初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题14 平行线分线段成比例

专题14 平行线分线段成比例

阅读与思考

平行线分线段成比例定理是证明比例线段的常用依据之一，是研究比例线段及相似形的最基本、最重要的理论．

运用平行线分线段成比例定理解题的关键是寻找题中的平行线．若无平行线，需作平行线，而作平行线要考虑好过哪一个点作平行线，一般是由成比例的两条线段启发而得．此外，还要熟悉并善于从复杂的图形中分解出如下的基本图形：

例题与求解

【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝a ，BC ＝b ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，则PQ 的长为＿＿＿＿．

（上海市竞赛试题）

解题思路：建立含PQ 的比例式，为此，应首先判断PQ 与AD （或BC ）的位置关系，关键是从复杂的图形中分解出基本图形，并能在多个成比例线段中建立联系．

【例2】如图，在△ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点，BM 交AD ，AE 于G ，H ，则BG ︰GH ：HM 等于（ ）

A ．3︰2︰1

B ．4︰2︰1

C ．5︰4︰3

D ．5︰3︰2

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

解题思路：因题设条件没有平行线，故须过M 作BC 的平行线，构造基本图形．

【例3】如图，□ABCD 中，P 为对角线BD 上一点，过点P 作一直线分别交BA ，BC 的延长线于Q ，R ，交CD ，AD 于S ，T ．

A

B

C

D

E

G

H M

Q

A B

C

D

E

F

P

（吉林省中考试题）

解题思路：要证PQ •PT ＝P R •PS ，需证PQ PS ＝PR

PT

，由于PQ ，PT ，P R ，PS 在同一直线上，故不能直接应用定理，需观察分解图形．

【例4】梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ．

（1）如图1，如果P ，E ，F 分别是BC ，AC ，BD 的中点，求证：AB ＝PE ＋PF ；

（2）如图2，如果P 是BC 上的任意一点（中点除外），PE ∥AB ，PF ∥DC ，那么AB ＝PE ＋PF 这个结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

（上海市闵行区中考试题）

解题思路：（1）不难证明；对于（2），先假设结论成立，从平行线出发证明AB ＝PE ＋PF ，即要证明

PE AB ＋PF AB ＝1，将线段和差问题的证明转化为与成比例线段相关问题的证明．

【例5】如图，已知AB ∥CD ，AD ∥CE ，F ，G 分别是AC 和FD 的中点，过G 的直线依次交AB ，

AD ，CD ，CE 于点M ，N ，P ，Q ．

A B

C

D E

F P

图2

A B

C

D E

F P

图1

Q

A

R

B

C

D S

P

解题思路：考虑延长BA ，EC 构造平行四边形，再利用平行线设法构造有关的比例式．

（浙江省竞赛试题）

【例6】已知：△ABC 是任意三角形．

（1）如图1，点M ，P ，N 分别是边AB ，BC ，CA 的中点，求证：∠MPN ＝∠A ； （2）如图2，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且

AM AB ＝13，AN AC ＝1

3

，点P 1，P 2是 边BC 的三等分点，你认为∠MP 1N ＋∠MP 2N ＝∠A 是否正确？请说明你的理由；

（3）如图3，点M ，N 分别在边AB ，AC 上，且P 1，P 2，…，P 2009是边BC 的2010等分点，则∠MP 1N ＋∠MP 2N ＋…＋∠MP 2009N ＝＿＿＿＿．

（济南市中考试题）

解题思路：本题涉及的考点有三角形中位线定理、平行四边形的判定、相似三角形的判定与性质．

能力训练

A 级

A

B

C

M N

P

图1

A

B

C M

N

1

P 2

P 图2

A

M

N

B

C

1P 2

P 2009

P 图3

Q

A B

C

D

E

F

G

M N

P

1．设K ＝

a b c c +-＝a b c b -+＝a b c

a

-++，则K ＝＿＿＿＿． （镇江市中考试题）

2．如图，AD ∥EF ∥BC ，AD ＝15，BC ＝21，2AE ＝EB ，则EF ＝＿＿＿＿．

3．如图，在△ABC 中，AM 与BN 相交于D ，BM ＝3MC ，AD ＝DM ，则BD ︰DN ＝＿＿＿＿．

（杭州市中考试题）

4．如图，ABCD 是正方形，E ，F 是AB ，BC 的中点，连结EC 交DB ，交DF 于G ，H ，则EG ︰GH ︰HC ＝＿＿＿＿．

（重庆市中考试题）

5．如图，在正△ABC 的边BC ，CA 上分别有点E ，F ，且满足BE ＝CF ＝a ，EC ＝F A ＝b （a ＞b ），当BF 平分AE 时，则

a

b 的值为（ ） A

B

C

D

6．如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点，且AF ︰FD ＝1︰5，连结CF 并延长交AB 于E ，则AE ︰EB 等于（ ）

A ．1︰10

B ．1︰9

C ．1︰8

D ．1︰7

7．如图，PQ ∥AB ，PQ ＝6，BP ＝4，AB ＝8，则PC 等于（ ） A ．4

B ．8

C ．12

D ．16

8．如图，EF ∥BC ，FD ∥AB ，BD ＝3

5BC ，则BE ︰EA 等于（ ）

A ．3︰5

B ．2︰5

C ．2︰3

D ．3︰2

9．（1）阅读下列材料，补全证明过程．

已知，如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥BC 于E ，连结DE 交OC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ．求证：点G 是线段BC 的一个三等分点．

A B

C

D E F 第2题

A

B

C

D M N

第3题

A

B

C

D

E

F

G

H

第4题

A B

C

E

F

G

第5题

A

B

C

D

E F

第6题

Q

A

B

C

P

第7题

A

B C

D

E

F 第8题