《随机过程》第5章-布朗运动

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随机过程
第五章 布朗运动

1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象; 景 • 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述; 定 • 1918 年维纳(Wiener) 运用数学理论严格描述这种无规则运 动,并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此 义 布朗运动又称维纳过程; 性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程; 质 • 在金融领域的证券市场中(如债券、期权等),有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起,进 推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新,在现代金融数学中占有重要地位。
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平 移 不 变 性 : 设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为 布 朗 运 动 , 则 *������ ������ + ������ −
������ ������������ 0+为布朗运动,则* ������
, ������ ≥ 0, ������ >
������ 2 − ������ 2(������2 −������1 )
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
背 景 (������ ������1 , ⋯ ������ ������������ )的联合概率密度函数为 定 义
������
设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为标准布朗运动,对 ∀0 = ������0 < ������1 < ⋯ < ������������ ,
������ 2 ������ − 2������
性 ������ ������2 − ������ ������1 (������1 < ������2 )的概率密度函数为 质 推 广
������ ������; ������2 − ������1 =
1 2������(������2 − ������1 )
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
马尔可夫性
正 向 马 尔 可 夫 性 : 设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为 标 准 布 朗 运 动 , 对 背 ∀������1 < ⋯ < ������������ ,在给定 ������ ������1 , ⋯ , ������ ������������−1 下 ������ ������������ 的条件概率 景 密度函数与只给定 ������ ������������−1 下 ������ ������������ 的条件概率密度函数相同。
= ������ ������ − ������1 ; ������2 − ������1
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
对称性
设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为 标 准 布 朗 运 动 , 对 ∀������, ������ > 0 , 当 给 定 背 ������ ������ = ������时������ ������ + ������ 的条件概率密度函数为 景 (������−������)2 1 ������ ������; ������|������ = ������ ������ − ������; ������ = ������ − 2������ 2������������ 定 义 由正态分布的特性,有 性 质 1 ������ ������ ������ + ������ > ������ ������ ������ = ������ = ������ ������ ������ + ������ ≤ ������ ������ ������ = ������ = 2
2
= ������ 2 ������1
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
概率密度函数
背 景 定 义
设*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动,在时刻������的概率密度函数为 ������ ������; ������ = 1 2������������
解释:当给定初始条件������ ������ = ������时,对于任意������ > 0 ,标准布 推 朗运动在时刻������ + ������的位置高于或低于初始位置的概率相等, 广 即标准布朗运动的对称性。
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
平移不变性
背 景 ������(������), ������ ≥ 0+(a为常数)也是布朗运动。 尺度不变性: 设*������ ������ , ������ ≥ 定 义 0+也是布朗运动。 性 质 推 广
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例:设布朗运动������ ������ ~������(0, ������ 2 ������),求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解: 景 由布朗运动定义可得: 定 义 性 质 推 广
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������) 2 = ������������������ ������ ������ = ������ 2 ������
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增量服从 正态分布
• 若������ 0 = 0,则∀������ > 0, ������. ������. ������ ������ ~������(0, ������ 2 ������) • 若������ 0 = 0,则∀������ > 0, ������. ������. ������ ������ ~������(0, ������)
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设 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为 标 准 布 朗 运 动 , 对 ∀������1 < ������2 , 当 给 定
1 2������(������2 − ������1 )
(������−������1 )2 − ������ 2(������2 −������1 )
������ ������; ������ =
1 2������������
������ 2 ������ − 2������
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
证明:
背 景 定 义 性 质 推 广
由布朗运动的独立增量性,令������1 = ������ ������1 , ������������ = ������ ������������ − ������ ������������−1 , 2 ≤ ������ ≤ ������,则 ������1 , ⋯ , ������������ 相互独立,且������������ ~������(0, ������������ − ������������−1 )。所以(������1 , ⋯ , ������������ )的联合概率密度函数为 ������ ������ 2 1 − ������������ ������1 , ⋯ , ������������ = ������ 2(������������−������������−1) 2������(������������ − ������������−1 ) ������=1 ������ ������������ = ������ ������=1 ������������ , 1 ≤ ������ ≤ ������ ⟹ (������ ������1 , ⋯ ������ ������������ )的联合概率密度函数为: ������������ ������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ = ������������ ������1 , ⋯ , ������������ ������ 其中 1 0 0 ⋯ 0 −1 1 0 ⋯ 0 ������ = 0 −1 1 ⋯ 0 , ������ = 1 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 ������ ������ 2 1 − ∴ ������������ ������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ = ������ 2(������������−������������−1 ) 2������(������������ − ������������−1 ) ������=1
������
=
������=1
������ ������������ − ������������−1 ; ������������ − ������������−1
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
条件分布
背 景 ������ ������1 = ������1 时������ ������2 的条件概率密度函数为 定 义 ������ ������; ������2 − ������1 |������1 = 性 质 推 广
������������ ������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ =
������=1
������ ����������源自� − ������������−1 ; ������������ − ������������−1
性 其中, 质 ������ ������0 = ������ 0 = 0且������0 = 0 推 广
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《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
背 景 (1) ������ ������ 关于������是连续函数 定义:若随机过程*������ ������ , ������ ≥ 0+满足: (2) *������ ������ , ������ ≥ 0+具有平稳独立增量 定 (3) ∀������, ������ > 0, ������. ������. ������ ������ + ������ − ������ ������ ~������(0, ������ 2 ������) 义 则称随机过程*������ ������ , ������ ≥ 0+为布朗运动(或维纳过程)。 性 当 ������ = 1 时,称随机过程 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 为标准布朗运动,记为 质 *������ ������ , ������ ≥ 0+ 推 广
当������1 < ������2 时,由布朗运动的独立增量性及������ ������ ������
= 0,可得:
������ ������1 , ������2 = ������ ������ ������1 ������(������2 ) = ������ ������ ������1 ������ ������2 − ������ ������1 + ������ 2 (������1 ) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ 2 (������1 ) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 当������1 > ������2 时, ������ ������1 , ������2 = ������ 2 ������2 ∴ ������ ������1 , ������2 = ������ 2 min ������1 , ������2 ∴ ������������������������ ������1 , ������2 = ������ ������1 , ������2 − ������ ������ ������1 ������ ������ ������2 = ������ 2 min ������1 , ������2
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