1经典物理学不能解释

习题
第一章 绪论
一、填空
1.经典物理学不能解释： 、 、 、 和 等问题。

2.1900年，为解决黑体辐射的困难，普朗克提出了____的概念，导出了以他名字命名的普朗克公式 ；1905年，普朗克的量子化概念被爱因斯坦进一步推广，得到了光子的动量和波矢量的关系式 。

这两个关系式合称为普朗克－爱因斯坦关系式。

3.利用普朗克－爱因斯坦关系式，可以解释____、____和____实验结果。

二、概念与名词解释
1.黑体辐射
2.玻尔的量子论
3.光的波粒二象性
4.德布罗意关系
5.杜隆－珀蒂定律 三、计算
1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m T b λ= （常量）；
并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

3．氦原子的动能是kT E 2
3
=（k 为玻耳兹曼常数）
，求1T K =时，氦原子的德布罗意波长。

4．利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场10H T =，玻尔磁子124109−−⋅×=T J M B ，试计算动能的量子化间隔△E ，并与4T K =及100T K =的热运动能量相比较。

5．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
第二章 波函数和薛定谔方程
一、填空
1. 一维谐振子的能量本征值n E 与_____有关，能量是量子化的。

最低的能量是____，称为_____。

能级都是等间距的，间隔都是____。

2. 定态的性质：粒子的____和____不随时间变化；任何不显含时间变量的力学量的____和____不随时间变化。

二、概念与名词解释
1. 态叠加原理
2. 概率流守恒定律
3. 定态
4. 束缚态 三、计算
1．证明在定态中，几率流与时间无关。

2．由下列定态波函数计算几率流密度：
ikr ikr e r
e r −==1
)2( 1)1(21ψψ
从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。

3．一粒子在一维势场
⎪⎩
⎪
⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

4．证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1
=
′
5．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

6．在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =−，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

7．一粒子在一维势阱中 ⎪⎩⎪⎨
⎧≤>>=a
x a
x U x U ,0 ,0)(0 运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。

8．分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<≤≤−<≤<∞=，
，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10
x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。

第三章 量子力学中的力学量
一、概念与名词解释
1．转置算符、复共轭算符、厄米共轭算符、厄米算符 2．算符对易与不对易 3．不确定关系 4．奇宇称，偶宇称 5．维里定理 二、计算
1．一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ
αψ2
2
22)(−−
=，求：
(1)势能的平均值221
2
U x µω=
； (2)动能的平均值2
2p T µ=；
(3)动量的几率分布函数。

2．氢原子处在基态0/30
1
),,(a r e a r −=πϕθψ，求：
(1)r 的平均值； (2)势能r
e 2
−的平均值；
(3)最可几半径； (4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。

3．证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2
sin m n e r m e J A =ψθ
µϕ=
4．由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。

(1)求一圆周电流的磁矩。

(2)证明氢原子磁矩为
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧−−==)( 2)( 2CGS c me SI me M M z µµ==
原子磁矩与角动量之比为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧−−=)( 2)( 2CGS c e SI e
L M z
z µµ
这个比值称为回转磁比率。

5．一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是2
2L H I =，L 为角动
量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：
(1)转子绕一固定轴转动； (2)转子绕一固定点转动。

6．设t=0时，粒子的状态为
212()[sin cos ]x A kx kx ψ=+ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

7．一维运动粒子的状态是
, 0
() 0, 0
x Axe x x x λψ−⎧≥=⎨
<⎩当当 其中0λ>，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

8．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数
()()x Ax a x ψ=−
描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。

9．设氢原子处于状态
211021111(,,)()(,)()(,)22
r R r Y R r Y ψθφθφθφ−=
− 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率
和这些力学量的平均值。

10．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 , ;
()0, r a U r r a ∞≥⎧=⎨
<⎩ 求粒子的能级和定态波函数。

11．求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆p x 12．粒子处于状态
2
1/2
0221
()()exp[24i x x p x ψπξξ
=−=
式中ξ为常量。

求粒子的动量平均值，并计算测不准关系22()()?x p ∆⋅∆=
13．利用测不准关系估计氢原子的基态能量。

第四章 态和力学量的表象
一、概念与名词解释
1．表象 2．希尔伯特空间
3．希尔伯特空间中矢量的内积
4．幺正矩阵，幺正变换 5．占有数表象 二、计算
1．求在动量表象中角动量ˆx L 的矩阵元和2ˆx
L 的矩阵元。

2．求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

3．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

4．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

5．设已知在2ˆˆz L L 和的共同表象中，算符ˆx L 和ˆy
L 的矩阵分别为
010101010x L ⎛⎞⎟=⎟⎟
⎠
000200y i L i i i −⎛⎞
⎜⎟
=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠ 求它们的本征值和归一化的本征函数。

最后将矩阵x y L L 和对角化。

6．求连续性方程的矩阵表示。

第五章 微扰理论
一、概念与名词解释
1．斯塔克效应 2．跃迁概率 3．费米黄金规则 4．选择定则 二、计算
1．如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。

2．转动惯量为I 、电偶极矩为D G 的空间转子处在均匀电场在εG
中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。

3．设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰ˆH
′的作用，微扰矩阵元为b H H a H H =′=′=′=′22112112
，；a b 、都是实数。

用微扰公式求能量至二级修正值。

4．设在0t =时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。

设单色光的电场可以近似地表示为sin t εω，ε及ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。

求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。

5．基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即
⎩⎨⎧≥≤=−)(0 ,0 ,0/0为大于零的参数当当τεετ
t e t t 求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。

6．计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。

7．计算氢原子由2p 态跃迁到1s 态时所发出的光谱线强度。

8．求线性谐振子偶极跃迁的选择定则
第六章 电子自旋
一、填空
1． 实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一。

为了解释该实验， 和 提出了电子具有自旋角动量的说法。

2．在),ˆ(x 2σσ的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、
_____和_____。

1．电子自旋 2．泡利矩阵
3．无耦合表象，耦合表象
4．塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算
1．证明：ˆˆˆx y z i σ
σσ= 2．求在自旋态)(1z S χ中，ˆx S 和ˆy
S 的测不准关系： 22()()?x y S S ∆∆=
3．求010ˆˆ10022x y i S S i −⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠==及的本征值和所属的本征函数。

4．求自旋角动量)cos ,cos ,(cos γβα方向的投影 γβαcos ˆcos ˆcos ˆˆz
y x n S S S S ++= 本征值和所属的本征函数。

在这些本征态中，测量ˆz S 有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ˆz
S 的平均值是多少？ 5．设氢的状态是 ⎟⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝⎛−=),()(23),()(2
110211121ϕθϕθψY r R Y r R ①求轨道角动量z 分量ˆz L 和自旋角动量z 分量ˆz
S 的平均值； ②求总磁矩 S e L e M ˆˆ2ˆG
G G µ
µ−−=的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示）。

第七章 全同粒子体系
一、填空
1．___、___、___以及其他所有内禀固有属性完全相同的粒子称为全同粒子。

2．在量子统计中，由费米子组成的体系服从____统计，由玻色子组成的体
系服从____统计。

1．全同性原理 2．费米子，玻色子 3．泡利不相容原理
三、计算
1．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有
两个可能的单粒子态。

问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
2．证明)
3()2()1(,,S
S S χχχ和A χ组成的正交归一系。

3．设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是222
1
)(r r U µω=。

如果电子之间的库仑能和)(r U 相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿x 方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。