北京大学数学分析答案

北京大学2005 数学专业研究生 数学分析 1. 设x x

x x x x f sin sin 1sin )(22--=

，试求)(sup lim x f x +∞

→和)(inf lim x f x +∞

→.

解:22

sin 1

()sin sin (0,1].sin x x f x x x x x

-=∈-首先我们注意到.在的时候是单调增的 222

2

22sin 1sin .sin sin ,sin 11

x x x x x x x x x x x x x -≤≤→+∞---并且在充分大的时候显然有所以易知在时当然此上极限可以

令2,2

x k k π

π=+

→+∞这么一个子列得到.

2222sin sin ().lim 0,lim inf 0,lim inf ()

sin sin x x x x x x

f x f x x x x x

→+∞→+∞→+∞==--对于的下极限我们注意到而所以有此下极限当然可以

令(21),.x k k π=+→+∞这么个子列得到

2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。证明)(x f 在),(b a 一致连续.

证明:()(,).()(,).f x x a b M f x a b '∈设在时上界为因为在开区间上可微

12,(,),

x x a b ∀∈对于由

,

Lagrange 中值定理存在

1

2

1

2

12

1

(,)

,(

)()(

x x f x f x

f x ξξ'∈-=-

≤-使得.

这

显

然

就

是

12,,.()(,).Lipschitz x x f x a b 条件所以由任意性易证明在上一致收敛

(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明） 证明:否定回答.()(,).f x a b '在上是无界的

1

2()(1),()[0,1].f x x f x Cantor =-设显然此在上是连续的根据定理,闭区间上

连续函数一致连续.所以()f x 在(0,1)上一致连续.

显然此

1

212

1

()(

1)

(0,1)

.

2(1

)

f x x f x x -'=-=-在上是可微的而1

2

1()(0,1).2(1)

f x x -'=

-在上是无界的

3．设)1(sin )(2

2+=x x f . (1)求)(x f 的麦克劳林展开式。

(2)求)0()

(n f

。)3,2,1( =n

解: 这道题目要是直接展开是很麻烦的.先对原式做一下变形.有

211

()cos[2(1)].cos .22

f x x x Maclaurin =

-+再由的展开式有 αβ

≠.

又

由

于

()f x 是偶函数，所以其展开式形式应该为：

242012()n n f x k k x k x k x =+++++

比

较

系

数

有

：

00

k =，接下

来

，

若

p 为奇数，则由2221112(1)()(1)2(2)!

k k

k i x f x k ∞+=+=-∑中2p

x 项系数为：

21212211222(1)112(1)2(2)!2(2)!!p k k k k k p

p p k k C k k k p p +++∞+∞++==⎡⎤⎡⎤

--⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

∑∑ ，此时令

1

221,.2

p k p t k t --=-⇒=+

有1

121

122

21

2(1)2

(1)2(1)sin 2

2!

(21)!2!

p p p

t t p

p t k p t p ---++∞

=---=

=

-∑

。 同理可得：p 为偶数时，12

22(1)cos 2

2!

p p

p k p +-=

。综合得：

112

2211()212(2)!(1)sin 2!(0)(2)!2(2)!cos 2!(0)(0)01,2,3p p p p p n p p p p f k p p p p f f p ---+-⎧⎧-→⎪⎪

⎪

⎪==⎨⎪⎪⎪→⎪⎪⎩

⎪

==⎨⎪=⎪⎪⎪⎪⎪⎩

p 2

为奇数（-1）为偶数

其中

4．试作出定义在2

R 中的一个函数),(y x f ，使得它在原点处同时满足以下三个条件： （1）),(y x f 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续