向量在数学中的应用

向量在数学中的应用

向量知识在数学中有广泛的应用，向量作为一种工具研究数学问题，使得直观的几何关系代数化，使得数与形有机的结合起来。它不仅在几何中也在代数中有广泛的应用，向量的数量积cos a b a b θ∙=，此公式形式简洁，内容丰富，在代数

中许多等式、不等式问题都可转化为向量的运算，可以使问题得到简洁的解答，下面就介绍这几方面的应用。

一证明恒等式

证明等式有时用常规方法较繁，用向量就简洁。

例1 证明 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

证明：构造向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= 由cos a b a b θ∙=，θ为两向量的夹角得：

2222cos cos sin sin sin cos sin cos cos()αβαβααββαβ+=+⨯+⨯-即 cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+

二证明不等式

例2 设,,a b c 为正数且1a b c ++=求证1119a b c ++≥。 证明由αβαβ≥∙，设(,,)a b c α=111(,,)a b c β=

则a b c ++111a b c ⨯++3≥两边同时平方得

111()()9a b c a b c ++⨯++≥所以111()9a b c ++≥。

三求函数的极值 求函数极值用向量运算简洁明了，使解题变得容易。

例3 求函数51102y x x =-+-的最大值。 解：y 5125x x =⨯-+⨯-

构造向量(5,2)α=，(1,5)x x β=-- αβαβ≥∙得22225125521563x x x x -+-≤+⨯-+-= 所以函数的最大值是63

四在平面几何中的应用

用向量证明几何问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明。

例 4 求证平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和。

证明AC AB CD =+,DB AB AD =-

以上两试平方后相加并整理得：22222()AC DB AB AD +=+,

所以222222AC DB AB AD BC CD +=+++.

用向量解题巧妙简洁，可避免繁琐的计算，我们经常注意观察分析问题，构造向量，利用向量的性质解决问题一定会出现更巧妙的解法。