立体几何中轨迹问题的解决策略

D. 例 15 设异面直线a,b 成 60 角，它们的公垂线段是 EF ，且 EF = 2 ，线段 AB 的长为 4，两端点 A,B 分别在 a,b 上移动，求 AB 中点 P 的轨迹.
解 取 EF 中点O ，过点O 分别作a′∥a,b′∥b ，分别过 A,B 作 AC ⊥ a′,BD ⊥ b′ ，C,D 为垂足，连接CD ， 则CD 与 AB 必交于中点 P ，于是点 P 必在线段 EF 的中垂面内运动，延长 AC 至G ，使 BG∥CD ，
由题可知 ∠CNP = ∠BMP = 90°, ∠CPN = θ1 = θ2 = ∠BPM ⇒CNP ∽ BMP
所以 PB PC
=
BM CN
，又因为 BEM ∽ CFN （ ∠BEM
= ∠CFN 为二面角平面角）
所以 BM = BE 为定值，由平面几何知识可知，到两个定点距离之比为常数 k(k ≠ 1) CN CF
y2 − x 2 = a2 ，所以 M 的轨迹是双曲线.
例 11 如图，动点 P 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 的对角线 BD1 上，过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与
( ) 正方体表面相交于 M,N ，设= BP x= ,MN y ，则函数 y = f x 的图象大致是（ ）
中点，P 为平面 DMN 内的一个动点，当点 P 到平面 BCC1B1 的距离等于 PD 的长时，求 P 点轨迹的离心率
解：作 PE ⊥ 平面 BCC1B1 于 E ，PF ⊥ MN 于 F ，连接 EF ，则有 PD = PE ，且 ∠CSD 是二面角 D − MN −C
的平面角，
在直角 CSD
中，sin
答案 B
解 由题意可知，MN∥AC ，过 P,N 分别作 PE ⊥ BD 于 E ，NF ⊥ BC 于 F ，连接 EF ，易知四边形 EFNP
为平行四边形，故 E= F
P= N
1 2
MN
且 EF
⊥
BD
，故 BEF
是等腰直角三角形，不妨设正方体的棱长为
1，
由于 BPE
BD1D ，可得 E= F B= E
a
所以 BP 更靠近 BA ，故选 D.
例 13 在正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，E 为 AA1 的中点，点 P 在其对角面 BDD1B1 内运动，若 EP 总与直线
AC 成等角，则点 P 的轨迹可能是（ ）
A.圆或圆的一部分 B.抛物线或其一部分 C.双曲线或其一部分 D.椭圆或其一部分 解 如图，设 B1D 与 BD1 交点为O ，则 EO ⊥ 平面 B1D 且 EO∥AC ，当点 P 在平面 B1D 内运动时，因为 ∠PEO 是定值，所以OP 也是定值，故 P 的轨迹为圆或圆的一部分，选 A. 例 14 若二面角 α − l β 的平面角为θ,PA ⊥ α,PB ⊥ β,A,B 为垂足，且= PA 4= ,PB 5 ，设 A,B 到二面角的棱
∠CSD
=DC DS
=4 34
=sin ∠PFE =PE PF
又 PD =PE ⇒ PD = PF
4 ，则动点 P 到定 34
点 D 的距离与到定直线 MN 的距离之= 比e 4 ∈ (0,1)，其轨迹为椭圆， D 为焦点， MN 为准线，离心率 34
为4 34
二、交轨法
例 6：（2008 浙江高考）如图，AB 是平面 α 内的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面 α 内运动，使得 ABP
1 , sin ∠VEC = 3
2 2 ，在平面 ABC 内，过 P 的射影 D 作 DF ⊥ BC 于 3
F ，连接 PF ，根据三垂线定理得 BC ⊥ PF ，所以 ∠PFD 是二面角V − BC − A 的平面角，∠PFD = ∠VEC ，
由此可得 sin ∠PFD = PD = 2 2 ，所以 PF 3
A.一条线段，但要去掉两个点
B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点
D.半圆，但要去掉两个点
解：由 PC ⊥ AC 且 PC 在α 内的射影为 BC ，所以 BC ⊥ AC ，所以点C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去
掉 A,B 两个点，故选 B.
例 4：如图， P 是正四面体 S − ABC 的面 SBC 上一点， P 到面 ABC 的距离与到点 S 的距离相等，则动点
B.点 M 的轨迹是椭圆的一部分
C.点 M 的轨迹是双曲线的一部分
D.点 M 的轨迹是抛物线的一部分
解：以 DA,DC,DD1 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为 1 ，则
( ) ( ) D 0, 0, 0 ，C1 0,1,1 ，设 M(x,y, 0)(0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1)
条平行直线（它是以直线 AB 为旋转轴，9 为底面半径的圆柱面与平面 β 的交线）且到 A1B1 的距离为 17 ， 这两条平行直线与圆有 4 个交点 三、建系法
例 9：如图所示，正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 M 是底面正方形 ABCD 内的一个动点，若直线C1D,C1M
所成的角为 30° ，则以下说法正确的是（ ） A.点 M 的轨迹是圆的一部分
的平面内的轨迹是（ ）
A.直线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线
解 在长方体 ABCD − A1B1C1D1 中建立如图所示的空间直角坐标系，则直线 AD 与 D1C1 是两互相垂直的异面
( ) 直线，过直线 AD 且与 D1C1 平行的平面是平面 ABCD ，设在平面 ABCD 内的动点 M x,y 满足到直线 AD
的轨迹为椭圆
例 2：如图，P 是正四面体V − ABC 的面VBC 上一点，P 到平面 ABC 的距离与到V 的距离相等，求动点
P 的轨迹的离心率
解：设正四面体的棱长为 2 ，取 AB 中点 E ，连接VE,CE ，则 ∠VEC 是二面角V − AB −C 的平面角，
V= E C= E
3 ，所以 cos ∠VEC =
与 D1C1 的距离相等，作 MM1 ⊥ AD 于 M1 ， MN ⊥ CD 于 N ， NP ⊥ D1C1 于 P ，连接 MP ，易知 MN ⊥ 平
面 CDD1C1 ， MP ⊥ D1C1 ， 设 两 异 面 直 线 AD 与 D1C1 的 距 离 为 a ， 则 有 MM=1
2
MP, y=
x2 +a2 ，即
易得C= D B= G 2 3 ，从而问题转化为：长为 2 3 的线段CD 两端点在 60 角两边所在直线a′,b′ 上滑动，
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求中点 P 的轨迹.以O 为原点，a′,b′ 所成 60 角的平分线为 x 轴建立直角坐标系，设
( ) P
x,y
,C
x
1,
3 3
6 x ，所= 以 y 3
26 3
x
0
≤
x
≤
3 2
，同理当
3 2
<x ≤
3 时，
y =− 2 6 x + 2 3
2
3 2
<x ≤
( ) 3
，故
f
x
=
−
2
2
6 3
6 3
x+
x 2
0 2
≤
x≤
3 2
3 2
<x
≤
3
，选
B.
例 12 （2004 重庆高考）若三棱锥 A − BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到底面 BCD 的距离与到棱 AB 的距离
内，所以C 的轨迹是平面α 与平面 β 的交线，故选 A.
例 8：如图，平面α ∥ β ，且两平面间的距离为 8 ，点 A,B 在平面α 内，则平面 β 内到定点 A 的距离为 10
且到直线 AB 的距离为 9 的点的个数为
解：设 AB 在平面 β 内的射影为 A1B1 ，则在平面 β 内到 A 的距离为 10 的点的轨迹是一个以 A1 为圆心，以 6 为半径的圆（它是以 A 为球心，10 为半径的球面与平面 β 的交线），而在 β 内到 AB 的距离为 9 的轨迹是两
( ) l 的距离分别为 x,y ，当θ 变化时，点 x,y 的轨迹是下列图中的（ ）
答案 D
解 设平面 PAB 交棱 l 于点Q ，则 PA ⊥ l,PB ⊥ l ，所以l ⊥ 平面 PAQB .由 PA2 + AQ2 = PQ2 = PB2 + BQ2
( ) 得 42 + x 2 = 52 + y2 ，所以 x 2 − y2 = 9 ，注意到 x,y > 0 ，故点 x,y 的轨迹是双曲线在第一象限内的部分，选
( ) 由 PF =sin ∠PEH =k （ 定 值 ）， 所 以 bx − ay = ky ⇒ bx − a ± k a2 + b2 y = 0 ， 因 为 直 线
PE
a2 + b2
( ) bx − a − k a2 + b2 y = 0 的斜率大于 b ，所以动点 P 的轨迹在 ABC 内的图形是一条线段，由于 PF < PE ，
则C1M = (x,y − 1, −1),C1D = (0, −1, −1) ，直线C1D,C1M 所成的角为 30°
则
C1M ⋅C1D
=
|C1M | ⋅ |C1D |
2−y
= 3 ⇒ x 2 + (y + 1)2 = 1
x 2 + (y − 1)2 + 1 ⋅ 2 2
3
其轨迹是椭圆的一部分
例 10：（2010 重庆高考）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线
立体几何中轨迹问题的解决策略
一、定义法 例 1：在等腰梯形 ABCD 中，E,F 分别是底边 AB,CD 的中点，把四边形沿直线 EF 折起后所在的平面记为
α
，P
∈α
，设 PB,PC
与α
所成的角分别为
θ1,
θ 2
，若
θ= 1
θ 2
≠
0 ，则点 P
的轨迹为（
）
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
解：如图所示，折起前 EF ⊥ AB ，折起后 EF ⊥ AE,EF ⊥ BE ⇒ EF ⊥ 平面 ABE 作 BM ⊥ AE 于 M ，又 EF ⊥ 平面 ABE ，所以 EF ⊥ BM ，所以 BM ⊥ 平面 AEF 同理，作CN ⊥ DF 于 N ，则CN ⊥ 平面 DEF ，即 BM ⊥ α,CN ⊥ α
例 7：（2006 北京高考）平面 α 的斜线 AB α = B ，过定点 A 的动直线l ⊥ AB 且l α = C ，则动点C 的轨 迹是（ ）
A.一条直线
B.一个圆
C.一个椭圆
D.双曲线的一支
解：设过定点 A 且与 AB 垂直于的平面为 β ，则l ⊂ β ，又C ∈ l ，所以C 在平面 β 内，又动点C 在平面 α
PV = 2 2 ，即在平面VBC 内，动点 P 到定点V 的距离与 P 到定直线 BC 的距离之比是一个小于1 的正常 PF 3 数，，根据椭圆的第二定义，动点 P 的轨迹为椭圆的一部分，其离心率为
22 3
例 3：（2004 天津高考）如图，定点 A 和 B 都在平面α 内，定点 P ∉ α,PB ⊥ α,C 是α 内异于 A,B 的动点， 且 PC ⊥ AC ，在动点C 在平面α 内的轨迹是（ ）
P 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
解：过 P 作 PD ⊥ 平面 ABC ，则 PD = PS ，过 D 作 DE ⊥ BC ，连接 PE ，则 PE ⊥ BC
且 ∠PED 是二面角 S − BC − A 的平面角， ∠PED = θ 为定值，且 PD = PE sinθ ，即 PS = PE sinθ ，显然 PE > PS ，动点 P 到定点 S 的距离与它到定直线 BC 的距离之比为常数e ∈ (0,1) ，根 据圆锥曲线定义可知 P 的轨迹为椭圆 例 5：如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，M,N 分别为棱 BB1,B1C1 的中点，S 为线段 MN 的
的面积为定值，则动点 P 的轨迹是（ ）
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
解：因为 AB 长为定值，要使 ABP 的面积为定值，即点 P 到直线 AB 的距离为定值，则 P 的轨迹是以直线
AB 为轴的一个圆柱的侧面，又 P ∈ α ，所以 P 的轨迹是圆柱侧面与平面α ，因为圆柱的轴与平面 α 斜交， 故 P 的轨迹为椭圆
相等，则动点 P 的轨迹与 ABC 组成的图形可能是（ ）
答案 D 解 如图，过 P 作 PH ⊥ 平面 BCD ，PE ⊥ BC,PF ⊥ AB 于 H,E,F ，则 PH = PF ，在平面 ABC 内，以 B
( ) ( ) 为原点， BC 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，设 A a,b ,P x,y ，则直线 AB 的方程为bx − ay = 0 ，