立足课本 坚决回归

立足课本坚决回归
——对高三复习备考中“回归课本”的几点认识与做法
246740安徽省枞阳县会宫中学朱贤良姚汉兵
EMAIL:zxl.ah@
1．从近两年安徽省新课标高考谈起
我省09、10、11三年新课标下的高考数学试卷，总体来说有两大特点：一是风格朴素平实，试题不偏不怪，真正做到了“立足基础、切合教材、贴近生活、背景公平、适度创新”；二是难度比较平稳，遵循了考试说明所倡导的“高考应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”这一原则．很多题目似曾相识，但又不完全相同，试题命制融入了考试说明的命题理念，以重点知识构建试题的主体，选材源于教材又高于教材，立意创新又朴实无华．比如11年理科卷第6题、文科卷第8题：一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.48
B.32+
C.48+
D.80
看必修2教材第21页习题1.2A 组题2：
根据下列三视图，想象对应的几何体：
两题是不是如出一辙！
又比如10年理科卷第9题：
动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，
点A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是
A、[]0,1
B、[]1,7
C、[]7,12
D、[]0,1和[]
7,12这是一道典型的源于课本的高考试题，必修4教材第59页习题1.5B 组题3即是其源头：
如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置0P 开始，
按逆时针方向以角速度ωrad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的
函数关系，并求点P 的运动周期和频率．
再比如，09年理科第15题（文科题与理科题仅有一个命题不一样）：
对于四面体ABCD，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编
号）．
○
1相对棱AB 与CD 所在的直线异面；○
2由顶点A 作四面体的高，其垂足是∆BCD 的三条高线的交点；
○
3若分别作∆ABC 和∆ABD 的边AB 上的高，则这两条高所在直线异面；○
4分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；○5最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
太湖县新仓高中严金楼老师曾著文《高考试题与课本习题的“超链接”——对2009年安徽省一道高考试题有感》谈到此题同样来自于课本：
1．(必修2第44-45页)为了表示异面直线,a b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如下图．
2．(必修2第45-46页例2)如上图，空间四边形ABCD 中，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA 的中点．求证：四边形EFGH 是平行四边形．
只要将题中的A，C 两点连接起来便构造了一个四面体A—BCD，再取AC，BD 的中点K，I，这便与“④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点”相去不远了．
3．(必修2第67页课后练习题2)过△ABC 所在平面外一点P，作PO⊥α，垂足为0，连接PA，PB，Pc．
(1)若PA=PB=PC，∠C=90，则点O 是AB 边的点．(2)若PA=PB=PC，则0是△ABC 的心．
(3)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则O 是△ABC 的心．
4．(必修2第74页习题2.3B 组题2)如下图，棱锥V-ABC 中，VO⊥平面ABC，0∈CD，VA=VB，AD=BD，你能判定CD⊥AB 以及AC=BC 吗?
5．(必修2第79页复习参考题B 组题2)如上图，在正方体1111ABCD A B C D −中，求证：
(1)1B D ⊥平面11AC B ；(2)1B D 与平面11AC B 的交点H 是△11AC B 的重心(三角形三条中线的交点)．
一道好的考题，不一定都是新题，相反，命题人往往从教材上去寻找命题的灵感．源于教材的这些试题，知识背景公平，很好地起到了考查基础知识和基本能力的命题要求．学生看到这些试题时会有一种亲切的感觉，这也有利于学生的临场发挥．这符合教学实际，符合考试说明的要求．
实际上，我们只要认真研究一下近几年来的高考试题，还会发现更多课本例题或是习题的影子．命题人的匠心独运，“源于课本而又高于课本”的这一被广泛使用的命题原则，给我们的复习备考指明了方向，那就是回归课本，只有回归课本，才能为我们的高考备考找到一个有力的支撑．同时，这也给我们的复习备考提出了一个更高的要求，我们必须在复习过程中更有效的利用课本．
2．对“回归课本”的正确认识
2.1回归课本，有助于对知识点的查漏补缺，让复习更高效．
数学高考，不可或缺的当然是一些重要结论和基本方法．回归课本，无疑有助于学生检查自己在这些
重要结论与基本方法等知识点掌握上的欠缺与错误，进而更准确更有效地进行解题．数学课本中有一些结论被命名为性质、定理或公式，有些结论只是一道例题或习题，比如，“过两条异面直线中的一条有且只有一个平面与另一条直线平行”（必修2第62页习题2.2A 组题4），又比如，“与两个定点距离的比为12
的点的轨迹”（必修2第124页习题4.1B 组题3），这些结论本身或者推广常常被某一情境隐藏着，成为别出心裁的高考题．只有熟悉课本，才能快速识别它的原型，从而简缩思维过程．在解客观题时，会因这些结论减少工作量；在解解答题时，它也是探寻解题思路、进行合情推理的依据．在课本中，比这些结论重要的还有方法，方法不就存在于课本之中吗?比如，数列求和，公式重要，推导公式的方法也很重要．有些学生记住了公式却忘记了方法．殊不知，很多高考题需要用到的正是那些推导公式的方法，比如，等比数列求和公式的推导方法----“错位相减”，又比如由等差数列求和公式的推导方法----“倒序相加”能联想到等比数列求积的方法----“倒序相乘”．如果这样的回归课本，不是比多做几道模拟试题更有意义，更有利于学生灵活运用吗?
2.2回归课本，有助于知识系统化与网络化，形成知识的交汇融合．
高考复习的重要任务是梳理知识，让知识网络化，成为一个完整的系统，比如，知识框图与脉络．问题是，学生如何得到？当然，教师可以把这些直接告诉给学生，但直接听来的能内化为学生的认知结构吗……最好的方式是让学生自主获得．回归课本，这实际上是一个重温课本的过程，重温学习经历的过程，也是一个把课本由厚读薄的过程．
同时，回归课本能让学生站在数学整体的高度与课本对话，让不同领域的知识交汇，成为系统．比如高一学习三角函数的单调性时，只能由图像得到基本三角函数的单调性，简单复合型由基本型经变换推知；回归课本时，则有了新的工具：导数．这种回归课本的做法无疑可以帮助学生更好地理解许多交汇点处的命题，如选修2-2教材第32页习题1.3B 组题1（1）：
利用函数单调性证明不等式：sin ,(0,)x x x π<∈．
又如10年安徽省文科高考第20题：
设函数()sin cos 1f x x x x =−++，02
x π<<，求函数()f x 的单调区间与极值．2.3回归课本，有助于掌握“通性通法”，规范解题思路与过程表述．
安徽省近三年新高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，重视和突出三基的考查，突出对主干知识、数学思想方法的考查，强调注意通性通法，淡化特殊技巧．复习备考中注重回归课本，进一步去吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，从而规范解题思路，并最终形成解决一类问题的通性通法，做到以不变应万变．
另外，数学高考还需要规范地作答，历年来因作答不规范失分的比比皆是．那么，由谁来示范呢?哪些定理不能直接套用，哪些过程不能省略，哪些表述不能随意，哪些符号不被承认，这些都可以而且只能依据课本．特别是，大量的复习资料难免出现一些不够规范的东西，需要通过课本来正本清源．
3．回归课本的一些具体做法
3.1结合考试说明，改变教材的呈现方式；通过教、学案一体化，实现查漏补缺、夯实基础之目的．高三复习注重对知识的重新整合，我们可以结合考试说明的要求，改变教材中知识点的呈现方式，编制适合学生查漏补缺的一体化教、学案．以理科概率内容复习为例，考虑到主要要求学生掌握六种求概率的方法，即六个概率公式，于是我们可以考虑编拟六个“知识点重现”：①古典概型的概率计算公式为，你认为使用该公式时要注意什么？②概率的加法公式为，使用要注意；③对立事件的概率计算公式为，它经常用于什么情况下？④概率的乘法公式为，使用要注意；⑤什么是独立重复试验模型？其概率计算公式为；⑥什么是条件概率？其概率计算公式为．
这六个问题的提出，有助于学生从一个新的高度把握基本知识点．然后现围绕主干知识点，我们从课
本上选取典型题目或作变式，从而实现对知识的再认识与重组．
当然，每份学案有详有略，可以根据教材与考试说明的具体实际适当压缩或增容，但学案的编制应该在深入研究课本和考试要求的基础上进行．课本是知识体系的浓缩，反映的是知识间的经典关系，是高考试题的参照系和源泉．在高三数学复习备考过程中，应该回归课本，坚决夯实基础，并要系统掌握，提高学生运用课本知识与方法去解决各类题型的能力．
3.2指导学生回归课本，努力建构知识网络，实现知识系统化与交汇融合之目的．
人教A版教材在每章结束的小结中都给出了一章粗略的知识结构图，教师可以引导学生结合自己的理解对这个简洁的知识框图进行扩充与完善，从而对一章的知识具备整体认识，初步形成知识网络．以必修5中数列为例：
⇓
更为重要的是，教师需要在此基础上积极引导学生结合课本，将不同章节之间的知识进行交汇，培养
学生的交汇点意识．比如这里数列作为一类特殊的函数，它具备函数的许多特征，比较等差数列与一次函数、等比数列与指数函数间的关系，可以考虑用函数的方法判断数列的单调性、求数列的最大项等等．又比如前面谈到的课本习题“利用函数单调性证明不等式：sin ,(0,)x x x π<∈”与高考试题“设函数()sin cos 1f x x x x =−++，02x π<<
，求函数()f x 的单调区间与极值”，以及08年全国卷II 理科第22题：设函数sin ()2cos x f x x
=+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围．
这些在知识交汇点命制的试题综合考查了函数、导数、三角函数与不等式等相关知识，这种知识间的交汇融合就是强调知识之间的联系，就是要从学科整体的高度思考问题．
3.3充分发挥课本中例、习题的探究性功能，达到事半功倍之效果．
复习要回归课本，注重落实基础，但回归课本不是简单地对课本知识进行归纳和梳理，而是在此基础上要有质的飞跃，要通过复习使学生知道：高考要考什么？考到什么层次？高考试题与课本有什么联系等等？以必修2第144页复习参考题B 组题2的探究教学为例说明我们的一些做法：
已知动点M 到两定点12,M M 的距离的比是一个正数m ，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
首先，我们引导学生回顾并熟练掌握求轨迹（方程）的基本套路：
建系：以线段12M M 的中点为原点，直线12M M 为x 轴，
设点：(,)M x y ,12(,0),(,0)M c M c −其中0c >．
m =．
化简：2222222(1)(1)2(1)(1)0m x m y c m x m c −+−−++−=，此为动点M 的轨迹方程．
提醒学生进行分类讨论：
当1m =时，轨迹是线段AB 的垂直平分线.
当1m ≠时，轨迹是圆心在22(1)(,0)1c m m +−，半径是21
mc m −的圆（这个圆就是阿波罗尼斯圆）.高考中，以此课本题为背景的试题我们可以信手拈来．比如，将m 改为具体数字2
或12
，就有了：
变式1：（06四川6）已知两定点(2,0)A −，(1,0)B ，如果动点P 满足条件2PA PB =，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于（）
A .π
B .4π
C .8π
D .9π
变式2：（08江苏13）若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值___________
变式3：若(0,2),(0,1)A B ,12
m =,试问是否存在一个定点C ，使动点P 到定点C 的距离为定值？若存在，求出定点C 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
要是将m 再从具体数字变成参数呢，就可形成宏观分析：
变式4：（选修2-1第80页复习参考题A 组题10改编）已知ABC ∆的两个顶点,A B 的坐标分别是
(5,0),(5,0)−，直线,AC BC 的斜率之积是m (m 为常数且0m ≠)，试问是否存在两个定点E 、F 使得CE CF +为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由.
顶点C 的轨迹方程为22
1(5)2525x y x m
−=≠±.当1m =−时，点C 的轨迹是圆，并除去两点(5,0),(5,0)−，故不存在合乎题意的E 和F .
当0m >时，点C 的轨迹是双曲线，并除去两点(5,0),(5,0)−，故不存在合乎题意的E 和F .
当0m −1<<时，顶点C 的轨迹是椭圆，并除去两点(5,0),(5,0)−.焦点E 和
(F −为合乎题意的两个定点.
当m <−1时，顶点C 的轨迹是椭圆，并除去两点(5,0),(5,0)−.焦点E 和
(0,F −为合乎题意的两个定点.
以课本中的例、习题为依托，进行有针对性的变式探究、拓展、改造，其目的在于让学生学会把具有共性的知识间的内在联系条理化、系统化，注重知识的形成过程，尤其是要深刻体会其中蕴含的数学思想方法，以达到优化知识、开阔视野、活跃思维，使得所学知识得以系统的整合．这样如何回归课本，怎样发挥课本中例、习题的示范性、代表性、典型性都顺理成章地被学生所接受，问题的本质得以揭示，解决问题的能力才能有所提高，学生才会乐此不疲地自觉自愿地回归到课本中（而非一头扎进复习资料堆里），复习才有可能达到事半功倍的效果．
结束语：在目前“高考资料满天飞，教辅用书遍地是”的情况下，我们作为教学的主导应该从认知的角度熟悉教材，从理解的角度再熟悉教材，从掌握的角度拓宽教材，从综合的角度用活教材，不停留在表面“重复昨天的故事”，而是对课本上的知识和方法加以拔高，加以成串；沟通知识联系，构建知识的有机整体，实现知识由“厚”到“薄”，由“散乱”到“有序”的转化，使学生对知识的理解以螺旋式上升，不断提升知识的系统性、关联性和网络性，从而达到知识的融会贯通．
参考文献:
严金楼.高考试题与课本习题的“超链接”——对2009年安徽省一道高考试题有感[J].中学数学教学,2009（4）.
（注：本文根据笔者在2011年安庆市高考数学复习研讨会上的发言材料整理而成，系2010年度安徽省教育科学规划立项课题（JG10046）“高考改革趋势与高中教学策略研究”的阶段性成果之一．）。