第1章部分习题参考解答

GG 故 A 与 B 之间的夹角为
θ AB
⎛ = arccos ⎜
⎜⎝
GG AG ⋅ BG AB
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
arccos
⎛ ⎜⎝
−31 29 ×
77
⎞ ⎟⎠
=
131D
GG A 在 B 上的分量为 AB
=
G A⋅
G BG B
=
−31 77
= −3.532
1.5
给定两矢量
G A
=
G ex
2
+
G ey
3
3
3
故该点的直角坐标为 (−2, 2 3,3) 。
（2）在球坐标系中， r = 42 + 32 = 5, θ = arctan(4 / 3) = 53.1D, φ = 2π rad = 120D 3
故该点的球坐标为 (5,53.1D,120D ) 。
1.9
用球坐标表示的场
G E
=
G er
25 。 r2
GG 所以， B = C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未
G
GG G G G
G
G
知矢量。设 A 为一已知矢量， p = A⋅ X 而 P = A× X ， p 和 P 已知，试求 X 。
G GG
G G G G G G GG GGG G GGG
解：由 P = A× X ，有 A× P = A× ( A× X ) = ( A⋅ X ) A − ( A⋅ A) X = pA − ( A⋅ A) X
（2）
GG A−B
=
G (ex
GG
GG
+ ey 2 − ez 3) − (−ey 4 + ez )
=
G ex
GG + ey 6 − ez 4
=
53
（3）
G A⋅
G B
=
G (ex
+
G ey
2
−
G ez
3)
⋅
G (−ey
4
+
G ez
)
=
−11
GG
（4）由 cosθAB =
AG ⋅ BG AB
=
−11 = − 14 × 17
GGG 1.1 给定三个矢量 A 、 B 和 C 如下：
G A
=
G ex
+
G ey
2
−
G ez
3
，
G B
=
G −ey
4
+
G ez
，
G C
=
G ex
5
−
G ez
2
，
求：（1）
G eA
；（2）
GG A−B
；（3）
GG A⋅ B ；（4）θAB
；（5）
GG A 在 B 上的分量；
GG
GGG GGG
GG G G GG
故得
G X
=
G GG pA −G AG× P
=
G GG pA − A× P
A⋅ A
A2
1.8 在圆柱坐标系中，一点的位置由 (4, 2π ,3) 定出，求该点在：（1）直角坐标系 3
中的坐标；（2）球坐标系中的坐标。
解：（1）在直角坐标系中， x = 4 cos( 2π ) = −2, y = 4sin( 2π ) = 2 3, z = 3
一个球面
S
的半径为
5，球心在原点上，计算
v∫S
G (er
3sin
θ
)
⋅
G dS
的值。
解：
v∫S
G (er
3sin
θ
)
⋅
G dS
=
v∫S
G (er
3sin
θ
)
⋅
G er
dS
∫ ∫ = 2π π 3sinθ × 52 sinθ dθ dφ = 75π 2 00
1.16
已知矢量
G E
=
G ex
(x2
+
axz)
∂u ∂l
( 2,3,1)
=
36 + 50
16 + 50
60 = 112 50 50
1.12 已知标量函数 u = x2 + 2 y2 + 3z2 + 3x − 2 y − 6z 。（1）求 ∇u ；（2）在哪些点上
∇u 等于 0？
解：（1） ∇u
=
G ex
∂u ∂x
+
G ey
∂u ∂y
+
G ez
∂u ∂z
G GG G GG
证：由 A× B = A× C ，得 A× ( A× B) = A× ( A× C) ，即
G GG G GG G GG G GG ( A⋅ B) A − ( A⋅ A)B = ( A⋅C) A − ( A⋅ A)C
GG GG
G GG G GG
由于 A⋅ B = A⋅C ，于是得到 ( A⋅ A)B = ( A⋅ A)C
3)
⋅
G (ex 8
+
G ey
5
+
G ez
20)
=
−42
GGG G G G G G ( A× B) ⋅C = (−ex10 − ey − ez 4) ⋅ (ex 5 − ez 2) = −42
G GG
G G G ex （8） ( A× B) × C = −10
ey −1
ez G G
G
−4 = ex 2 − ey 40 + ez 5
11 ，得 238
θAB = arccos(−
11 ) = 135.5D 238
GG
G
（5） A 在 B 上的分量 AB
=
G A cosθAB
=
GG A⋅GB = −
B
11 17
GG G
G G ex （6） A× C = 1
ey 2
ez
GG
G
−3 = −ex 4 − ey13 − ez10
5 0 −2
5 0 −2
GG G
G G G ex ey ez G
G
G
A× (B × C) = 1 2 −3 = ex 55 − ey 44 − ez11
8 5 20
1.2 三角形的三个顶点为 P1(0,1, −2) 、 P2 (4,1, −3) 和 P3(6, 2,5) 。
（1）判断 ΔP1P2P3 是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。
19
/(10 3/2
2) ⎞ ⎟⎟⎠
= 153.6D
1.11 已 知 标 量 函 数 u = x2 yz ， 求 u 在 点 (2,3,1) 处 沿 指 定 方 向
GG el = ex
3 50
+
G ey
4 50
+
G ez
5 的方向导数。 50
解： ∇u
=
G ex
∂ ∂x
(x2
yz)
+
G ey
∂ ∂y
G
（1）求在直角坐标中点 (−3, 4, −5) 处的 E 和 Ex ；
（2）求在直角坐标中点
(−3,
4,
−5)
处
G E
与矢量
G B
=
G ex
2
−
G ey
2
+
G ez
构成的夹角。
解：（1）在直角坐标系中 (−3, 4, −5) 点处， r = (−3)2 + 42 + (−5)2 = 5 2 ，
故
G E
GG G
G G ex （7）因为 B × C = 0
ey −4
ez 1
=
G ex
8
+
G ey
5
+
G ez
20
，
5 0 −2
GG G
G G ex ey ez
G
GG
A× B = 1 2 −3 = −ex10 − ey − ez 4
0 −4 1
所以，
G A⋅
G (B
G ×C)
=
G (ex
+
G ey
2
−
G ez
解：由于 ∇u
G = ex
2x a2
G + ey
2y b2
G + ez
2z c2
，
∇u
=
2
⎛ ⎜⎝
x a2
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
y b2
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
z c2
⎞2 ⎟⎠
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
G en
=
∇u ∇u
=
⎛ ⎜⎝
G ex
x a2
+
G ey
y b2
+
G ez
z c2
⎞ ⎟⎠
⎛ ⎜⎝
=
1 2
GGΒιβλιοθήκη BaiduR12 × R23
=
1 2
G R12
×
G R23
=
1 2
17 ×
69 = 17.13
GG
1.3 求点 P '(−3,1, 4) 到点 P(2, −2,3) 的距离矢量 R 及 R 的方向。
解：点 P '(−3,1, 4) 和点 P(2, −2,3) 的位置矢量分别为
G rP '
=
G −ex 3 +
在直角坐标中 (−3, 4, −5) 点处
G E
⋅
G B
=
G −ex
G 3 + ey
10
4 2
−
G ez
5
G ⋅ (ex
2
−
G ey
2
+
G ez
)
=
−
19 10 2
GG 故， E 与 B 构成的夹角为
θ EB
⎛ = arccos ⎜
⎜⎝
GG EG ⋅ BG EB
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
arccos
⎛ ⎜⎜⎝
−
（6） A× C ；（7） A⋅ (B × C) 和 ( A× B) ⋅C ；（8） ( A× B) × C 和 A× (B × C) 。
G
解：（1）
G eA
=
AG A
=
GG G ex + ey 2 − ez 3 12 + 22 + (−3)2
G = ex
1 14
+
G ey
2 14
−
G ez
3 14
−
G ez
4
和
G B
=
G −ex
6
−
G ey
4
+
G ez
，求
G A×
G B
在
G C
=
G ex
−
G ey
+
G ez
上的分量。
GGG
G G ex 解： A× B = 2
ey 3
ez
G
G
G
−4 = −ex13 + ey 22 + ez10
−6 −4 1
GGG G G
G
GGG
( A× B) ⋅C = (−ex13 + ey 22 + ez10) ⋅ (ex − ey + ez ) = −25
∂u ∂y
+
G ez
∂u ∂z
⎞ ⎟ ⎠
=
G ex
⎛ ⎜⎝
u
∂v ∂x
+
v
∂u ∂x
⎞ ⎟⎠
+
G ey
⎛ ⎜ ⎝
u
∂v ∂y
+
v
∂u ∂y
⎞ ⎟ ⎠
+
G ez
⎛ ⎜⎝
u
∂v ∂z
+
v
∂u ∂z
⎞ ⎟⎠
=
G ex
∂(uv) ∂x
+
G ey
∂(uv) ∂y
+
G ez
∂(uv) ∂z
= ∇(uv)
1.15
+
G ey
( xy 2
+
by)
+
G ex
(z
−
z2
+
czx
−
2xyz)
=
G ex (2x
+ 3)
+
G ey (4y
− 2)
+
G ez (6z
− 6)
（2）由
∇u
=
G ex
(2x
+
3)
+
G ey
(4
y
−
2)
+
G ez
(6z
−
6)
=
0
，得
x = −3 / 2, y = 1/ 2, z = 1
1.13
方程
u
=
x2 a2
+ y2 b2
+ z2 给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。 c2
=
G r3
−
G r2
=
G ex
2
+
G ey
+
G ez
8
，
G GG G G G R31 = r1 − r3 = −ex 6 − ey − ez 7
由此可得
G R12
⋅
G R23
=
G (ex
4
−
G ez
G ) ⋅ (ex
2
+
G ey
+
G ez 8)
=
0
所以， ΔP1P2P3 为一直角三角形。
（2）三角形的面积 S
(x2
yz)
+
G ez
∂ ∂z
(x2
yz)
=
G ex
2xyz
+
G ey
x2
z
+
G ez
x2
y
故沿指定方向
G el
=
G ex
3 50
+
G ey
4 50
+
G ez
5 的方向导数为 50
∂u ∂l
=
G ∇u ⋅ el
=
6xyz 50
+
4x2z 50
+
5x2 y 50
点(2,3,1)处沿
G el
的方向导数值为
=
99.73D
1.4
给定两矢量
G A
=
G ex
2
+
G ey
3
−
G ez
4
和
G B
=
G ex
4
−
G ey
5
+
G ez
6
，求它们之间的夹角和
G A
在
G B 上的分量。
G
G
解： A = 22 + 32 + (−4)2 = 29 ， B = 42 + 52 + 62 = 77
GG G G G G G G A⋅ B = (ex 2 + ey 3 − ez 4) ⋅ (ex 4 − ey 5 + ez 6) = −31
x a2
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
y b2
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
z c2
⎞2 ⎟⎠
1.14 利用直角坐标系，证明 ∇(uv) = u∇v + v∇u 证：在直角坐标系中，
u∇v
+
v∇u
=
⎛G u ⎜ ex
⎝
∂v ∂x
+
G ey
∂v ∂y
+
G ez
∂v ∂z
⎞ ⎟ ⎠
+
⎛G v ⎜ ex
⎝
∂u ∂x
+
G ey
解：（1）三个顶点 P1(0,1, −2) 、 P2 (4,1, −3) 和 P3(6, 2,5) 的位置矢量分别为
G r1
=
G ey
−
G ez
2
，
G r2
=
G ex
4
+
G ey
−
G ez
3，
G r3
=
G ex 6
+
G ey
2
+
G ez 5
则
G R12
=
G r2
−
G r1
=
G ex
4
−
G ez
，
G R23
=
arccos
⎛ ⎜⎝
5 35
⎞ ⎟⎠
=
32.31D
φy
=
⎛ arccos ⎜
⎜⎝
GG ey G⋅ RP'P
RP ' P
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
arccos
⎛ ⎜⎝
−3 35
⎞ ⎟⎠
=
120.47D
φz
=
⎛
arccos
⎜ ⎜⎝
GG ez G⋅ RP'P
RP ' P
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
arccos
⎛ ⎜⎝
−1 35
⎞ ⎟⎠
G C = 12 + (−1)2 +12 = 3
所以，
G A×
G B
G 在C
G 上的分量为 ( A×
G B)C
=
GGG ( A× BG ) ⋅C
C
=
−
25 3
=
−14.43
GG GG G G G G
GG
1.6 证明：如果 A⋅ B = A⋅C 和 A× B = A× C ，则 B = C 。
GG GG
G ey
+
G ez
4
，
G rP
=
G ex
2
−
G ey
2
+
G ez
3
则
GG GG G G G R = RP'P = rP − rP' = ex 5 − ey 3 − ez
G 且 RP'P 与 x 、 y 、 z 轴的夹角分别为
φx
=
⎛ arccos ⎜
⎜⎝
GG ex G⋅ RP'P
RP ' P
⎞ ⎟ ⎟⎠
=
G er
25 r2
=
1 2
又在直角坐标系中
(−3,
4,
−5)
点处，
G r
=
G −ex
3
+
G ey
4
−
G ez
5
，所以，
G E
=
G er
25 r2
=
25 r3
G r
=
GG G −ex 3 + ey 4 − ez 5
10 2
故
Ex
=
G ex
G ⋅E
=
−3 10 2
=
−
32 20
G （2） B = 22 + (−2)2 +12 = 3