数值分析 迭代法 二分法和迭代法原理

动点，也就是 f (x) 的零点。
几何含义：求曲线 y = (x) 与直线 y = x 的交点
例
x3x1 = 0, [1,2], 取 x0=1.5
3 x x 迭代公式1： k 1 k 1
迭代公式2： x 计算结果：
公式1：
k 1
( xk 1)
1 3
k 0
公式2：
xk 1.5
第三章迭代法
§3.1 二分法 §3.2 迭代法原理 §3.3 Newton迭代法和迭代加速 §3.4 解线性方程组的迭代法
§3.1 二分法
根的估计 二分法
非线性方程的根
求 f (x) = 0 的根
代数方程： f (x) = a0 + a1x + . . . + anxn 超越方程： f (x) 含超越函数，如 sin(x), ex, lnx 等 实根与复根 根的重数
等价变换
x = (x) 称为迭代函数
(x) 的不动点x*
不动点迭代
具体做法：
从一个给定的初值 x0 出发，计算 x1 = (x0), x2 = (x1), … x 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 lim x k x *，则由 的连续
k
xk 1 lim xk 可得 x* = (x*)，即 x* 是 的不 性和 lim k k
1 L xk x * xk 1 xk xk xk 1 1 L 1 L Lk x1 x0 1 L
全局收敛与局部收敛
定理的条件保证了不动点迭代的全局收敛性。 即迭代的收敛性与初始点的选取无关。 定理中的条件 | ’(x) | L < 1 可以适当放宽
( p1) ( x*)
( p 1) !
( xk x*)
p 1

( p ) ( k )
p!
( xk x*) p
xk 1 x*
( p ) (k )
p!
( xk x*)
p
ek 1 1 ( p) lim ( x*) k e p p! k
'( x*) ''( x*) ( p ) ( x*) 0
并且有
( p1) ( x*) 0,
ek 1 1 ( p) lim ( x*) k e p p! k 证明：充分性. 根据泰勒展开有
xk 1 ( xk ) ( x*) '( x*)( xk x*) ...
0 1 2 3 x0 x1 x2 x3 2 3 9 87 2 1.5 2 1.5 2 2 1.75 1.75 1.734375 1.732143 1.732361 1.732051
精确值：
3 1.7320508...
怎么判断收敛的迭代公式的速度快慢呢？
收敛性的阶
定义 设迭代 xk+1 = (xk) 收敛到 (x) 的不动点 x*。 记 绝对误差ek = xk x*，若 ek 1 (C为常数) lim C 0 k e p k 则称该迭代为 p 阶收敛。 (1) 当 p =1 时称为线性收敛，此时 |C| < 1； (2) 当 p =2 时称为二次收敛，或平方收敛； (3) 当 p >1 时称为超线性收敛。 不动点迭代中，若 迭代数列{xk}收敛，且 ’(x*) 0，则
这种在 x* 的邻域内具有的收敛性称为局部收敛性。
具有局部收敛性的迭代计算上不一定收敛，它是否收敛还 要看初值是否取的恰当； 而不具有局部收敛性的迭代对任何初值都不可能收敛。
例 用不同方法求 x23 = 0的根 3 , 取 x0=2. 讨论合理性和收敛性 2 xk 3 [1,2]上迭代收敛性? 迭代公式1：xk 1 xk 迭代公式2： xk 1 3 / xk 2 x x ( x 迭代公式3： k 1 k k 3) / 4 xk 1 ( xk 3 / xk ) / 2 [1,2]上迭代收敛性? 迭代公式4： 计算结果：k xk 方法1 方法 2 方法 3 方法 4
k
xk
1 1.35721 2 1.33086 3 1.32588 4 1.32494 5 1.32476 6 1.32473 7 1.32472
0 1.5 1 2.375 2 3 12.4 1904
精确解x* =
1.3247179...
怎么判断迭代公ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ收敛或发散呢？
不动点原理
定理 (不动点原理，压缩映像定理) 3.1 设 (x)在[a, b]上连续， 且一阶导数连续，若 (1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立, 封闭性 (2) 存在 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立, 压缩性
算法
算法 3.1 (二分法)
给定有根区间 [a, b] ( f(a) · f(b) < 0) 和 精度要求 1. 令 x = (a+b)/2 2. 如果 b – a <= 2, 停止计算，输出 x ,否则执行第3步 3. 如果 f (a) f (x) < 0 , 则令 b = x，否则令 a = x, 返回第1步 P50. Matlab源程序：nabisect.m 用二分法求根，通常先给出 f (x) 草图以确定根的大概位置。
第一节 二分法
基本原理：
若 f C[a, b]，且 f (a) · f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
具体方法：
通过二等分不断缩小有根区间的长度，直到满足精度为止。 何时终止?
a x0 x* x1 b
xk1 xk ε 或 f ( xk ) ε
不能保证 x 的精 度
f (x) = ( x – x*)m · g(x) 且 g(x*) 0, 则称 x* 为 f (x) 的 m 重根
如果有k 1, f ( x* ) f '( x* ) ... f ( k 1) ( x* ) 0, f ( k ) ( x* ) 0, 则x*为k重根.
有根区间：[a, b] 上存在 f (x) = 0 的一个实根 研究 内容: 在有根的前提下求出方程的近似根。
误差分析
记 a0 = a, b0 = b, 第 k 步的有根区间为 [ak, bk]
bk ak bk ak bk 1 ak 1 xk x x 2 2 2 2

b0 a0 b a k 1 k 1 2 2
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ： ba ba ba 1 ε k log 2 1, 取 k log 2 k 1 2 简单易用 对 f (x) 要求不高，只要连续即可 收敛速度慢 无法求复根及偶重根
则函数 f (x) = x - (x) 在 [a, b] 中有唯一的零点 x*。
x* 称为 (x) 的不动点
(x*) = x*
简证： f(a) = a - (a) 0 , f(b) = b - (b) 0
f(x) 在[a, b] 上有零点。 唯一性：反证法，假设存在 x*, y*[a, b] 使得
L | xk x* | | xk xk 1 | 1 L
Lk | xk x* | | x1 x0 | 1 L
可用| x k-xk-1 | 来控制收敛精度 L 越小收敛越快
先验估计:
证： (a) 由压缩映像定理可知，不动点 x* 存在且唯一。
| xk x*| ( xk1 ) ( x*) | '( ) | | xk1 x*| L | xk1 x*|
(2’) ’(x) 在 x* 的某个邻域内连续，且 | ’(x*) | <1 由 ’(x) 的连续性及 | ’(x*) | <1 即可推出：定理3.2 若条件(2’)成立, 则存在 x* 的某个 邻域 N(x*) =[x*- , x* + ], 使得对 x N(x*)都有 | ’(x) | L < 1, 则由 x0 N(x*) 开始的迭代都收敛。
例3.2 求x33x1 = 0在 [1,2]内的根
两位有效数字 =0.5*10-1 , k≥ (ln 20/ ln 2)-1, 取k=4
§3.2 迭代法原理
迭代法的思想 不动点原理 局部收敛性 收敛性的阶
第二节 迭代法原理
基本思想
f (x) = 0 f (x) 的零点x* xk+1 = (xk)
ek 1 xk 1 x* ( xk ) ( x*) '( )ek e 取极限得 lim k 1 '( x*) 0 线性收敛. k e k
p 阶收敛
(p) 定理 设迭代 xk+1 = (xk) ，若 (x) 在 x* 的某邻域内连续， 3.3 则该迭代法具有 p 阶收敛的充分必要条件是 ( x*) x*,
x* = (x*) y* = (y*)
x * y * ( x*) ( y*) '( ) x * y * L x * y * 矛盾！
收敛性分析
定理 设 (x)在[a, b]上连续，且一阶导数连续，若 3.1 (1) a (x) b 对一切 x[a, b] 都成立, (2) 存在 0 L < 1，使得 | ’(x) | L 对 x[a, b] 成立, 则有 (a) 对任意 x0[a, b]，由 xk+1 = (xk) 产生的迭代序列 均收敛到 (x) 在 [a, b] 中的唯一不动点 x*。 xk k 0 (b) 有如下的误差估计: 后验估计:
| xk x*| L | xk1 x*| L2 | xk2 x*| Lk | x0 x*|
lim | xk x* | 0
k
即 lim xk x *.
k
(b) | xk1 x*| L | xk x*|
| xk 1 xk | | ( xk 1 x*) ( xk x*) | xk x * xk 1 x * (1 L) xk x * 1 xk x * xk 1 xk 1 L 又 | xk1 xk | ( xk ) ( xk1 ) | '( ) | | xk xk1 | L | xk xk1 |
根的估计
引理3.1（连续函数的介值定理） 设f(x)在 [a,b]上连续，且f(a) f(b)<0，则存在x*(a,b) 使f(x*)=0。 例3.1 证明x33x1 = 0 有且仅有3个实根，并 确定根的大致位置使误差不超过 =0.5。 解:
单调性分析和解的位置 选步长h=2, 扫描节点函数值 异号区间内有根