最新几何体的外接球的体积和表面积
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构造直角三角形使用技巧
球心在几何体外部
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
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三、补形法wenku.baidu.com
例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是_____
A O C
P
B
三、补形法
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
OB OO O1B
2 1
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构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球 圆柱的外接球
O R
B
C
l 设柱体的高为l , 底面外接圆的半径为r, 则有R r 2
2
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构造直角三角形使用技巧
圆锥的外接球 正棱椎的外接球
O
O
O1
A
O1
A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
2 2 2
设正方体的边长为a, 则有2R 3 a
构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球 圆柱的外接球
O R
B
C
l 设柱体的高为l , 底面外接圆的半径为r, 则有R r 2
2
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构造直角三角形使用技巧
椎体的外接球
O
O
O1
A
O1
A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
2
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课后作业
1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2，3，则此球的表面积为 。 3．设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA PB PC a , 则球心 O 到截面 ABC 的距离是 .
三、补形法
且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
例5：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SC 侧面SAB ，侧棱 SC 2 ， 则此正三棱锥的外接球的表面积为
3 5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上， 2
则此球的体积为 ．
三、补形法
例4：求棱长为a的正四面体P-ABC的 外接球的表面积。
将正四面体放到正方体中， 2 得正方体的棱长为 a, 2 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 6 所以R＝ a. 4
三、补形法
变式：四面体ABCD，AB=CD= 2，AC=BD= 3， AD=BC=1，求其外接球体积
将正四面体放到长方体中， 边长为a,b,c,则有： a 2 b2 1 c2 b 2 2 a2 c2 3 a 2 b2 c2 3 R 2 2
多面体外接球的半径的求法
多面体外接球的半径的求法
• 方法一：直接法 • 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
2010 年文 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a 、a 、a,其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为 （A ） 3 a2 （B） 6 a2 （C ） 12 a 2
A
O A O1 B
（D ） 24 a 2
C
O
A1
C1
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
设正方体的边长为a, 则有2R 3 a
二、构造直角三角形
2010 年理 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
2
构造直角三角形使用技巧
球心在几何体外部
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
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三、补形法wenku.baidu.com
例3：若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且 侧棱长均为a，则其外接球的表面积是_____
A O C
P
B
三、补形法
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
OB OO O1B
2 1
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构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球 圆柱的外接球
O R
B
C
l 设柱体的高为l , 底面外接圆的半径为r, 则有R r 2
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构造直角三角形使用技巧
圆锥的外接球 正棱椎的外接球
O
O
O1
A
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A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
2 2 2
设正方体的边长为a, 则有2R 3 a
构造直角三角形使用技巧
任意直棱柱的外接球 圆柱的外接球
O R
B
C
l 设柱体的高为l , 底面外接圆的半径为r, 则有R r 2
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构造直角三角形使用技巧
椎体的外接球
O
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O1
A
O1
A
设椎体的高为h, 底面外接圆的半径为r, 则有R r h R
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课后作业
1.（球内接正四面体问题）一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上， 则此球的表面积为 2. （球内接长方体问题） 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且一个顶点上的三条棱的长分别为 1， 2，3，则此球的表面积为 。 3．设 P, A, B, C 是球 O 面上的四点,且 PA, PB, PC 两两互相垂直,若 PA PB PC a , 则球心 O 到截面 ABC 的距离是 .
三、补形法
且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
例5：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，
补形法的使用技巧
根据题中给出的线面位置关系，将其放到特殊的 几何体中，转化为直接法或构造直角三角形法。
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高 分别为 a、b、c，则 l a b c 2R
4.（球内接正三棱锥问题）在正三棱锥 S ABC 中，侧棱 SC 侧面SAB ，侧棱 SC 2 ， 则此正三棱锥的外接球的表面积为
3 5.（球内接棱柱问题） 若一个底面边长为 ，棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上， 2
则此球的体积为 ．
三、补形法
例4：求棱长为a的正四面体P-ABC的 外接球的表面积。
将正四面体放到正方体中， 2 得正方体的棱长为 a, 2 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 6 所以R＝ a. 4
三、补形法
变式：四面体ABCD，AB=CD= 2，AC=BD= 3， AD=BC=1，求其外接球体积
将正四面体放到长方体中， 边长为a,b,c,则有： a 2 b2 1 c2 b 2 2 a2 c2 3 a 2 b2 c2 3 R 2 2
多面体外接球的半径的求法
多面体外接球的半径的求法
• 方法一：直接法 • 方法二：构造直角三角形 • 方法三：补形
一、直接法
2010 年文 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a 、a 、a,其顶点都在一个 球面上，则该球的表面积为 （A ） 3 a2 （B） 6 a2 （C ） 12 a 2
A
O A O1 B
（D ） 24 a 2
C
O
A1
C1
直接法的使用技巧
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则 l a b c 2R
2 2 2
设正方体的边长为a, 则有2R 3 a
二、构造直角三角形
2010 年理 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a， 顶点都在一个球面上，则该球的表面积为