定积分求平面图形的面积

所围成的平面图形的面积.
y y f (x)
(X-型图形)
选 x 为积分变量, x [a,b]
y g(x)
0 a x x+dx b
b
A a [ f (x) g(x)]dx
x
（上边界-下边界)
X-型图形:
y y f (x) A?
y g(x)
0a
b
b
b
A a f (x)dx a g(x)dx
y d 所围成的平面图形的面积. (Y-型图形)
y
x 1( y)
d
y dy
y
x 2(y)
c
选 y 为积分变量, y [c, d]
d
A c [2 ( y) 1( y)]dy
（右边界-左边界）
0
x
例2 计算抛物线 y2 2x和直线 y x 4所围平面图形的面积.
A A1 A2
2 2x 2x dx 8 2x x 4 dx
0
2
16 38 18 33
y2 2x
y 2x
A1 A2
y 2x
y x4
注意：应合理选择积分变量.
能否看成X-型图形？
练习 求由直线 y x, y 2x 与直线 y 4 所围成平面图形的面积.
选 x 为积分变量, x [0,1]
面积微元 dA = ( x x2 )dx
1
A 0 (
x x2 )dx


2 3
x
3 2

x3 3
1
0
1 3
y x
(1,1)
(0,0) x x+dx
二、求平面图形面积的两种类型 （重点）
（1）由两条曲线 y f x，y g x g x f x以及直线 x a, x b
A: 4
B: 2
C: 8
解 选A
D: 16
三、小结
1.求平面图形面积的两种类型
b
A a [ f (x) g(x)]dx
d
A c [2 ( y) 1( y)]dy
X-型图形 Y-型图形
2.求平面图形面积的一般步骤
(1) 作图形 (2) 求交点 (3) 确定类型，用公式，求 积分
1 6
y3

18
2
y x4 x y+4
注意：注意各积分区间上被积函数的形式． 能否看成X-型图形？
例2 计算抛物线 y2 2x和直线 y x 4所围平面图形的面积.
解2 由 y2 2x 得两曲线的交点：(2, 2)、(8, 4) ，选 x 为积分变量. y x4
高等数学之——
7.1.2 定积分求平面图形的面积
第七章 定积分的应用
第一节 定积分在几何上的应用
第二讲 定积分求平面图形的面积
引入：
如何计算湖泊 的面积呢？
如何求不规则图形的面积呢？
一、简单回顾微元法
y
y f (x)
（1） x a,b
（2） 取微段 、求微元
取其中任一小区间 x, x dx，求出
解 由 y2 2x 得两曲线的交点：(2, 2)、(8, 4)
y x4
x y2
选 y 为积分变量，y [2, 4]
y2 2x2
d
A c [2 ( y) 1( y)]dy 4 A
y 4 y2 dy
2
2
4


1 2
y2

4
y


b
a

f
(
x)

g
(
x)
dx
x
（上边界-下边界)
练习 求由曲线 y x2 和直线 y 2x 3所围成的图形的面积.
A:Hale Waihona Puke Baidu16 3
C: 7 3
解 选B
B: 32 3
D: 47 3
（2）由两条曲线 x 1( y), x 2 ( y) 1(y) 2(y) 以及直线 y c,
A
相应于这小区间的部分量 A的近似值，
记作：dA f xdx
o
a
x x dx b
x （3）求积分
b
A f (x)dx
a
A?
dA ?
例1 计算由两条抛物线 y x2 和 y x 所围成的图形的面积.
解
由

y

x2
得两曲线的交点：(0, 0)、(1,1)
y x