高阶线性常微分方程的解法和应用【开题报告】

开题报告

数学与应用数学

高阶线性常微分方程的解法和应用

一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义

常微分方程是微分方程中的其中一种, 它是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科, 是研究连续量变化规律的重要工具, 也是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁. 17世纪就有人提出了弹性问题, 这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等. 从19世纪下半叶开始, 随着微积分学的公理化与严密化, 微分方程逐渐从微积分中独立并分离开来, 形成了逐渐自己系统而严密的理论体系, 发展成为常微分和偏微分方程两大现代数学分支. 事实上, 求()y f x '=的原函数问题便是一个最简单的常微分方程. 提及常微分方程, 常常会让人不由得想起牛顿. 在历史上, 牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆, 他还解决了二体问题: 在太阳引力作用下, 一个单一的行星的运动. 他把两个物体都理想化质点, 得到3个未知函数的3个二阶方程组, 经简单计算证明, 可化为平面问题, 即两个未知函数的两个二阶微分方程组. 用现在叫做 “首次积分” 的办法, 完全解决了它的求解问题. 天文学家通过常微分方程的计算, 预见了海王星的存在. 随着工业化的进展, 常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要的作用. 在当今高新技术迅猛发展的时代, 常微分方程更加广泛地渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域, 显示着它的蓬勃生机和活力.

计算机和计算技术的发展, 使微分方程的求解冲破了经典方法的局限, 迈向数值计算和图像模拟, 这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效的手段, 也使得建立数学模型显得格外重要.

在当代, 甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程, 如人口发展模型、交通流模型……因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的.

我这次的论文方向主要涉及的是微分方程中的高阶线性常微分方程的求解方法和它在实际中的应用问题. 因为常微分与经典的动力学是孪生兄弟, 一直是物理学家赖以对动态世界进行定量描述, 破解造物主在宇宙万物中设置的密码的一种主要手段, 它同时也是应用科

学家和工程学家进行精确设计和计算所不可或缺的工具. 因此, 对常微分方程的研究是具有实际意义的.

一般地, 我们将未知函数x 及其各阶导数 ,dx dt

L , n n d x dt 均为一次的n 阶微分方程称为n 阶线性微分方程. 它的一般形式是 1111()()()(),n n n n n n d x d x dx a t a t a t x t dt dt dt

ϕ---++++=L (1) 式中()(1,2,,)i a t i n =L 及()t ϕ都是区间a t b <<上的连续函数.

如果()0t ϕ≡, 则方程（1）变为 1111()()()0,n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt

---++++=L (2) 我们称（2）为n 阶线性齐次微分方程, 简称齐线性方程. 而与此相应, 称（1）为n 阶线性非齐次微分方程, 简称非齐线性方程, 并且通常把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐线性方程.

若2n ≥, 称（1）或（2）为高阶线性常微分方程.

到目前为止, 人们已经对高阶线性的常微分方程得出了许多求解方法, 对它的实际应用也做了大量的研究. 本文主要讨论了高阶线性常微分方程的相关解法和应用. 文章首先给出了高阶线性常微分方程的有关概念及解的存在惟一性. 在此基础上, 探讨了各种不同类型的高阶常微分方程的解法的问题. 讨论的主要类型有: 某些特殊类型的高阶线性常微分方程、常系数高阶线性常微分方程、变系数高阶线性常微分方程. 在解决这些类型的高阶线性常微分方程时, 还没找到普遍的、通用的具体解法, 这样, 文章针对具体问题进行了具体的分析. 另外, 我还介绍了一些新的解法: 运用高阶线性微分方程与一阶微分方程组的关系求解、参数的方法、升阶的方法和计算机求解法. 文章的最后一部分介绍了高阶线性常微分方程的应用.

微分方程的求解是微分方程学习中最基础的, 是深入学习微分方程的一条必经之路.

二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题

研究的基本内容: 高阶线性常微分方程的解法和应用

拟解决的主要问题:

1. 分析高阶线性常微分方程的一般概念和及解的存在惟一性.

2. 讲解高阶线性常微分方程的分类和对应的求解方法.

3. 总结高阶线性常微分方程的实际应用.

三、研究步骤、方法及措施

研究步骤:

1. 查阅相关资料, 做好笔记;

2. 仔细阅读研究文献资料;

3. 翻译英文资料;

4. 撰写文献综述;

5. 撰写论文初稿;

6. 上交并反复修改论文;

7. 论文定稿.

方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集大量资料, 参考相关内容. 在老师指导下, 与同组同学研究讨论, 用文献综合的方法来解决问题.

四、参考文献

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[5]化存才. 常微分方程解法与建模应用选讲[M]. 北京:科学出版社, 2009.

[6]孙肖丽, 杨艳萍. 常微分方程的思想与方法[M]. 济南: 山东大学出版社, 1993.

[7]庄万. 常微分方程习题解[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 2003.

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Dynamical System Approach. Beijing: Science Press, 2007.