高级数理逻辑-习题

1. 逻辑语言由哪些内容构成？现代逻辑扩张的方法有哪些？举例说明。

（1）逻辑语言构成

1. 一个字母表（alphabet ）：记为A 或∑，其元素称为符号，符号（symbol,sign ）的有限串构成字（word ）。

2. 一个项集（term set ）：记为TERM ，其元素称为项（term ），是某种合法的字。

3. 一个公式集（formula set,well-formed formula--wff ）：记为FORMULA ，其元素称为合式公式（wff ），简称公式，是某种合法的字。

一般地，项集与公式集是不相交的，即TERM ⋂FORMULA=Ø。

4. 有关的一些语法理论：

1）项形成规则（formation rule of terms ）：规定合法的项；

2）公式形成规则（formation rule of wffs ）：规定合法的公式；

3）括号省略的原则：缩写约定；

4）代入规则（substitution rule ）：代入的原则及为保持这一原则所作的规定；

5）其它语法概念：为涉及的其它语法问题所作的规定。

（2）现代逻辑扩张方法

1. 先从语义开始，对已有的各种联结词、算子做出新的语义解释，从而引出有关这些联结词、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统（从语义到语法）；例如：三值逻辑、多值逻辑、模糊逻辑、归纳逻辑等。

2. 先从语法开始，对已有的逻辑系统增加新的词项及新的算子，从而引出有关这些词项、算子的新公理、新规则，进而导致产生新的逻辑系统，新的逻辑体系立即引发出全新的语义解释（从语法到语义）

3. 两种扩张的方法混合使用。

（3）扩张方法举例

1. 三值逻辑是如何从二值逻辑扩张而来的

（1）（2）（3）（4）见PPT ......

2. 从语法到语义的扩张

例如：以下是各非经典逻辑所增加的新算子。

模态逻辑：☐（必然），◇（可能）；

时态逻辑：☐（总是），◇（有时），o （下一个），O （下一时），U （直到）；

二阶逻辑：二阶变项，二阶量词；

道义逻辑：O （必须），P （允许），F （禁止）；

优先逻辑：P （优先）；

时间逻辑：P （过去），R （现在），F （将来）；

时相逻辑：H （发生），B （未发生），A （事后），G （完成）；

信念逻辑：B （相信）；

断定逻辑：A （断定）；……等。

3. 两种扩张的方法混合使用。

例如：非经典的莱欣巴哈（Reichenbach ）三值量子逻辑。

在联结词方面莱欣巴哈三值量子逻辑增加了：

两种否定词：～（循环否定），——（完全否定），（原否定词（（）称为直接否定（－））；

两种蕴涵词：（（二者择一蕴涵）， （准蕴涵），（原蕴涵词（（）称为标准蕴涵（（））；

一种等价词： （二者择一等价），（原等价词（（）称为标准等价（（））；

（并且原合取词（∧）记为（⋅））。

2. 求命题公式)()(Q P Q P ∧↔∨⌝的析取范式与合取范式。

2

13

0)()()()())

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（1）))()((P Q Q P P ⌝∨⌝⌝∧→→

3

10)

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（2）)))(((R Q Q P P →⌝∨→⌝∨ 7

654321)

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Q P R Q Q P P ∨∨∨∨∨∨⇔∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧⇔∧⌝∨∧⌝∨∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∨∧⌝∨∧⇔∨∨⇔∨∨∨∨⇔ 4. 利用基本等值式证明下列命题公式为恒真公式。

T

R

T P R Q Q P R

R Q P Q P R

P R Q Q P R P R Q Q P R P R Q Q P ⇔∨∨⌝⇔∨∨⌝∨⌝⇔∨⌝∧∨⌝∨⌝∧⇔∨⌝∨⌝∧∨⌝∧⇔∨⌝∨∨⌝∧∨⌝⌝⇔→→→∧→)

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