的关联维数和反映信息产生 频率的Kolmogorov熵
暂分离，即
d
j
(0)

min X
||
Yj
Yˆj
||
| j ˆj | p
(4) 对相空间中每个点 计算出该邻点对的i个离散 时间步后的距离
d j (i) | Yji Yˆji |,i 1, 2,..., min(M j, M ˆj)
(5)对每个i，求出所有j的 ln d j (i) 平均y(i)，即:
2.1Lyapunov指数
混沌系统初值敏感性是指相空间中初始距离
很近的两条轨迹会以指数速率发散，Lyapunov 指数即是根据相轨迹有无扩散运动特征来判别系 统的混沌特性。在相空间中，轨迹间的距离分别 表现为线度、面积和体积。
对一维映射x(t+1) = f[x(t)],假设初始位置x(t0) 附近有一 x(t0) x(t0) ,则经过n次迭代后，有
指数的几何意义是量化初始闭轨道的指数发散和估计 系统的总体混沌水平的量。因此，结合上式有：
d j (i) Cje1(t),Cj d j (0)
将上式两边取对数可得：
ln d j (i) ln C j 1(it), ( j 1, 2,..., M )
最大Lyapunov指数相当于上面这组直线的斜率， 通过最小二乘法逼近这组直线得到：
1963年美国气象学家洛伦兹发现大气变化 的非周期性，天气预报难就难在天气变化不是 周期性的。
混沌理论把混沌描述为无序的，非周期 性的现象。自从科学家不懈地探索自然规 律以来，无序、非周期性现象就一直被忽 略。自然界中不规则的方面、不连续和不 稳定的方面，一直是科学的难题，是无法 理解的怪物。科学家常常把它们当做噪声 或科学垃圾扔掉。而混沌不同于噪声，有 其自身的规律。这正是科学家所要研究的
• 对于初值条件的极端敏感依赖性 该特征是指混沌不可无限预测，即使
初始状态极为靠近的两点，随着时间也会 呈指数函数扩大。 • 非周期性表明混沌的非线性和无序性 • 存在奇异吸引子
吸引子是指相空间中的一点集或一个 子空间，随着时间的流逝，在暂态消亡后 所有轨迹都趋向与它。
对确定性系统来说，吸 引子维数为整数，但混 沌吸引子的维数却是分 数，所以称为奇异吸引 子。
y(i)
1 qt
q
ln d j (i)
j 1
其中，q为非零 d j (i) 的数目，并用最小二乘法做 出回归直线，该直线斜率就是最大的Lyapunov
指数。
2.2Kolmogorov熵
Kolmogorov熵K在混沌的度量中有着相 当重要的应用。对于规则运动，K=0; 随机 系统K=无穷，若系统表现确定性混沌 ， 则 Kolmogorov熵是大于0的常数。Kolmogorov 熵越大，那么信息的损失速度越大，系统的 混沌程度越大。
混沌时间序列分析理论与方法
主讲人：杨 磊
内容安排
• 混沌基本概念介绍 • 混沌识别方法 • 混沌序列相空间重构理论
1.混沌基本概念介绍
1.1 混沌的起源和发展
牛顿经典力学表明，力学系统服从确定的 规律。即当初始条件确定后，力学系统就将按 确定的轨道运动。在我们日常经验中，事物的 一般重复现象很明显。这些现象似乎表明我们 的世界是规则、和谐、有序的，自然现象的变 化是周期的、重复的。
则称
n1
| x(tn) || x(t0) | | f '[x(ti)]|| x(t0) | etn
i0

lim
1
n 1
ln |
f
'[x(ti)] |
tn tn i0
为系统Lyapunov指数。 当 0 时，系统具有混沌特征。
2.1.1Lyapunov求解原理
x(tn 1) x(tn 1) f [x(tn) x(tn)]
f [x(tn)] x(tn) f '[x(tn)]
所以
x(tn 1) x(tn) f '[x(tn)]
Lyapunov定义：设相轨迹上两点之间的初始距 离为| x(t0) |，用| x(tn) | 表示经过n次迭代后该两点之 间的距离，有
1 y(i) t ln d j (i)
其中 表示所有关于j的平均值。
2.1.2算法实现及计算步骤
(1) 计算延迟时间 、嵌入维数m、平均周期p； (2) 根据时间延迟 、嵌入维数m重构相空间:
{Yj , j 1, 2,..., M }
(3) 找相空间中每个点 的最近邻点 ，并限制短
1.2混沌的定义
• 非线性确定性系统中, 由于系统内部非线性 相互作用而产生的一种非周期的行为
• 对初始状态敏感，表现似周期、非周期和 不可预报性的过程
• 在确定性的非线性动态系统中出现的貌似 随机的、不能预测的运动。
• 对初始条件敏感的非线性确定性系统的动 态，具有正的李雅普诺夫指数。
1.3混沌运动的特点
在实际动力学混沌识别中，通常只估计最大Lyapunov 指数，下面介绍一种算法—— 小数据量法。
设混沌时间序列{x1,x2,…,xN},嵌入维数m，时间延迟
，重构相空间后有：
Y(ti ) (xi , xi ,..., xi(m1)) Rn(i 1, 2,..., M)
其中N=M+(m-1) ,在重构向空间后，寻找给 定轨道上每个点的最近邻点，即