工程力学天津大学第13章答案

30 20
10
(a)
20 30 10
(b)
20 15
(c)
解：(a) 由题图可知
习题 13 − 16 图
1 20MPa, 2 10MPa, 3 30MPa
则
r1 1 20MPa; r2 1 ( 2 3 ) 20 0.3(10 30) 26MPa; r3 1 3 20 30 50MPa;
习题 13 − 9 图
解：1、A 点对应的横截面上只有正应力，即
2、取 A 点的单元体 3、由斜截面应力计算公式有
A
σ
0
3、根据广义胡克定律有
则
13 − 10 在其本身平面内承受荷载的铝平 扳，巳知在板平面内的主应变为 ε1 = 3.5×10-4，ε3 = -5.4×10-4 其方向如图 13 − 1 0 所示。铝的 E ＝70 GPa，ν＝0.33，试求应力分量 σx、σy 及 τx。
r4
1 2
[
(
1
2
)2
(
2
3)2
( 3
1)2
]
37.75MPa
则由公式可直接得到该单元体的主应力
切应力值及作用面的方位。 解：固定端截面的弯矩 ,剪力 。
F
80
A A 40 B
C
160
2m
截面 a 点的应力：
习题 13 − 8 图
状态，即
。 截面 b 点的应力：
,其应力状态为单向应力 , 最大切应力作用面的方位为
,其应力状态为平面应力状态，即
主应力：
。 求最大切应力作用面的方位先求主应力的方位，即
1.527MPa
75
2 1.6 sin(2 75 ) 2
0.1MPa
由图b可知
x 0, y 0, x 1.25 MPa
（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力
15 x sin 2 1.25 sin 2(15 ) 0.625MPa 15 x cos 2 1.25 cos[2 (15 )] 1.08MPa
的 E = 2.6×104MPa，ν = 0.18。试求下列
两种情况下立方体中产生的应力。
（1）凹座的宽度正好是 20cm；
（2）凹座的宽度均为 20.001cm。
20cm 习题 13 − 13 图
20.001cm
解：（1）根据题意立方体两水平方向的变形为零，即 x y 0 为变形条件，由广义
r4
1 2
[
(
1
2
)2
(
2
3)2
( 3
1)2
]
46.91MPa
（c）由题图可知
z 15MPa, y x 0MPa, xy 20MPa
则
1 20MPa, 2 15MPa, 3 20MPa
r1 1 20MPa; r2 1 ( 2 3 ) 20 0.3(15 20) 21.5MPa; r3 1 3 20 20 40MPa;
（2）垂直于木纹方向的正应力
75 x sin 2 1.25 sin(2 75 ) 0.625MPa 75 x cos 2 1.25 cos(2 75 ) 1.08MPa
13 − 2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa），试用解析法计算图中指定截面 的正应力与切应力
解：（a）已知 x 30MPa , y 10MPa,
胡克定律得
x
1 E
[σ
x
-ν(σ
z
σy )]
0
y
1 E
[σ
y
-ν(σ
z
σx )]
0
上式解出
x
y
1
z
。
式中
z
F A
400 10 3 0.2 0.2
10MPa 。代入数据，得
x
y
0.18 10 1 0.18
2.195MPa
（2）根据题意立方体两水平方向的变形为 0.001cm，应变
x
y
0.001 20
2.854MPa
13 − 14 已知如图所示受力圆轴的直径 d = 20mm，若测 得圆轴表面 A 点处与轴线 45°方向的线应变 ε45°= 5.20× 10-4，材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比 ν = 0.3。试求外 力偶矩 Me。
解：A 点应力状态为纯剪切状态，故 45°方向为主应力
2
2
x
y 2
sin 2
x cos 2
10
2
20
sin[2
(60
)]
15
cos[2
(60
)]
3.17M20Pa
13 − 3 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面 的正应力与切应力。
10
45º
15
13 − 4 已知应力状态如习题13 − 2图所示
（应力单位为MPa），计算图示应力状态中的主
A 45°
Me
习题 13 − 14 图
方向，且有 1 ， 2 0， 3 - 。由
1
1 E
( 1
3 )
1 E
(1 )
5.20 104
得 80MPa。对于扭转是 A 点的切应力
Me WP
，则
Me
WP
80106
D3 16
125.6kN m
13 − 15 一 直 径 为 25mm 的 实 心 钢 球 承 受 静 水 压 力 ， 压 强 为 14MPa 。 设 钢 球 的
τ
τ
60 70
40
20
70
(a)
(b)
习题 13 − 7 图
解：图 a 为三向主应力
状
态
，
50 60
-40
σ
1
1
20 40
O
σ
图a
图b
，应力圆如图（a）。
图 b 一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应 力。于是有
其应力圆如图（b）。
13 − 8 图示悬臂梁，承受荷载 F = 10KN 作用，试求固定端截面上 A、B、C 三点最大
r4
1 2
[
(
1
2
)2
(
2
3)2
( 3
1)2
]
45.83MPa
(b)已知 σ x 30MPa , σ y 20MPa, τ x 10 MPa
1 31.93MPa, 2 0MPa, 3 21.93MPa
则
r1 1 31.93MPa; r2 1 ( 2 3 ) 31.93 0.3(0 21.93) 38.51MPa; r3 1 3 31.93 21.93 53.86MPa;
2
2
4
4
x
y 2
sin 2
x cos 2
30 10 sin(2 ) 20 cos(2 ) 10MPa
2
4
4
（b）已知 x 30MPa , y 10MPa, x 20 MPa
则：
x
y 2
x
y 2
cos 2
x sin 2
30 10 30 10 cos(2 22.5 ) 20 sin(2 22.5 ) 12.93MPa
解：
20
20
30
40
40
20
20
40
20
(a)
(b)
(c)
习题 13 − 5 图
（a）已知 x 40MPa , y 20MPa,
则由公式可直接得到该单元体的主应力
x 20 MPa
主应力为：
因为
，主应力 对应的方位角为
。
（b）已知 x 40MPa , y 20MPa,
则由公式可直接得到该单元体的主应力
(a)
应力及方位。
习题 13 − 3 图
40 60º 20
(b)
解：（a）已知 x 30MPa , y 10MPa,
则由公式可直接得到该单元体的主应力
x 20 MPa
主应力为：
因为
，主应力 对应的方位角为
。
13 − 5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考 虑）。图中应力的单位为MPa。
σ
0
τ
τ0
(a)
(b)
(c)
习题 13 − 6 图
解：图 a 为单向应力状态，图 b 为纯剪切应力状态，图 c 为平面应力状态，其应力圆
如图。 最大切应力分别为：
τ
τ
τ
σ1
σ3
σ1
σ2
O
σ
O
σO
σ1 σ
图a
图b
图c
13 − 7 已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单
位为 MPa）。 50
则由公式可直接得到该斜截面上的应力
x 20 MPa
10
30
45º
20
10
67.5º 30 20
20
60º
10
15
50 60º 30
(a)
(b)
(c)
(d)
习题 13 − 2 图
x
y 2
x
y 2
cos 2
x sin 2
30 10 30 10 cos(2 ) 20 sin(2 ) 40MPa
E=210GPa，ν=0.3。试问其体积减少多少？
解：根据题意有
1 2 3 -14 MPa
体应变
体积改变量
1- 2 E
( 1
2
3)
1 2 0.3
-
314
210 103
-8.0 105
13 − 16
V V 8.0 105 d 3 0.65417mm3 6
试对图示三个单元体写出第一、二、三、四强度理论的相当应力值，设 ν = 0.3。
σy = -40MPa，材料为铝，弹性模量 E ＝ 70GPa，泊松比 ν ＝ 0.33。
解：由广义胡克定律即可求出
z
1 E [σ z-ν(σ x
σy )]
1 -
70 103
0.33(80 40)
1.886104
σy
则 z 1.886 10 4 10 1.886 10 3 mm
h
5.010-5 ，由广义胡克定律得
x
1 E
[σ
x
-ν(σ
z
σy )]
5.010-5
y
1 E
[σ
y
-ν(σ
z
σx )]
5.010-5
式中
z
F
A
400 10 3 0.2 0.2
10MPa 。上式解出
x
y
5.0
105
1
z
E
。
代入数据，得
x
y
5.0 105
0.18 10 2.6 104 1 0.18
解：由题意可知该应力状态为平面应力状态， 根据广义胡克定律有
代入
z 3
y
60º
x
1
习题 13 − 10 图
得 利用斜截面应力公式
及
得
13 − 11 已知各向同性材料的一主应力单元体的 σ1 = 30MPa，σ2 = 15MPa，σ3 =-5MPa， 材料的弹性模量 E = 200GPa，泊松比 ν 0.25 。试求该点得主应变。
解：直接应用广义胡克定律即可求出。
1
1（ E
σ 1 -ν（
σ2
σ
）
3
） 1.37510-4； 2
4.37510-5； 3
- 8.12510-5
13 − 12 图示矩形板，承受正应力 σx 与 σy 作用，试求板厚的改变量Δδ 与板件的体积
改变ΔV。已知板件厚度 δ = 10mm，宽度 b = 800mm，高度 h = 600mm，正应力 σx = 80MPa，
习题解答
13 − 1 木制构件中的单元体应力状态 如图所示，其中所示的角度为木纹方向与 铅垂线的夹角。试求：
（l）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a可知
x 2.0 MPa , y 1.6 MPa, x 0 MPa
1.6
2.0
1.25
15º
单位：MPa
(a)
σx
体应变
1- 2 E
( x
y)
1 2 0.33 (80 70 103
40)
1.943104
b 习题 13 − 12 图
板件的体积改变量
V V 1.943104 800 60010 932.57mm3
13 − 13 如图所示，边长为 20cm 均
F
质材料的立方体，放入刚性凹座内。顶
部受轴向力 F = 400kN 作用。已知材料
x 40 MPa
主应力为：
因为
，主应力 对应的方位角为
。
（c）已知 x 20MPa , y 30MPa,
则由公式可直接得到该单元体的主应力
来自百度文库
x 20 MPa
主应力为：
因为
，主应力 对应的方位角为
。
13 − 6 已知应力状态如图所示（应力单位为 MPa），试画三向应力圆，求最大切应力。
σ
截面 c 点的应力：
力状态，则
,其应力状态为纯剪切应 , 最大切应力作用面的方位为
13 − 9 空心圆杆受力如图所示。已知 F=20kN，D=120mm，d = 80mm，在圆轴 F
A
30
F
表面 A 点处测得与轴线成 30°方向的线应
变 ε30°= 1.022×10－5，弹性模量 E=210GPa, 试求泊松比 ν。
(b)
习题 13 − 1 图
（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力
15
2 1.6 2
2 1.6 cos[2 (15 )] 2
1.97MPa
15
2 1.6 sin[2 (15 )] 0.1MPa 2
（2）垂直于木纹方向的正应力
75
2 1.6 2
2 1.6 cos[2 75 ] 2
2
2
x
y 2
sin 2
x cos 2
30 10 sin(2 22.5 ) 20 cos(2 22.5 ) 21.21MPa 2
（c）已知 x 10MPa , y 20MPa, x 15 MPa 60
则：
x
y 2
x
y 2
cos 2
x sin 2
10 20 10 20 cos[2 (60 )] 15 sin[2 (60 )] 30.49MPa