极限理论中的几个重要问题
函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际问题中的应用技巧
函数的极限与连续性的应用函数的极限与连续性在实际问题中的应用技巧函数的极限与连续性的应用在数学领域中，函数的极限与连续性不仅仅是理论概念，还具有广泛的实际应用。
函数的极限与连续性在实际问题中的应用技巧有许多，本文将重点讨论其中一些常见的应用。
一. 物理问题中的极限与连续性应用在物理学中，函数的极限与连续性常常被用于描述物质或者能量在空间或时间上的变化规律。
比如，我们可以通过速度的函数来描述物体在某一时刻的位置。
如果我们知道一个物体在某一时刻的速度，并希望求解在该时刻物体的位移，我们就可以利用极限的概念。
例如，假设一个物体在时刻 t 的速度为 v(t)，我们希望求解在 t 时刻到t+Δt 时刻物体的位移。
根据定义，平均速度定义为位移与时间间隔的比值，即Δx/Δt。
如果我们希望得到瞬时速度，即在 t 时刻的速度，我们需要让时间间隔Δt 趋近于 0。
这时，我们可以利用函数 v(t) 的导数来代替平均速度，即 v'(t)。
因此，物理中的极限与连续性理论为我们提供了一种较为简便的求解物体位移的方法。
二. 经济问题中的极限与连续性应用函数的极限与连续性在经济学中也有着重要的应用。
经济学家经常使用函数模型来描述市场需求、供应等变量之间的关系。
当我们需要求解一种商品的最大利润或最优生产方案时，函数的极限与连续性技巧能够提供有力的支持。
例如，假设某种商品的需求曲线为 D(p) ，供应曲线为 S(p) ，其中p 为价格。
市场平衡的定义是需求等于供应，即 D(p) = S(p)。
为了找到最优价格，我们可以通过分析 D(p) - S(p) 的符号及变化趋势来确定市场供需的动态平衡。
在函数连续的假设下，我们可以利用函数的极限来确定市场供需的均衡状态，从而找到最优解。
三. 工程问题中的极限与连续性应用函数的极限与连续性在工程学中也有着重要的应用。
在工程实践中，经常需要对复杂系统的性能进行评估、优化或者预测。
函数的极限与连续性技巧可以帮助工程师们定量地分析不同因素对系统行为的影响，并提供改进设计的建议。
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法
浅论数学分析中极限问题的存在性和若干求解方法【摘要】本文旨在探讨数学分析中极限问题的存在性及其求解方法。
在我们将介绍研究背景、研究意义和研究目的。
在我们将详细讨论极限问题的定义与性质，极限存在性的证明方法，夹逼定理的应用，以及无穷小与无穷大的讨论。
我们还将探讨数列极限和函数极限的求解方法。
在我们将总结极限问题的重要性，讨论研究的局限性，并展望未来研究方向。
通过本文的阐述，读者将对数学分析中极限问题有更深入的理解和认识。
【关键词】数学分析、极限问题、存在性、求解方法、夹逼定理、无穷小、无穷大、数列极限、函数极限、重要性、局限性、未来展望1. 引言1.1 研究背景数统计、格式要求等。
数学分析中的极限问题一直是研究的重要内容之一。
极限的概念贯穿于整个数学领域，在微积分、微分方程等领域都有广泛的应用。
极限的存在性和求解方法是数学分析中的基础，对于理解数学中的各种问题起着至关重要的作用。
随着数学分析的发展，极限问题的研究也在不断深入。
数学家们通过不断探索和总结，提出了各种证明方法和求解技巧，为解决复杂的极限问题提供了重要的指导。
对于学习数学分析的学生来说，深入理解极限的概念和性质，掌握极限存在性的证明方法以及灵活运用夹逼定理等技巧，都是提高数学分析水平的必经之路。
在当今科技发展日新月异的时代，数学分析中的极限问题不仅仅是学术研究，更是应用于工程、物理、计算机等领域的重要工具。
深入研究数学分析中的极限问题，既有理论意义，又具有现实意义，值得我们深入探讨和研究。
1.2 研究意义数不够了，需要继续添加等。
部分内容如下：研究数学分析中极限问题的存在性和求解方法具有重要的理论和实际意义。
对于数学分析这一基础学科而言，极限是一个核心概念，它贯穿了整个数学分析的学习过程，是许多数学问题的基础。
通过对极限问题的研究，可以加深对数学分析理论的理解，提高数学分析能力。
极限问题在物理、工程、经济学等应用学科中也有着广泛的应用。
极限思想在数学中的地位与作用及求极限的方法
高等数学解题方法探究极限——极限思想在高等数学中的地位和应用引言：数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间都是矛盾的对立统一．正是由于对象之间的对立统一，为我们解决这些对立统一事物提供了研究的方法．有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章法可循，并积累了一定的经验．而对于无限个对象的研究，却往往不知如何下手。
于是将对无限的研究就转化成对有限的研究？就成了解决无限问题的毕经之路．反之当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决．这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限的思想?极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。
用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：对于被考察的未知量，先设法构思一个与它有关的变量，确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量；最后用极限计算来得到这个结果。
正文：一、极限理论在数学分析中的地位1.建立概念的极限思想极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。
可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。
在几乎所有的数学分析着作中，都是先介绍函数理论和极限的思1想方法,然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。
如：（1）函数在点连续的定义，是当自变量的增量时，函数值的增量趋于零的极限。
（2）函数在点导数的定义，是函数值的增量与自变量的增量之比，当时的极限。
（3）函数在上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
（4）数项级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的。
2.解决问题的极限思想极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。
中心极限定理在社会生活和军事问题中的应用
中心极限定理在社会生活和军事问题中的应用作者：秦信念沈林来源：《旅游纵览·行业版》2013年第08期中心极限定理是概率论的重要内容，也是数理统计学的基石之一，有着广泛的实际应用背景，其理论成果也比较完美。
本文主要通过对社会生活问题和军事问题中具体实例的引用，展现了中心极限定理的实际应用，化抽象的理论概念为具体的实际例子。
例1（社会生活问题）由于人口的持续不断增长以及男女比例的严重失调，政府部门已经慢慢开始采取各种各样的措施进行预防.在这之前，对新生婴幼儿的性别进行判断和统计是很有必要的，而中心极限定理在这方面就能体现出它独特的作用.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩数目不少于男孩数目的概率为多少？解法1 设为10000个婴儿中男孩的数目，则要求女孩数目不少于男孩数目的概率，即求由棣莫佛-拉普拉斯定理有解法2 设为10000个婴儿中男孩的个数，令则且独立同分布，则女孩不少于男孩的概率为由勒维-林德伯格中心极限定理有例2（军事问题）炮弹、火箭发射过程中会受到各种各样不可预料因素的影响，这些因素非常之多，然而这却又几乎无法单独预估，但是如果放任不管，一丝一毫的差错都将可能会造成灾难性的后果.而为了有效控制这些因素的影响，就需要使用到中心极限定理.下面简单举例说明.用中心极限定理说明在正常的射击条件下，炮弹的射程服从或近似服从正态分布.解设为理论射程，为实际射程，则为实际射程对理论射程的偏差，显然故只需证由于在实际射程中，有很多不可控制的随机因素在不断变化，所以造成了实际射程的偏差，若设射击时炮身振动引起的偏差；炮弹外形差异引起的偏差；炮弹内火药的成分引起的偏差；射击时气流的差异引起的偏差显然由于影响射程的实际因素是大量的，这里的一定很大甚至于无穷，且炮身的振动、炮弹的外形、火药的成分、气流的变化等等这些因素之间没什么关系（或仅有微弱的关系），故由它们引起的可看作是相互独立的.另外，由于正常的射击条件也就是对射程有显著影响的因素已被控制，所以这里的所起的作用可看作是同样微小的.由中心极限定理可知由于可正可负且机会均等，故则（作者单位：黄淮学院数学科学系）。
无穷极知识点总结高中
无穷极知识点总结高中高中数学学科中，无穷极是一个重要的概念。
无穷极包括正无穷、负无穷和无穷小，是一种特殊的数学概念，对于理解解析几何、微积分、极限等数学概念都有着重要的作用。
在高中数学中，通过学习无穷极的相关理论和应用，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高数学分析问题的能力。
下面将从正无穷、负无穷和无穷小三个方面对无穷极知识点进行总结。
（一）正无穷1. 正无穷的定义在数轴上，当和任意给定数相比，都比这个数大的数时，称为正无穷。
正无穷用符号∞表示。
正无穷是数轴上的一个特殊点，它没有确定的数值，但在数轴上却有确切的位置，表示无限大，是一种极限情况。
在数学中，正无穷常常用来表示一些过程或变量的增长趋势。
2. 正无穷的性质正无穷的性质包括加法性、乘法性、极限性等。
（1）加法性：对于任意实数a，有a + ∞ = ∞（2）乘法性：对于任意正实数a，有a · ∞ = ∞（3）极限性：对于无穷逼近的数列或函数，如果其极限为正无穷，表示该数列或函数的增长趋势为正无穷。
3. 正无穷的应用正无穷在数学中有着广泛的应用，尤其在微积分和极限理论中更是常见。
在微积分中，正无穷经常用来表示某些函数在一定区间内的极限情况，例如在求积分时常用到正无穷的概念。
在极限理论中，正无穷是一种特殊的极限情况，它在数列、函数的极限计算中扮演着关键的角色。
正无穷的概念可以帮助我们更好地理解极限的性质和应用。
（二）负无穷1. 负无穷的定义在数轴上，当和任意给定数相比，都比这个数小的数时，称为负无穷。
负无穷用符号-∞表示。
负无穷也是数轴上的一个特殊点，它同样没有确定的数值，但在数轴上有着确切位置，表示无限小，是一种极限情况。
在数学中，负无穷常常用来表示一些过程或变量的减小趋势。
2. 负无穷的性质负无穷的性质和正无穷类似，也包括加法性、乘法性、极限性等。
（1）加法性：对于任意实数a，有a - ∞ = -∞（2）乘法性：对于任意正实数a，有a · (-∞) = -∞（3）极限性：对于无穷逼近的数列或函数，如果其极限为负无穷，表示该数列或函数的减小趋势为负无穷。
极限及几种求极限重要方法的探究
极限及几种求极限重要方法的探究王龙科西北师范大学数学与信息科学学院甘肃兰州 730070摘要：极限理论是高等数学的理论基石，也是研究高等数学的重要方法。
高等数学中的微分和积分理论都是建立在极限理论基础之上的，这说明理清极限理论和重要极限求法是非常有必要的。
本文主要分两大部分作以探究，第一部分介绍极限理论；第二部分列举求极限的常见方法，并配有相关例题加以说明。
关键词：极限；高等数学；求极限的方法一、引言极限是高等数学中最重要得概念之一，是研究积分和微分的重要工具。
极限思想也是研究高等数学的重要思想，掌握极限思想是学习微分和积分的基础。
极限是描述数列和函数在无限变换过程中的变化趋势的概念，它是人们从有限认识到无限、从近似认识到精确、从量变认识到质变的一种数学方法。
极限理论的出现是微积分发展历史上的一个历程碑，它使微积分理论更加蓬勃法展起来。
本文接下来将就极限理论思想和求极限的重要方法进行探究。
二、极限理论1、数列极限定义1若函数f的定义域为全体正整数集合N⁺，则称f: N⁺→R 或f(n),n∈N⁺为数列.因为正整数集N⁺的元素可按由小到大的顺序排列,故数列f(n)也可写作a1，a2，…，a n…，或简单地记作{a n}，其中a n称为该数列的通项。
定义2设a n为数列，a为定数。
若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时有︱a n-a︱<ε,则称数列{a n}收敛于定数a，定数a称为数列{a n}的极限，并记作lim n→∞a n=a，或a n→a(a→∞)。
若数列{a n}不收敛，或称{a n}为发散数列。
定理1若数列{a n}收敛，则它只有一个极限。
定理2若数列收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有︱a n︱≤M。
定理3若lim n→∞a n=a>0，则对任何a´∈(0,a)，存在正数N，使得当n>N时有a n> a ´。
浅谈数学分析中极限的求法
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６浅谈数学分析中极限的求法浅谈数学分析中极限的求法Һ马金玲㊀（吉林师范大学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ极限理论是帮助学生将对数学的有限认识拓展到无限认识㊁近似认识拓展到精确认识的一种方法，在高等数学的学习中起到基础性的作用．在极限理论中存在两个基本问题，分别是极限存在性的证明和极限值的计算，二者密切相关，如果能求出某极限的值，则其存在性就会被证实，因此，如何求解极限尤为重要．但由于数列或函数形式的多样性和复杂性，在求解其极限值时不可能找到统一的方法，只能根据具体情况具体分析和处理．本文主要介绍一些极限的基本类型，提供一些求解极限的常用方法和技巧，并探究在某些方法中的转化思想．ʌ关键词ɔ极限；单调有界；重要极限；洛必达法则；归纳总结在数学分析的学习中，我们发现数列和函数极限的形式很复杂，因此，求解极限的方法也多种多样，当然，对于不同的方法有其各自的优势及适用范围．本文通过对典型例题的探究求解，归纳总结出一些常用的求解方法，以探究数学中的技巧性，提升学生对数学知识体系的梳理能力．另外，本文旨在通过应用无穷小量㊁重要极限㊁洛必达法则等方法，在求解极限的过程中体会数学思维的转化，感受数学知识的紧密联系，构建条理清晰㊁逻辑严谨的数学知识框架．一㊁极限的定义数列极限的ε Ｎ定义㊀设｛ａｎ｝为数列，ａ为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数Ｎ，使得当ｎ＞Ｎ时有｜ａｎ－ａ｜＜ε，则称数列｛ａｎ｝收敛于ａ，定数ａ称为数列｛ａｎ｝的极限，并记作ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ或ａｎңａ（ｎңɕ）．函数极限的ε δ定义㊀设函数ｆ在点ｘ０的某个空心邻域Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）内有定义，Ａ为定数．若对任给的ε＞０，存在正数δ（＜δᶄ），使得当０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ时有｜ｆ（ｘ）－Ａ｜＜ε，则称函数ｆ当ｘ趋于ｘ０时以Ａ为极限，记作ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝Ａ或ｆ（ｘ）ңＡ（ｘңｘ０）．二㊁极限的求解１．单调有界定理定理１㊀在实数域中，若数列｛ａｎ｝单调且有界，则数列｛ａｎ｝一定存在极限．注㊀（１）在应用单调有界定理求解极限时，首先要满足数列｛ａｎ｝是单调数列，即满足ａｎɤａｎ＋１（或ａｎȡａｎ＋１），其次要保证数列｛ａｎ｝有界．（２）证｛ａｎ｝的单调性：①考察ａｎ＋１－ａｎ的符号；②当ａｎ＞０时，考察ａｎ＋１ａｎȡ１或ａｎ＋１ａｎɤ１æèçöø÷；③若得到一个一元可导函数的递推公式ａｎ＋１＝ｆ（ａｎ），则可求导，然后根据ｆᶄ（ｘ）的符号来确定其单调性．证｛ａｎ｝的有界性常利用数学归纳法或已知不等式推证．例１㊀设ａ１＝４，ａｎ＝１ａｎ－１＋ａｎ－１２，ｎ＝２，３， ，求ｌｉｍｎңɕａｎ．解㊀由于ａｎ＋１－ａｎ＝ａ２ｎ＋２－２ａ２ｎ２ａｎ＝２－ａ２ｎ２ａｎ．接下来证２－ａ２ｎɤ０，即证ａｎȡ２，ｎ＝１，２， 由于ａｎ２＝１２１ａｎ－１＋ａｎ－１２æèçöø÷ȡ１ａｎ－１㊃ａｎ－１２＝１２，故｛ａｎ｝单调递减，且其下界为２．根据定理１可判断数列｛ａｎ｝，故设ｌｉｍｎңɕａｎ＝ａ（ａ＞０）．又对上式两边取极限，得ａ－ａ＝２－ａ２２ａ，解得ａ＝２，即ｌｉｍｎңɕａｎ＝２．归纳小结㊀在应用单调有界定理求解数列极限时，首先要证明的是数列存在极限，也就要证明数列满足单调性和有界性．证明单调性的过程考查了学生对初等数学中数列知识的掌握，其证明方法的选用要根据具体问题而定；而在证明有界性时常应用数学归纳法．在证明极限存在时应分两步走，且将高等数学的问题转化为初等数学的知识，让难题迎刃而解，最后依据极限的唯一性求出极限值．值得注意的是，单调有界定理只适用于满足条件的数列求解极限问题．２．迫敛性（１）设有三个数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝，｛ｃｎ｝，满足：∃Ｎ，∀ｎ＞Ｎ，有ａｎɤｂｎɤｃｎ，且ｌｉｍｎңɕａｎ＝ｌｉｍｎңɕｃｎ＝ｌ，则ｌｉｍｎңɕｂｎ＝ｌ．（２）设有三个函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），ｈ（ｘ）在Ｕʎ（ａ；δ）内有定义，若它们满足ｆ（ｘ）ɤｇ（ｘ）ɤｈ（ｘ），ｘɪＵʎ（ａ；δ），且ｌｉｍｘңａｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңａｈ（ｘ）＝Ａ，则ｌｉｍｘңａｇ（ｘ）＝Ａ．例２㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷．解㊀在这ｎ个数１ｎ２＋１，１ｎ２＋２， ，１ｎ２＋ｎ中，１ｎ２＋１最大，１ｎ２＋ｎ最小，因而ｎｎ２＋ｎɤ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎɤｎｎ２＋１，而且ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋ｎ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ＝１，ｌｉｍｎңɕｎｎ２＋１＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ２＝１，所以，由迫敛性得. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６ｌｉｍｎңɕ１ｎ２＋１＋１ｎ２＋２＋ ＋１ｎ２＋ｎæèçöø÷＝１．归纳小结㊀在应用迫敛性求解数列或函数极限时，可将对极限的直接求解转化为先对极限变量进行放缩，再找出易求得极限的上下界，从而间接求得原极限．值得注意的是，在遇到极限变量可以进行放缩的求解极限问题时可以优先考虑迫敛性．３．两个重要极限（１）ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１；（２）ｌｉｍｘңɕ１＋１ｘ()ｘ＝ｅ．注㊀在应用重要极限求解极限时，首先要进行初等变形．这里的初等变形是指用初等数学的方法将数列或函数转化成上述两个重要极限的形式．例３㊀求ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３．解㊀将原式中的函数凑成如下形式，ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃１－ｃｏｓｘｘ２＝１２㊃１ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃２ｓｉｎ２ｘ２ｘ２＝１２㊃１２ｃｏｓｘ㊃ｓｉｎｘｘ㊃ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２，又ｌｉｍｘң０１２ｃｏｓｘ＝１２，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘｘ＝１，ｌｉｍｘң０ｓｉｎｘ２ｘ２æèçççöø÷÷÷２＝１，于是有ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘ２ｘ３＝１４．定理２（归结原则）㊀设函数ｆ在Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）上有定义，那么ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）存在等价于：对任何Ｕʎ（ｘ０；δᶄ）中的数列｛ｘｎ｝，满足ｌｉｍｎңɕｘｎ＝ｘ０，且ｌｉｍｎңɕｆ（ｘｎ）都存在且相等．注㊀归结原则在数列（离散变量）极限与函数（连续变量）极限之间建立起了桥梁，使二者在一定条件下可以相互转化，这对处理极限问题起到了重要的作用．例４㊀求ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ．解㊀令ｆ（ｘ）＝１＋１ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ，则ｌｉｍｘң＋ɕｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１㊃ｘ＋１ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕ１＋ｘ＋１ｘ２æèçöø÷ｘ２ｘ＋１éëêùûúｘ＋１ｘ＝ｅ，由归结原则，得ｌｉｍｎңɕ１＋１ｎ＋１ｎ２æèçöø÷ｎ＝ｅ．归纳小结㊀在应用两个重要极限求解极限问题时，首先要应用初等数学的方法将数列或函数化成两个重要极限的形式之一，再进行求解．应用该方法的关键就在于将原极限形式 凑成 上述两个重要极限．值得注意的是，在遇到三角函数形式和 １ɕ 形式的极限问题时要优先考虑应用两个重要极限．另外，在求解 １ɕ 形式的数列极限时，要结合归结原则将数列问题转化成函数问题，再进行求解．４．洛必达法则洛必达法则是求不定式极限的重要方法，它将两函数之比的极限求解问题转化为两函数导数之比的极限求解问题．其几何意义是：两曲线上的点的纵坐标之比的极限可转化为两曲线上的点的切线斜率之比的极限．不定式极限包含两种基本形式：００与ɕɕ．（１）００型不定式极限定理３㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｇ（ｘ）＝０；（ⅱ）在点ｘ０的某空心邻域Ｕʎｘ０()上，ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）都可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例５㊀求ｌｉｍｘңπ２＋ｃｏｓｘｔａｎ２ｘ．解㊀因为ｆ（ｘ）＝２＋ｃｏｓｘ与ｇ（ｘ）＝ｔａｎ２ｘ在点ｘ０＝π的邻域上满足（ⅰ）与（ⅱ），又ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπ－ｓｉｎｘ２ｔａｎｘｓｅｃ２ｘ＝－ｌｉｍｘңπｃｏｓ３ｘ２＝１２．故由洛必达法则求得ｌｉｍｘңπｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңπｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝１２．（２）ɕɕ型不定式极限定理４㊀若函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）满足条件：（ⅰ）在Ｕʎ＋（ｘ０）上二者皆可导，且ｇᶄ（ｘ）ʂ０；（ⅱ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｇ（ｘ）＝ɕ；（ⅲ）ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ（ＡɪＲ，或为ʃɕ，ɕ），则ｌｉｍｘңｘ＋０ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＝ｌｉｍｘңｘ＋０ｆᶄ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）＝Ａ．例６㊀求ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１．解㊀可判定该极限是ɕɕ型不定式极限，故直接应用洛必达法则，有ｌｉｍｘң＋ɕｅｘｘ３＋１＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ３ｘ２＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６ｘ＝ｌｉｍｘң＋ɕｅｘ６＝＋ɕ．归纳小结㊀应用洛必达法则求解极限问题，其实质在于将求解两个函数之比的极限转化为两函数导数之比的极限，使得复杂函数的求极限问题转化为简单函数的求极限问题．但在应用洛必达法则时有些需要注意的问题：（１）不是所有比式极限都可以应用洛必达法则求解，一方面必须注意它是不是不定式极限，另一方面要看是否满. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ ３６足洛必达法则的应用条件；（２）在求解极限的过程中，有时可能需要对ｆᶄ（ｘ）与ｇᶄ（ｘ）再应用洛必达法则，甚至有时需要对ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的高阶导数反复使用洛必达法则．５．定积分利用定积分求极限，通常有两种类型：一种是应用定积分的定义求解数列极限，另一种是应用变限积分和洛必达法则求解极限．（１）用定积分定义求解数列极限例７㊀求ｌｉｍｎңɕｎ１（ｎ＋１）２＋１（ｎ＋２）２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú．解㊀做如下变形：令Ｊ＝ｌｉｍｎңɕ１１＋１ｎ()２＋１１＋２ｎ()２＋ ＋１１＋ｎｎ()２éëêêêùûúúú㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１１１＋ｉｎ()２㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝１（１＋ｘ）２在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ）．所以有㊀ｌｉｍｎңɕｎ１ｎ＋１()２＋１ｎ＋２()２＋ ＋１（ｎ＋ｎ）２éëêùûú＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄｘ＝ʏ１０１（１＋ｘ）２ｄ（１＋ｘ）＝１２．例８㊀求ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）．解㊀做如下变形：㊀ｌｉｍｎңɕ１ｎ４（１＋２３＋ ＋ｎ３）＝ｌｉｍｎңɕ１ｎ()３＋２ｎ()３＋ ＋ｎｎ()３[]㊃１ｎ＝ｌｉｍｎңɕðｎｉ＝１ｉｎ()３㊃１ｎ．不难看出，其中的和式是函数ｆ（ｘ）＝ｘ３在区间［０，１］上的一个积分和．（这里取等分分割，Δｘｉ＝１ｎ，ξｉ＝ｉｎɪｉ－１ｎ，ｉｎ[]，ｉ＝１，２， ，ｎ），所以有ｌｉｍｎңɕ１ｎ４１＋２３＋ ＋ｎ３()＝ʏ１０ｘ３ｄｘ＝１４．归纳小结㊀在应用定积分的定义求极限的过程中，我们将所求的数列极限转化归结为某可积函数ｆ（ｘ）在某区间［ａ，ｂ］上的某特殊的积分和，则该数列极限就等于ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ．通过对一些例题的探究，我们发现这些和式极限中的每一项都可以转化成ｉｎ的形式，并且能提出形如１ｎ的公因式，这样就可以把极限和转化为定积分来计算了．这一规律有助于求解某些和式极限问题．（２）应用变限积分求解极限定理５（原函数存在定理）㊀若ｆ在［ａ，ｂ］上连续，则函数Ф在［ａ，ｂ］上处处可导，且Фᶄ（Ｘ）＝ｄｄｘʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ＝ｆ（ｘ），ｘɪ［ａ，ｂ］．例９㊀求ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ．解㊀这是一个００型的不定式极限，先应用洛必达法则，可以得到㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０ʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ()ᶄｘᶄ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ，（１ɕ）恒等变换后有（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ），于是有㊀ｌｉｍｘң０１ｘʏｘ０（１＋ｓｉｎ２ｔ）１ｔｄｔ＝ｌｉｍｘң０（１＋ｓｉｎ２ｘ）１ｘ＝ｅｌｉｍ１ｘｌｎ（１＋ｓｉｎ２ｘ）＝ｅ２．归纳小结㊀应用变限积分求解极限的过程中，主要是将原函数存在定理与洛必达法则相结合，进而求得原极限．三㊁结㊀语本文主要介绍了求解极限的多种方法．在极限理论中，求解极限问题占据着重要地位，由于极限的类型复杂繁多，我们根据对典型例题的探究，归纳总结了求解极限不同方法的适用条件及其中所蕴含的转化思想．因此，在面对极限求解问题时，我们首先要判断所求极限的类型，再选取合适的方法进行求解．当然，在选择方法时，要注意其适用条件，这一过程是非常重要的，否则会得出错误的结论．另外，在求解极限的过程中，数学思维的多样转化也让我们体会到了数学知识之间的紧密联系，从而建立了逻辑清晰的数学知识体系．ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］张天德，孙书荣．数学分析辅导及习题精解［Ｍ］．延吉：延边大学出版社，２０１１．［３］旷雨阳，刘维江．数学分析精要解读［Ｍ］．合肥：中国科学技术大学出版社，２０１６．［４］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义：第３版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９７．［５］桑旦多吉．高等数学中函数极限的求法分析［Ｊ］．学园，２０１５（１１）：８２－８３．［６］姜玉秋．巧用等价无穷小替换求解复杂极限的研究［Ｊ］．吉林师范大学学报（自然科学版），２００５（０４）：９３－９４．［７］温录亮．论求解极限的若干方法［Ｊ］．佛山科学技术学院学报（自然科学版），２０１１（０２）：３１－３６．［８］周学勤．探讨洛必达法则求极限［Ｊ］．濮阳职业技术学院学报，２０１０（０４）：１４３－１４４．［９］范钦杰，付军．数学分析问题解析［Ｍ］．长春：吉林人民出版社，２００４．. All Rights Reserved.。
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数、极限、连续是微积分中的重要概念，它们是研究函数性质和计算函数值的基石。
这些概念都有相应的公式和定理，本文将就这些概念逐一展开介绍。
一、函数函数是一个集合与集合之间的对应关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的一些元素上。
数学上，函数通常用f(x)或者y 来表示，其中f是函数名，x是自变量，y是因变量。
当自变量取不同的值时，由函数公式可以计算出对应的因变量的值。
函数的概念十分重要，它是微积分的基础，涉及到诸多概念和理论。
在实际应用中，函数可以描述多种变化关系，如线性关系、指数关系、对数关系等。
二、极限极限是函数中的重要概念，它描述了函数在一些点附近的性质。
当自变量趋近于一些值时，函数的值是否趋近于一些特定的值。
通常用符号的方式表示，如 lim f(x) = L ，其中 lim 表示极限，f(x) 表示函数，L 表示极限的值。
极限的计算可以通过代入法、夹逼法、泰勒展开法等方式进行。
极限的计算常常涉及到一些特定的极限公式，如 sin(x)/x 的极限为 1，e^x 的极限为自然常数 e。
极限的概念是微积分的核心，它与导数、积分等概念密切相关。
各种函数的性质可以通过极限来研究和描述，极限的计算为解决实际问题提供了方法和思路。
三、连续连续是函数的一个重要性质，它描述了函数在一些区间上是否没有突变。
当自变量在一个区间内变化时，函数的值是否也在这个区间内变化，即函数图像是否没有断裂点。
如果在一些点上左右两侧的极限存在且相等，那么函数在这个点上连续。
连续函数具有许多良好的性质，可以进行各种运算和推导。
连续函数在实际应用中有广泛的应用，如物理、经济、生物等领域。
四、重要公式在微积分中，存在一些重要的公式，它们是解决问题的基础。
以下是一些常用的公式：1.导数的基本公式：-(u+v)'=u'+v'，和法则- (ku)' = ku'，常数法则- (u * v)' = u'v + uv'，乘法法则- (u / v)' = (u'v - uv') / v^2，除法法则- (u^k)' = ku^(k-1)u'，幂函数法则-(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，复合函数法则2.积分的基本公式：- ∫kdx = kx + C，常数法则- ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，幂函数积分法则- ∫(1/x)dx = ln，x， + C，倒数函数积分法则- ∫e^xdx = e^x + C，指数函数积分法则- ∫sinxdx = -cosx + C， sin函数积分法则- ∫cosxdx = sinx + C， cos函数积分法则五、重要定理微积分中也有一些重要的定理，它们是揭示函数性质的基石。
数学的极限 希尔伯特第十问题
数学的极限希尔伯特第十问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：数学是一门庞大而深奥的学科，其中极限理论一直是数学家们探索的一个重要领域。
希尔伯特第十问题也是一个备受关注的数学难题，它与代数数论有关，涉及到整数多项式是否有整数根的问题。
让我们一起来探讨一下数学的极限和希尔伯特第十问题。
我们来谈谈数学的极限。
在数学中，极限是一种理念，它描述了一个序列或函数在无穷的情况下的趋势。
当一个序列在逐渐增大或减小的过程中，它可能会趋向于某个特定的值，这个特定的值就是该序列的极限。
数学中的极限理论不仅适用于序列和函数，还可以用来研究无穷大和无穷小，以及极限的性质和计算方法。
极限理论在数学中有着广泛的应用，特别是在微积分和实分析领域。
通过研究序列和函数的极限，数学家们可以揭示数学问题背后的深层结构，从而解决各种数学难题。
极限理论也在工程、物理和经济等领域有着重要的应用，帮助人们更好地理解和应用数学知识。
接下来，让我们来了解一下希尔伯特第十问题。
希尔伯特第十问题是20世纪著名数学家希尔伯特在1900年提出的23个未解数学难题之一。
该问题涉及到整数多项式是否有整数根的问题，即对任意给定的整数多项式方程是否存在整数解。
希尔伯特第十问题至今尚未解决，其困难程度可见一斑。
虽然专家们尝试过各种方法和技巧，但仍未能找到一个普遍的解决方案。
这也体现了数学的魅力和广阔性，数学中还有许多未被揭示的奥秘等待我们去破解。
对于数学的极限和希尔伯特第十问题，我们应该持开放的心态去探索和研究。
数学是一门既古老又新颖的学科，它蕴藏着丰富的内涵和无限的可能性。
只有沉下心来，认真思考和钻研，我们才能够更好地理解和应用数学知识，探索数学领域的未知领域。
数学的极限理论和希尔伯特第十问题都是数学领域中的重要议题，它们反映了该领域的深厚底蕴和复杂性。
通过对极限和难题的认真探讨和研究，我们能够更深入地理解数学的本质和精髓，从而推动数学的发展和进步。
希望我们能够在数学之路上探索出更多的精彩之处，为数学领域的研究和发展贡献自己的力量。
浅谈高等数学中极限理论的教学
浅谈高等数学中极限理论的教学【摘要】本文通过阐述极限思想的起源和发展，分析极限思想的思维本质和哲学意义;又通过阐述极限思想和微积分学产生和发展的联系，以及极限思想在微积分学及其他学科分支中的应用，得出极限理论是高等数学的重要内容之一，是构成微积分学的基础。
所以极限理论的教学在微积分学中是至关重要的，我们系统地向学生介绍极限思想的产生，发展，以及和微积分学的紧密联系是十分必要的。
【关键词】极限思想；微积分；微元法极限思想是微积分学解决问题的主要思想，极限的方法又是微积分研究函数的主要方法，因此学好微积分学的关键是建立极限的思想和会使用极限的方法。
本文就自己对极限的认识阐述一下如何进行极限的教学。
1向学生介绍极限思想的产生和发展极限的思想是由某些实际问题的精确解而产生的，极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念都是建立在极限的基础上的，因此没有极限的思想和研究问题的方法就没有微积分学，也没有现在的高科技理论，更谈不上人类社会的进步，因此极限在人类文明史上起着举足轻重的作用。
最初微积分由牛顿和莱布尼兹发现时并没有严格的定义，后来法国数学家柯西严格定义极限概念之后才使微积分学有了严格的数学定义。
极限思想反映的是一个变量随另一个变量变化的无限逼近的思想，数学史上微积分学产生的过程是人类对极限思想认识的逐步加深、逐步明确的过程，因此极限思想是微积分学中的基本的数学思想。
我国古代数学家刘徽（公园3世纪）利用圆内接多边形求圆的面积——割圆术，就是极限思想在几何上的应用。
又如春秋战国时期的哲学家庄子（公园前4世纪）有一句名言：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，公元5世纪祖冲之计算圆周率等问题中，都蕴含了最原始的朴素的极限思想。
无穷分割下的极限思想是微积分学起源的关键，最能引起关于对无穷思索的是求曲边图形的面积。
1615年开普勒发表《测量酒桶体积的科学》，大胆巧妙地将无穷小求和思想用于求圆面积公式的推导.由此得到：若已知圆周长为2πr，现将圆面无限分割，则圆面积可被看作是由无限多个顶点在圆心，高等于半径、底边是圆周一部分的小三角形组成，所以，所以1/2r(A1A2+A2A3+……+An+A1)1/2r.2∏r=∏r2。
概率论学习中几个值得注意的问题探究
概率论学习中几个值得注意的问题探究作者：赵进周秀轻来源：《高教学刊》2023年第31期摘要：概率論是随机数学的基础，学好概率论对于金融数学，统计学等学科有着重要的意义。
在多年的概率论教学中，以下三点是值得注意的。
首先将概率论的历史发展融入概率论教学，这对于学生的理解是有价值的;另外通过比较的方法来学习有助于学生的理解。
如比较不同的极限理论可以使得大数定律，中心极限定理更加容易理解;最后，在概率论与随机过程的学习中经常会遇到一些概念性的错误。
我们以更新过程中的Feller初等更新定理的证明为例。
指出同学们容易产生一些概念性的错误，并将这些错误的原因做出解释，以便让学生对概念的理解更加清晰，避免在概率论与随机过程的学习中犯类似的错误。
关键词：极限理论;更新过程;Wald等式;更新定理;概率论学习中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2023）31-0083-04Abstract： Theory of Probability is basic course of stochastic mathematics， especially for financial mathematics and statistics etc. In years of teaching Theory of Probability， I found that it is important to study the history of probability， which can help the students learn the concepts of probability. It can be also helpful to learn by comparison. For example， the Law of Large Numbers and central limit theorem can be easily studied by comparing the limit theory. Finally， In the proof of the Feller renewal theorem， there are several problems that students always make mistake. Theses mistakes are often made in the study of probability and stochastic processes. We will give the explanation to clean the concept and avoid similar mistakes.Keywords： limit theory; renewal process; Wald equation; renewal theorem; learning Theory of Probability随着计算机技术的发展，进入上世纪九十年代以来，金融数学与统计学日益受到重视。
微积分式子lim_理论说明
微积分式子lim 理论说明1. 引言1.1 概述微积分作为数学的一个重要分支，在现代科学和工程领域中具有广泛的应用。
其中，极限理论是微积分研究的基础之一，而本文将重点介绍微积分中的极限理论，即利用lim表达式（lim是limit的缩写）来描述函数随着自变量无限接近某个特定值时的行为。
1.2 文章结构本文将围绕微积分中的极限理论展开阐述。
首先，在第二部分中，我们将对lim 进行定义和概念的解释，并介绍常见的lim计算方法和性质。
然后，在第三部分中，我们将探讨lim在实际问题中的应用领域。
接下来，第四部分将详细讨论正文章节三所涉及到的要点。
最后，在第五部分给出结论，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在全面介绍微积分中lim理论，并通过具体例子和实践案例说明其在科学与工程领域中的重要性和应用价值。
同时，希望通过本文能够增加读者对微积分lim理论的了解，促进读者对微积分学科的学习和研究兴趣的进一步培养。
2. 微积分中的lim理论说明2.1 lim的定义和概念:在微积分中，lim是极限的缩写形式，表示当某个变量趋于无穷大或无穷小时，函数的值将趋近于一个特定的数值。
具体而言，对于给定的函数f(x)，lim x->a f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限值。
这可以简单地理解为x接近a时f(x)的表现。
2.2 lim计算方法与性质:为了计算lim，我们通常使用代入法、因子法、洛必达法等不同的技巧和规则。
代入法是指直接将自变量替换成要求取极限的值，并进行计算；因子法则主要用于处理分式函数，在其中涉及到有理化、分解等操作；洛必达法则则适用于对极限存在不确定型如0/0或无穷大/无穷大情况下。
除了上述计算方法外，lim还具有一些重要性质。
首先是唯一性性质，即若一个函数在某点存在极限，则该极限值唯一；其次是局部有界性质，在一个局部范围内存在极限，则该函数在此范围内必然有界；此外还包括四则运算法则和复合函数法则，使得我们可以依据这些性质来推导和计算lim。
浅论高等数学中极限理论的教学
直 算 到 内 边 得 ｒ ． 之 ４ 接 正 ３ ７ 边 形 ． 到竹一３１ １ ． 在 当时 是 非 常 了不 起 的 。 ０２ 得 ． ６这 ４ 到 了 １世 纪 以后 ， ６ 欧洲 生产 力 得 到极 大 发 展 。 生产 和科 学
考 试 ＩＦ２ ２ 第期 ￣ｔ０ 年 ６ ： １ ｌ
浅 论 高 等 数 学 中 极 限 理 论 的 教 学
彭新俊
（ 海师范大学 数学系 ， 上 上海 ２０３ ） ０ ２４
摘 要 ： 限 理 论 描 述 了 变 量在 无 限 变化 过 程 中的 目标 极 函数 的 变化 趋 势 ， 高 等 数 学 的 重 要 基 础 ， 是 学 习 高等 数 学 是 也 的难 点 之 一 。 高 等数 学 的教 学过 程 中 ， 学 生 系统讲 解极 限 在 向 的 重 要 意 义 与 地 位 对 高等 数 学 学 习具 有 十 分 重要 的 意 义 。 关 键 词 ：高等 数 学 极 限 理论 教 学过 程
一
技 术 中存 在 大 量 的变 量 问题 ， 曲线 切 线 问题 、 力 做 功 问题 如 变 等 ， 等 数学 方 法 对 此 越 来 越 无 能 为 力 ， 要 的 是 新 的数 学 思 初 需 想 和 方 法 ， 破 只 研 究 常 量 的 传 统 范 围 ， 供 能 够 用 以描 述 和 突 提 研 究 运 动 、 化 过 程 的新 工 具 ． 是 促 进 极 限 发 展 、 立 微 积 变 这 建 分 的 社 会 背 景 。 顿 和 莱 布 尼 茨 以 无 穷 小 概 念 为 基 础 建 立 微 牛 积 分 ， 出 了 数 列 极 限 的 描 述 性 定 义 ：如 果 当 ｎ 限 增 大 时 ， 给 “ 无 ａ无 限地 接 近 于 常 数 Ａ， 么 就 说 ａｉＡ为极 限 。” 后 ， 尔斯 那 ） ２ 之 维
关于无穷小的若干比较方法及应用
关于无穷小的若干比较方法及应用绪玉珍(江苏师范大学科文学院㊀２２１０００)摘㊀要:函数的极限是极限理论的一个重要组成部分ꎬ无穷小的定义与计算则是函数极限的基础.无穷小的比较问题是微积分的重要内容ꎬ为了更系统地解决此类问题ꎬ文章从无穷小比较的定义㊁等价无穷小定阶法㊁比较定阶法㊁泰勒公式定阶法㊁求导定阶法这五种方法进行了讨论ꎬ并且分别给出了对应的实例分析.灵活使用这些方法ꎬ可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.关键词:无穷小的比较ꎻ等价无穷小ꎻ泰勒公式ꎻ定阶法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０３－００１７－０３收稿日期:２０２２－１０－２５作者简介:绪玉珍(１９８７－)ꎬ女ꎬ山东省邹城人ꎬ硕士ꎬ从事高等数学教学研究.基金项目:２０２１年江苏省高校 大学生劳动教育 基础课课程群 专项课题(２０２１ＪＤＫＴ０５６).㊀㊀极限理论是高等数学的基础ꎬ函数的极限是极限理论的一个重要组成部分.极限为零的变量称为无穷小量ꎬ简称 无穷小 ꎬ在函数及数列的极限㊁函数的连续性㊁微分和积分的定义中都有无穷小的应用.然而ꎬ理解清楚无穷小的概念以及运算有一定的难度.无穷小的比较问题ꎬ不仅是高等数学的重要内容ꎬ也是历年全国硕士研究生招生考试的重要考点.本文主要针对无穷小的比较给出了几种方法ꎬ有利于读者进一步理解无穷小的含义以及更加系统地掌握此类问题的解决方法.１根据定义比较无穷小定义１㊀设α及β是在同一自变量变化过程中的无穷小ꎬ且αʂ０ꎬｌｉｍβα也是在此变化过程中的极限.如果ｌｉｍβα＝０ꎬ那么就说β是比α高阶的无穷小ꎬ记作β＝ｏα()ꎻ如果ｌｉｍβα＝¥ꎬ那么就说β是比α低阶的无穷小ꎻ如果ｌｉｍβα＝ｃʂ０ꎬ那么就说β与α是同阶无穷小ꎻ特别地ꎬ若ｌｉｍβα＝１ꎬ那么就说β与α是等价无穷小ꎬ记作α~βꎻ如果ｌｉｍβαｋ＝ｃʂ０ꎬｋ>０ꎬ那么就说β是关于α的ｋ阶无穷小.通过定义发现ꎬ比较两个无穷小α及βꎬ相当于求极限ｌｉｍβα.例１㊀当ｘң０时ꎬ比较２ｘ－ｘ２与ｘ２－２ｘ３的阶.解㊀因为ｌｉｍｘң０２ｘ－ｘ２ｘ２－２ｘ３＝ｌｉｍｘң０２－ｘｘ－２ｘ２＝¥ꎬ所以２ｘ－ｘ２是比ｘ２－２ｘ３低阶的无穷小.注１㊀不是任意两个无穷小都可以比较ꎬ因为只有当两个无穷小量比值的极限存在或为无穷大时ꎬ才可以比较这两个无穷小.特别地ꎬｘｋ＋οｘｋ()是ｘ的ｋ阶无穷小ｋ>０().类似于这个方法ꎬ对于无穷７１小的比较ꎬ除了可以使用定义ꎬ还可以通过确定每个无穷小的阶ꎬ然后比较阶的大小来比较两个无穷小.２比较无穷小的阶２.１等价无穷小定阶法定理１㊀设α~α~ꎬβ~β~ꎬ且ｌｉｍβ~α~存在ꎬ则ｌｉｍβα＝ｌｉｍβ~α~.㊀定理１只适用于函数相乘或者相除形式的极限ꎬ加减法并不适用.例２㊀(２００７年全国硕士研究生招生考试试题)当ｘң０＋时ꎬ与ｘ等价的无穷小量是(㊀)Ａ.１－ｅｘ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ｌｎ１＋ｘ１－ｘＣ.１＋ｘ－１Ｄ.１－ｃｏｓｘ解㊀此题利用的就是等价无穷小的推广形式ꎬ当ｘң０＋时ꎬ１－ｅｘ~－ｘꎬｌｎ１＋ｘ１－ｘ~１＋ｘ１－ｘ－１ꎬ其中１＋ｘ１－ｘ－１＝ｘ＋ｘ１－ｘ＝ｘｘ＋１()１－ｘ~ｘꎬ所以ｌｎ１＋ｘ１－ｘ~ｘꎬ而对于选项Ｃ㊁Ｄꎬ有１＋ｘ－１~１２ｘꎬ１－ｃｏｓｘ~１２ｘ()２＝１２ｘ.故选Ｂ.２.２与(ｘ－ａ)ｋｋ>０()比较定阶法由无穷小比较的定义可知:当ｘңａ时ꎬ若φｘ()ң０ꎬ且ｌｉｍｘңａφｘ()(ｘ－ａ)ｋ＝Ｃʂ０ꎬｋ>０()ꎬ则φｘ()是ｘ－ａ的ｋ阶无穷小.所以ｘңａ时ꎬ如果不能比较显然地看出一个无穷小量的阶数ꎬ则可以把此无穷小量与(ｘ－ａ)ｋ比较ꎬ通过计算来确定它是ｘ－ａ的几阶无穷小.例３㊀当ｘң０时ꎬ比较ｅ－ｅｃｏｓｘ与１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ的阶.解㊀因为ｌｉｍｘң０ｅ－ｅｃｏｓｘｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅｃｏｓｘｅ１－ｃｏｓｘ－１()ｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅ１－ｃｏｓｘ()ｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｅ２ｘ２ｘｋꎬ所以当ｋ＝２时ꎬｌｉｍｘң０ｅ－ｅｃｏｓｘｘｋ存在且不为０ꎬ故ｅ－ｅｃｏｓｘ是ｘ的２阶无穷小ꎻｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｋ＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ－ｓｉｎｘｘｋ１＋ｔａｎｘ＋１＋ｓｉｎｘ[]＝ｌｉｍｘң０ｔａｎｘ１－ｃｏｓｘ()２ｘｋ＝ｌｉｍｘң０１－ｃｏｓｘ２ｘｋ－１＝ｌｉｍｘң０ｘ２４ｘｋ－１ꎬ所以当ｋ－１＝２ꎬ即ｋ＝３时ꎬｌｉｍｘң０１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘｘｋ存在且不为０ꎬ故１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ是ｘ的３阶无穷小ꎬ综上ꎬ１＋ｔａｎｘ－１＋ｓｉｎｘ是ｅ－ｅｃｏｓｘ的３２阶无穷小.２.３泰勒公式定阶法定理２㊀如果函数ｆｘ()在ｘ０处具有ｎ阶导数ꎬ那么存在ｘ０的一个邻域ꎬ对于邻域内任一ｘꎬ有ｆｘ()＝ｆｘ０()＋ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０()＋ｆᵡｘ０()２!ｘ－ｘ０()２＋ ＋ｆｎ()ｘ０()ｎ!ｘ－ｘ０()ｎ＋οｘ－ｘ０()ｎ()称为ｆｘ()在ｘ０处带有佩亚诺余项的ｎ阶泰勒公式.取ｘ０＝０ꎬ那么有带有佩亚诺余项的麦克劳林公式:ｆｘ()＝ｆ０()＋ｆᶄ０()ｘ＋ｆᵡ０()２!ｘ２＋ ＋ｆｎ()０()ｎ!ｘｎ＋οｘｎ()对于一些常见函数相加减的形式ꎬ用不了等价无穷小替换时ꎬ泰勒公式是个很好的选择.例４㊀当ｘң０时ꎬｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()是比ｘ２高阶的无穷小ꎬ求ａꎬｂ.解㊀因为ｅｘ的麦克劳林公式为ｅｘ＝１＋ｘ＋１２ｘ２＋οｘ２()ꎬ所以ｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()＝１－ｂ()ｘ＋１２－ａæèçöø÷ｘ２＋οｘ２()ꎬ而ｅｘ－ａｘ２＋ｂｘ＋１()是比ｘ２高阶的无穷小ꎬ故１－ｂ＝０１２－ａ＝０{ꎬ即ａ＝１２ｂ＝１{.８１泰勒公式在求极限时使用方便ꎬ实际上利用泰勒公式还可以找一个无穷小量的等价无穷小.推论１㊀若ｆｘ()在ｘ０处具有ｎ阶导数ꎬ且ｆｘ０()＝０ꎬｆᶄｘ０()＝０ꎬ ꎬｆｎ－１()ｘ０()＝０ꎬｆｎ()ｘ０()ʂ０ꎬｎȡ２()ꎬ则当ｘңｘ０时ꎬｆｘ()~ｆｎ()ｘ０()ｎ!ｘ－ｘ０()ｎ.特别地ꎬ若ｆｘ０()＝０ꎬｆᶄｘ０()ʂ０ꎬ则当ｘңｘ０时ꎬｆｘ()~ｆᶄｘ０()ｘ－ｘ０().注２㊀在利用泰勒公式求函数相加减后的量的等价无穷小时ꎬ要将各函数展开到相同阶数ꎬ并且在加减运算完成后至少要剩余一个非零项ꎬ才可以根据推论１得到函数的等价无穷小.２.４求导定阶法定理３㊀设ｌｉｍｘң０αｘ()＝０ꎬ且αｘ()在ｘ＝０的某邻域内可导.(１)若ｘң０时ꎬ存在常数ｋ>０ꎬ使得αᶄｘ()~ｘｋꎬ则αｘ()~ｘｋ＋１ｋ＋１ꎻ(２)若存在常数Ｃʂ０ꎬ使得ｌｉｍｘң０αᶄｘ()＝Ｃꎬ则αｘ()~Ｃｘ.此定理由洛必达法则容易证明.由定理３可知ꎬ比较两个无穷小α与β的阶ꎬ可以转化为比较它们各自的导函数αᶄ与βᶄ的阶数ꎬαᶄ与βᶄ阶数具有什么样的关系ꎬ则α与β阶数具有同样的关系.当前面三种定阶法都不能很好地处理无穷小比较的问题时ꎬ求导定阶法往往可以解决一定的问题.特别地ꎬ如果遇到多个无穷小是积分上限的函数ꎬ在比较这些无穷小时ꎬ求导定阶法可以快速地解决问题.例５㊀(２０２０年全国硕士研究生招生考试试题)当ｘң０＋时ꎬ下列无穷小量中阶数最高的是(㊀㊀).Ａ.ʏｘ０ｅｔ２－１()ｄｔ㊀㊀㊀Ｂ.ʏｘ０ｌｎ１＋ｔ３()ｄｔＣ.ʏｓｉｎｘ０ｓｉｎｔ２ｄｔＤ.ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ解㊀当ｘң０＋时ꎬ由于四个选项中的无穷小都是积分上限的函数ꎬ比较它们的阶数ꎬ相当于比较它们各自的导函数的阶数.ʏｘ０ｅｔ２－１()ｄｔ[]ᶄ＝ｅｘ２－１~ｘ２ꎻʏｘ０ｌｎ１＋ｔ３()ｄｔ[]ᶄ＝ｌｎ１＋ｘ３()~ｘ３ꎻʏｓｉｎｘ０ｓｉｎｔ２ｄｔ[]ᶄ＝ｓｉｎｓｉｎｘ()２ ｃｏｓｘ~ｓｉｎｘ()２~ｘ２ꎻʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ[]ᶄ＝ｓｉｎ３１－ｃｏｓｘ() ｓｉｎｘ~１－ｃｏｓｘ()３２ｘ~１２æèçöø÷３２ｘ４.综上ꎬ由于ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ的导数比其余三个函数的导数阶数高ꎬ所以ʏ１－ｃｏｓｘ０ｓｉｎ３ｔｄｔ是四个选项中阶数最高的ꎬ答案选Ｄ.将以上四种确定无穷小的阶数的方法灵活使用ꎬ可以更加有效地处理无穷小的比较问题.４结论本文主要从无穷小比较的定义㊁等价无穷小定阶法㊁比较定阶法㊁泰勒公式定阶法㊁求导定阶法五种方法系统地归纳了无穷小量的比较问题ꎬ并结合实例给出了分析过程ꎬ使方法可以很好地结合实例进行应用.灵活使用这些方法ꎬ可以做到更加有效地解决无穷小的比较问题.参考文献:[１]同济大学应用数学系.高等数学(７版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]王莉.无穷小量定阶法及其应用[Ｊ].数学教学研究ꎬ２０１３ꎬ３２(２):５６－６０.[３]华东师范大学数学系.数学分析(４版)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１１.[４]夏滨.谈无穷小阶的比较方法[Ｊ].理科爱好者ꎬ２０１４ꎬ６(２):５－６.[５]许洪范ꎬ饶维亚.非标准分析中无穷小量阶的研究[Ｊ].长春大学学报ꎬ２０００ꎬ１０(６):２６－３３.[６]潘建辉ꎬ胡学刚ꎬ邓志颖.关于 无穷小的比较的教学研究[Ｊ].高等数学研究ꎬ２０１１ꎬ１４(５):４３－４６.[７]方涛.关于无穷小量的几点注记[Ｊ].上海工程技术大学学报ꎬ２０１３ꎬ２７(３):２７５－２７７.[责任编辑:李㊀璟]９１。
【精品资料】求极限的计算方法与技巧
求极限的计算方法与技巧目录一、引言 (1)二﹑相关定义与定理 (1)三、极限的几个重要性质 (3)1、收敛数列的一些性质 (4)2、函数极限的相关性质 (4)四、极限的计算方法与技巧及举例说明 (5)1、利用极限定义验证极限 (5)2、利用等价无穷小求极限 (6)3、利用两个重要极限求极限 (7)4、利用数列与级数的关系求极限 (8)5、利用定积分概念求极限 (8)6、利用泰勒展开式求极限 (9)7、递推关系法 (9)8、拆项相消法 (10)9、利用不等式 (10)10、洛必达法则 (11)11、中值定理法 (12)12、单调有界定理 (13)13、利用极限的四则运算法则求极限 (14)14、利用加权平均值定理求极限 (14)15、拟和法 (15)16、利用函数导数、连续的定义 (16)17、化积为商法 (17)18、构造新数列 (17)19、Euler常数法 (18)一、引言在高等数学领域中极限是一个重要概念，求数列与函数的极限是数学分析的基本运算。
如函数的连续﹑导数﹑定积分及级数的收敛等都是在极限理论的基础上建立的。
求极限的主要方法有：定义法﹑四则运算﹑两边夹法则﹑实数连续性公理﹑数列的求和公式﹑利用两个重要极限等。
除这些常规方法外还有很多技巧，这些技巧隐含在函数的相关理论中，对这些技巧进行归纳探讨并就应用范围进行分析。
求极限是大学理科学生必须练好的一门的基本功，然而面对错综复杂的极限计算题许多学生感到茫然不知所措，为了帮助学生学好极限，本文对其方法进行了简略地归纳和总结.二、相关定义与定理定义1[1] 设{}n a 为数列,a 为定数。
若对任意的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时有|,n a a ε-<|则称数列 {}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作lim ,n n a a →∞=或n a a →()n →∞读作“当n 趋于无穷大时,n a 的极限等于a 或n a 趋于a ”.若数列{}n a 没有极限,则称{}n a 不收敛,或称{}n a 为发散数列.定义2[2] 设f 为定义在[),a +∞上的函数,A 为定数.若对任意的0ε>,存在正 数()M a ≥,使得当x M >时有()f x A ε-<则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限,记作lim ()x f x A →+∞=,或()f x A →()x →+∞.定义3 设函数f 在点0x 的某空心邻域()0'0;U x δ内有定义,A 是一个确定 常数.若0,0εδ∀>∃>,总存在'x ,满足'0o x x δ<-<,且0()f x A ε-<，则称当0x x →时,()f x 以A 为极限,记为0lim ()x x f x A →=.定义4 设函数()f x 在(),o U a δ+内有定义,A 是一个确定的常数，若0ε∀>，0δ∃>,使当a x a δ<<+时,都有()f x A ε-<,则称函数()f x 在x 趋于a +时右极限存在,并以A 为右极限记作lim ()x af x A +→=.有时也记 (0)lim ()x af a f x +→+=. 定理 1〔单调有界定理〕在实系数中，有界的单调数列必有极限. 定理 2〔柯西收敛准则〕数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存 在正整数N ，使得当,n m N >时有n m a a ε-<. 这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。
数学数学分析
数学数学分析数学分析数学分析是数学的一个重要分支，它主要研究实数和复数上的函数及其性质。
通过对函数的极限、连续性、可微性、可积性等性质的研究，数学分析为解决许多实际问题提供了数学工具和方法。
一、极限理论在数学分析中，极限是一个基本概念。
我们将讨论实数函数的极限，该函数可能定义在一个区间内。
设函数$f(x)$定义在区间$(a,b)$上，如果当$x$趋于$c$时，函数值$f(x)$无限地接近某一个常数$L$，则称$L$是$f(x)$在$x=c$处的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。
通过极限的研究，我们可以推导出导数、积分等重要的数学概念和方法。
二、连续性与可导性在数学分析中，连续性和可导性是研究函数性质时非常重要的概念。
如果函数$f(x)$在某一点$c$的左右极限存在且相等，并且函数在$c$处的函数值等于该极限值，则称函数在$c$处连续。
如果函数$f(x)$在一个区间内每一点都连续，我们称该函数在该区间内连续。
一旦函数在某一点处连续，我们还可以研究函数的可导性。
如果函数在某一点$c$的导数存在，我们称函数在该点处可导。
可导性和连续性是密切相关的，连续函数未必可导，但可导函数必定连续。
三、微分学与积分学微分学是数学分析研究中的一个重要分支，主要研究函数的导数和微分，对函数的性质进行研究。
导数表示函数在某一点处的变化率，是微分学的基本概念。
通过导数，我们可以求解函数的极值、判断函数的凹凸性以及研究函数的增减性等。
积分学是数学分析中另一个重要的分支，主要研究函数的积分和不定积分。
积分表示函数在某一区间上的累积变化量。
通过积分，我们可以求解曲线与坐标轴所包围的面积、求解定积分以及研究曲线的长度等。
四、级数理论级数理论是数学分析中一个重要而复杂的分支，主要研究无穷级数的性质和收敛性。
在级数理论中，我们讨论了级数的收敛和发散的概念，以及柯西收敛准则、比较判别法、绝对收敛等重要定理。
五、函数的一般性质除了以上讨论的主要内容外，数学分析还研究了函数的一般性质，例如函数的单调性、导数的性质、函数的极值点等。
从数学发展史中理解极限理论,
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。