数据包络分析讲义教材课程

• 对于每一个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数：
பைடு நூலகம்
s
hj
uT yi vTxj
ur yrj
r1 mn
, j 1,2,,n
vi xij
i1
我们总可以适当的取权系数v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
• 对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越大表 明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较多的输出。 这样我们如果对DUMj0进行评价，看DUMj0在这n个 DMU中相对来说是不是最优的，我们可以考察当尽可能 的变化权重时， hj0的最大值究竟是多少。
u2
. . . . . …. .
...
. yrj … .
.
ur
. . . . . …. .
ys1 ys2 ys3 … ysj … ysn s
us
权系数 s种输出
各字母定义如下：
• xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总量.xij〉0 • yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总量.yrj〉0 • vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 • ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 • i ----------1,2,…,m • r ----------1,2,…,s • j ----------1,2,…,n
DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析和线形规 划为工具的一种评价方法，应用数学规划模型计算比较决 策单元之间的相对效率，对评价对象做出评价，它能充分 考虑对于决策单元本身最优的投入产出方案，因而能够更 理想地反映评价对象自身的信息和特点；同时对于评价复 杂系统的多投入多产出分析具有独到之处。
DEA方法的特点：
应用DEA方法对经济体 效率的评价
西安交大经济管理学院
目 录：
一、 DEA方法简介 二、 DEA基本原理和模型 三、 DEA应用案例 四、 DEA软件介绍 五、 DEA主要应用领域 六、 DEA最新研究进展 七、DEA主要参考文献
一、 DEA方法简介
数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978年提出， 该方法的原理主要是通过保持决策单元（DMU, Decision Making Units） 的输入或者输入不变，借助于数 学规划和统计数据确定相对有效的生产前沿面，将各个决 策单元投影到DEA的生产前沿面上，并通过比较决策单元 偏离DEA前沿面的程度来评价它们的相对有效性。
• 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规划一个重要 的有效理论是对偶理论，通过建立对偶模型更容易从理论 和经济意义上作深入分析
• 规划P的对偶规划为规划D/：
（D/）
min
n
s . t . j x j x 0 j1
n
jy j y0 j1
j 0 , j 1,2 , n 无约束
t
1 vTx0
,wtv,tu
由t vt1x0 wtx0 1
可变成如下的线性规划模型P：
maxhj0 T yo
（P） s.t.wT xj T y j 0, j 1,2, n
wT x0 1
w 0, 0
• 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有效性，从 模型可以看出，该决策单元j0的有效性是相对其他所有决 策单元而言的。
• 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛变量s＋和
剩余变量s－，将上面的不等式约束变为等式约束，可
变成：
min
n
s .t .
jx j s x0
j1
（D）
n
jy j s y0 j1
j 0 , j 1,2 , n
无约束，
s 0,s 0
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的对偶规划
➢ 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求 得最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
➢ DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输 入输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显 示表达式
二、 DEA基本原理和模型
定义：
权系数
1 2 3 … j …n
v1
1 x11 x12 x13 … x1j … x1n
v2
2 x21 x22 x23 … x2j … x2n
. . . . . . ….
vi
.. .
.
. Xij … .
. . . . . . ….
vm
m xm1 xm2 xm3 … xmj … xmn
n个 决策单元 （DMU）
m种输入
y11 y12 y13 … y1j … y1n
1
u1
y21 y22 y23 … y2j … y2n 2
• 定理2 DMUj0 为弱DEA有效的充要条件是线性规划 （D）的最优值θ*＝1； DMUj0为DEA有效的充要条件是 线性规划（D）的最优值θ*＝1，并且对于每个最优解λ*， 都有s*＋＝0，s*-＝0
DEA有效性的定义：
我们能够用CCR模型判定是否同时技术有效和规模有效：
• （1）θ*＝1，且s*＋＝0，s*-＝0。则决策单元j0为DEA有 效，决策单元的经济活动同时为技术有效和规模有效
• 如以第j0个决策单元的效率指数为目标，以所有决策单元 的效率指数为约束，就构造了如下的CCR（C2R）模型：
s
u r y rj o
max
h jo
r 1 m
v i x ij o
i1
s
u r y rj
s .t.
r 1 m
1, j 1,2, n
v i x ij
i1
u 0,v 0
• 上述规划模型是一个分式规划，使用Charnes－Cooper变 化，令：
几个定理和定义：
• 定理 1 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行解， 所以都存在最优值。假设它们的最优值为别为hj0*与θ*， 则有hj0*＝ θ*
定义1 若线性规划（P）的最优值hj0*＝1，则称决策单元 DMUj0为弱DEA有效
定义2 若线性规划（P）的解中存在w*＞0，μ* ＞0， 并且最优值hj0*＝1，则称决策单元DMUj0为DEA有效的
• （2）θ*＝1，但至少某个输入或者输出大于0，则决策单 元j0为弱DEA有效，决策单元的经济活动不是同时为技术 效率最佳和规模最佳
• （3） θ*＜1，决策单元j0不是DEA有效，经济活动既不是 技术效率最佳，也不是规模最佳