数值分析分章复习(第一章误差)

数值分析分章复习

第一章 引论

要点：误差基本概念

误差分类：截断误差；舍入误差。

误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字

设计数值计算方法应注重的原则：

注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母

复习题：

1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，

试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限

解：记126.1025, 80.115x

x == 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤⨯-≤⨯- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x

x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 341180.11610 6.10102522

0.007057-==⨯⨯+≤⨯⨯

1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤⨯+⨯=+-+-+- 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？

它的绝对误差和相对误差各是多少？

解：记精确值12.15420.2154102x =⨯=，近似值 2.153x

= 因为130.00121102

x x -≤⨯-= ，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字

解：10.271828182810e =⨯

314||0.0000811110102228e x --≤⨯=⨯-= 可见x 具有4位有效数字

40.1%，至少要取多少位有效数字

解：记精确值x =x , 注意到14.44770.410x =⨯= 故假设x 具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8

p p x x x --≤⨯⨯=⨯-

令131

10108p --⨯≤

由条件 3||10||x x x -≤- , 可得：410lg() 3.096891p ≥=

可见当取4位有效数字时，近似数可达精度要求

5、设准确值=x 3002，以=*x 006666.0作为x 的近似值，其有效数字多少

解：2*0.666160x -⨯=，6523*111||0.6601010262x x ----⨯≤⨯=⨯-= 可见近似值具有3位有效数字

6、设280=Y 按递推公式100

7831-=-n n Y Y 计算到100Y ，若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?

解：记计算值为n

Y

则有10

28n n Y Y Y -⎧=⎪⎨⎪=⎩ 和 1027.98210028n n Y Y Y -⎧=-⎪⎨⎪=⎩

相减得：11127.982)100

n n n n Y Y Y Y ---=-- 依此类推，有

22227.982)100

n n n n Y Y Y Y ---=--=

0027.982)27.982)100100

n n Y Y =--=-

故1310000|||27.9821|102

Y Y --=≤⨯

7、当1>>

a 时，为使计算)1ln(a a -+更精确，应如何变形

解：按原计算式计算出现相近数相减的现象，会造成有效数字损失

计算时应变形为ln =≈8、分析下面Matlab 程序所描述的数学表达式，并给出运行结果

解：程序实现了秦九韶算法的多项式求值，即 32103(10)102104p ⨯+⨯++=

9、对于积分⎰=+=1

0,2,1,0,999

3 n dx x x I n n 。 （1）试给出递推计算式

（2）分析递推式的数值稳定性；

（3）给出初始值0I 的估计。 解：111111100033(999)299732997999999n n n n n n n x x x x I dx dx x dx I x x ----+-=

==-++⎰⎰⎰ 故得递推式：132997n n I I n -=-+

100310003ln 999999I dx x ==+⎰ 注意到实际计算中初值0I 总有误差，设初值0I 的近似值为0I （00

0I I ε-=≠ ） 所以实际计算递推为10032997n n I I n I I ε-⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩

故有 1100||2997||2997)||2997)|((|n n n n n n I I I I I I ε--=-=-=-=

可见该递推是不稳定的

因为 1110003331999999999dx dx dx x <<++⎰⎰⎰

所以可取 0133()0.00300221000999I ≈+≈

10、数值计算中，影响算法优劣的主要因素有哪些？

解：数值计算中算法的优劣主要从算法的可靠性、稳定性、准确性、时间和空间复杂性几个方面考虑。一个算法如果有可靠的理论分析，且计算复杂性好，这样的算法就是好算法