组合数学教学大纲

《组合数学》课程教学大纲
一课程说明
1.课程基本情况
课程名称：组合数学
英文名称：Combinatorics
课程编号：2411221
开课专业：数学与应用数学
开课学期：第6学期
学分/周学时：3/3
课程类型：专业方向选修课
2．课程性质（本课程在该专业的地位作用）
组合数学是当今发展最快的数学分支之一. 它的内容和思想方法已在自然科学、管理科学、计算机科学等领域起着重要的作用。

组合数学对于未来的中学数学教师更是十分需要, 它是激发学生思维能力的一种理想工具, 它是各级数学竞赛的一类常见内容。

3．本课程的教学目的和任务
本课程的目的是要求学生掌握组合数学的基础内容和组合所用的思想方法。

内容包括组合恒等式、反演公式、容斥原理、递推关系、生成函数、鸽笼原理、Ramsey 定理以及组合设计等。

4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
通过这门课程的学习，可以使学生掌握计数理论的基本概念,方法以及一般技巧,为计算机科学中的数据结构，操作系统，编译理论，算法分析，系统结构等课程的学习奠定必要的数学基础。

5．教学时数及课时分配
二教材及主要参考书
1.组合数学，屈婉玲编，北京大学出版社。

2.组合数学引论，孙淑玲编著,中国科学技术大学出版社。

3.组合数学及其算法, 杨振生编著,中国科学技术大学出版社。

三教学方法和教学手段说明
以讲授为主的教学模式，适当地加入了一些讨论式教学方法。

四成绩考核办法
以学校教务处相关文件规定进行考核。

五教学内容
第一部分鸽子原理（15学时）
一、教学目的
掌握鸽笼原理及其使用方法，了解Ramsey数及其推广形式。

熟练掌握二项式定理，多项式定理及其获得各种不等式的技术。

熟练使用四个计数原理，主要是加法原理和乘法原理。

并会用这些原理解决各种排列组合问题。

二、教学重点
鸽笼原理及其应用；加法原理，乘法原理及其应用。

三、教学难点
鸽笼原理及其应用；加法原理，乘法原理及其应用；组合恒等式的证明。

四、讲授要求
掌握鸽笼原理及其使用方法，了解Ramsey数及其推广形式。

五、讲授要点
鸽巢原理；鸽巢原理的加强形式；Ramsey 定理；加法原则乘法原则；排列与组合；
多重集合的概念；多重集合的排列组合；二项式定理；组合恒等式；非降路径问题；牛顿二项式定理；多项式定理。

第二部分包含排斥原理（8学时）
一、教学目的
熟练掌握容斥原理，会用容斥原理解决相应的问题。

了解错位排列和禁位排列的背景及其应用。

二、教学重点
容斥原理及其应用。

三、教学难点
容斥原理及其应用
四、讲授要求
熟练掌握容斥原理，会用容斥原理解决相应的问题。

五、讲授要点
包含排斥原理；多重集合的r-组合数；错位排列；有限制条件的排列问题；有禁区的排列问题和棋盘多项式
第三部分递推关系与生成函数（19学时）
一、教学目的
熟练掌握各种递推关系的求解方法，会用生成函数解决各种递推关系，并会跳过递推关系直接解决实际问题。

二、教学重点
递推关系及其求解方法，生成函数。

三、教学难点
递推关系及其求解方法。

四、讲授要求
熟练掌握各种递推关系的求解方法，会用生成函数解决各种递推关系。

五、讲授要点
递推关系的建立；Fibonacci 数列；齐次递推关系的求解；非齐次递推关系的求解；
生成函数的定义与性质；多重集合的r-组合数；正整数的剖分；指数生成函数与多重集合的排列问题；Catalan 数（介绍）与第二类 Stirling 数。

第四部分 Polya计数定理（8学时）
一、教学目的
熟练掌握Polya计数定理及其特殊形式与应用。

二、教学重点
Polya定理和带权的Polya定理。

三、教学难点
Polya定理的应用。

四、讲授要求
熟练掌握Polya计数定理及其特殊形式。

五、讲授要点
群的概念、置换群；置换群中的共轭类与轨道；Burnside引理; 圆排列的应用；Polya定理的特殊形式与应用；带权的Polya定理。

第五部分正交拉丁方（8学时）
一、教学目的
熟练掌握拉丁方，GtaLois 理论。

二、教学重点
拉丁方和正交拉丁方的概念。

三、教学难点
用有限域构造正交拉丁方完备组。

四、讲授要求
熟练掌握Polya计数定理及其特殊形式。

五、讲授要点
GtaLois 理论；均衡不完全区组设计（BIBD）Hadamard矩阵；Steiner三元系与Kirkman女生问题；用有限域构造正交拉丁方完备组；拉丁方和正交拉丁方的概念。