电子科大随机信号分析教学平稳性与功率谱密
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
置 t1 t2 有关，而与两时刻组的绝对位
置(t1,t2)无关。
RX (t1,t2 ) E X t1 X t2
x1 x2 x1x2 f (x1, x2; ) dx1dx2 R( )
2020/5/22
13/117
CX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) mX t1 mX t2
2020/5/22
7/117
注意：
a. X t X t 的全部统计特性对时刻
严格平稳 或时刻组是位移不变的
b. 时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即 任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关， 而只与其相对位置有关。
2020/5/22
8/117
SSS R.S. X(t)的特性
2020/5/22
2/117
3.1 平稳性与联合平稳性 3.2* 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例
2020/5/22
3/117
3.1 平稳性与联合平稳性
平稳性（Stationarity）:
平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t （或观察时刻组t1,t2,…,tn）平移而变化的性质， 相应的随机信号被称为平稳随机信号。
广义平稳（弱平稳，宽平稳） WSS R.S. Wide-Sense Stationary R.S
2020/5/22
5/117
3.1.1 严格平稳与广义平稳随机信号
1. 严平稳随机过程 SSS R.S.
定义3.1 若对于任意的 u ，随机过程
{ X(t),t∈T } 的任意 n 维概率分布函数满足
FX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn ) FX (x1, x2,L , xn;t1 u,t2 u,L ,tn u)
例： f (x;t) f (x;t u) f (x)
mX (t) mX (t u) 常数
RX (t1, t2 ) RX (t1 u, t2 u)
2020/5/22
4/117
严格平稳（强平稳,狭义平稳） SSS R.S. 分类：Strict-Sense Stationary R.S.
(1) SSS R.S. X(t)的一维概率分布、密度函数与时 间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t 无) F (x) f (x;t) f (x;t u) f (x)
一阶平稳
2020/5/22
9/117
SSS.R.S由同分布随机变量组成
相对差 t1 t2有关，即
RX (t1,t2 ) RX (t ,t) RX ( )
则称X(t)是广义平稳随机信号 , 记作 WSS R.S.
弱平稳随机信号
2020/5/22
宽平稳随机信号
16/117
3. 严格平稳性与广义平稳性之间关系：
严格平稳 如果其均值与相关函数存在 广义平稳
证明： F (x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2;t1 u, t2 u)
令u t2
F (x1, x2;t1 t2, 0) F (x1, x2; )
2020/5/22
12/117
(3) 如果SSS R.S. X(t)的相关函数、协方差函 数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位
则称X(t)是严格平稳随机信号, 记作SSS R.S
强平稳随机信号
狭义平稳随机信号
2020/5/22
6/117
X t
t1 t2 L tn
t1
u t2
L
u
tn
u
严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：
fX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn )
fX (x1, x2,L , xn;t1 u,t2 u,L ,tn u)
一阶密度函数平稳性示例：
2020/5/22
10/117
E[ X (t)] xf X (x;t)dx xf X (x)dx 常m数X
Var[
X
(t )]
E
X
(t )
mX
2
x mX
2
fX
( x)dx
2 X
常数
均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。可 见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。
为 相 t1对 t时2 间，
如： Rt1,t2 R(t ,t) E X t X t
2020/5/22
15/117
2. 广义平稳随机过程 WSS R.S.
定义3.2 若 R.S. X (t),t T 的均值和相关函数
存在，并且满足：
① 均值为常数；即 E[X (t)] mX 常数
② 相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与
随机信号分析
第3章 平稳性与功率谱密度
2020/5/22
1/117
第3章 平稳性与功率谱密度
有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全 部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随 机信号被称为平稳随机信号。
本章讨论： 1）严格与广义平稳性；循环平稳性； 2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义； 3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度； 4）白噪声及其实例——热噪声
过程
不一定是
过程
定理3.1 如果某高斯信号是广义平稳信号，则 该信号也是严格平稳信号。
关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时 间变量t换为离散时间n
2020/5/22
17/117
说明：
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性， 即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；
2020/5/22
11/117
(2) SSS R.S. X(t)的二维概率分布、密度函数与两时 刻 组 的 绝 对 位 置 (t1,t2) 无 关 ， 只 与 相 对 位 置
有关。( t1 t2 )
F (x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2; ) f (x1, x2;t1,t2 ) f (x1, x2; )
RX ( ) mX2 CX ( )
when 0 , CX (0) RX (0) mX2
X
(t1, t2 )
CX (t1, t2 )
X (t1) X (t2
)
CX ( X2
)
X
(
)
2020/5/22
14/117
通常 t1, 采t2 用 (t 的等,t)价形式，
是核心变量，t 称为绝对位置。
置(t1,t2)无关。
RX (t1,t2 ) E X t1 X t2
x1 x2 x1x2 f (x1, x2; ) dx1dx2 R( )
2020/5/22
13/117
CX (t1,t2 ) RX (t1,t2 ) mX t1 mX t2
2020/5/22
7/117
注意：
a. X t X t 的全部统计特性对时刻
严格平稳 或时刻组是位移不变的
b. 时刻组平移时，时刻组间的相对位置不变，即 任意n维概率分布函数与时刻组的起始位置无关， 而只与其相对位置有关。
2020/5/22
8/117
SSS R.S. X(t)的特性
2020/5/22
2/117
3.1 平稳性与联合平稳性 3.2* 循环平稳性 3.3 平稳信号的相关函数 3.4 功率谱密度与互功率谱密度 3.5 白噪声与热噪声 3.6 应用举例
2020/5/22
3/117
3.1 平稳性与联合平稳性
平稳性（Stationarity）:
平稳性是指随机信号的统计特性不随观察时刻t （或观察时刻组t1,t2,…,tn）平移而变化的性质， 相应的随机信号被称为平稳随机信号。
广义平稳（弱平稳，宽平稳） WSS R.S. Wide-Sense Stationary R.S
2020/5/22
5/117
3.1.1 严格平稳与广义平稳随机信号
1. 严平稳随机过程 SSS R.S.
定义3.1 若对于任意的 u ，随机过程
{ X(t),t∈T } 的任意 n 维概率分布函数满足
FX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn ) FX (x1, x2,L , xn;t1 u,t2 u,L ,tn u)
例： f (x;t) f (x;t u) f (x)
mX (t) mX (t u) 常数
RX (t1, t2 ) RX (t1 u, t2 u)
2020/5/22
4/117
严格平稳（强平稳,狭义平稳） SSS R.S. 分类：Strict-Sense Stationary R.S.
(1) SSS R.S. X(t)的一维概率分布、密度函数与时 间t无关；如果其均值与方差存在，它们也与时间t 无) F (x) f (x;t) f (x;t u) f (x)
一阶平稳
2020/5/22
9/117
SSS.R.S由同分布随机变量组成
相对差 t1 t2有关，即
RX (t1,t2 ) RX (t ,t) RX ( )
则称X(t)是广义平稳随机信号 , 记作 WSS R.S.
弱平稳随机信号
2020/5/22
宽平稳随机信号
16/117
3. 严格平稳性与广义平稳性之间关系：
严格平稳 如果其均值与相关函数存在 广义平稳
证明： F (x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2;t1 u, t2 u)
令u t2
F (x1, x2;t1 t2, 0) F (x1, x2; )
2020/5/22
12/117
(3) 如果SSS R.S. X(t)的相关函数、协方差函 数、相关系数存在，它们也只与两时刻的相对位
则称X(t)是严格平稳随机信号, 记作SSS R.S
强平稳随机信号
狭义平稳随机信号
2020/5/22
6/117
X t
t1 t2 L tn
t1
u t2
L
u
tn
u
严平稳随机信号也可以由概率密度来定义：
fX (x1, x2,L , xn;t1,t2,L ,tn )
fX (x1, x2,L , xn;t1 u,t2 u,L ,tn u)
一阶密度函数平稳性示例：
2020/5/22
10/117
E[ X (t)] xf X (x;t)dx xf X (x)dx 常m数X
Var[
X
(t )]
E
X
(t )
mX
2
x mX
2
fX
( x)dx
2 X
常数
均值均为0，均值平稳，但各时刻的R.V.的分布不同。可 见一阶平稳一定均值平稳，但均值平稳不一定一阶平稳。
为 相 t1对 t时2 间，
如： Rt1,t2 R(t ,t) E X t X t
2020/5/22
15/117
2. 广义平稳随机过程 WSS R.S.
定义3.2 若 R.S. X (t),t T 的均值和相关函数
存在，并且满足：
① 均值为常数；即 E[X (t)] mX 常数
② 相关函数与两时刻(t1,t2)的绝对值无关，只与
随机信号分析
第3章 平稳性与功率谱密度
2020/5/22
1/117
第3章 平稳性与功率谱密度
有一类极为重要的随机信号，它的主要（或全 部）统计特性关于参量保持“稳定不变”，这种随 机信号被称为平稳随机信号。
本章讨论： 1）严格与广义平稳性；循环平稳性； 2）平稳信号相关函数的特性；有关物理意义； 3）平稳信号的功率谱密度与互功率谱密度； 4）白噪声及其实例——热噪声
过程
不一定是
过程
定理3.1 如果某高斯信号是广义平稳信号，则 该信号也是严格平稳信号。
关于随机序列的平稳性问题，只需要将连续时 间变量t换为离散时间n
2020/5/22
17/117
说明：
平稳性是随机信号的统计特性对参量（组）的移动不变性， 即平稳随机信号的测试不受观察时刻的影响；
2020/5/22
11/117
(2) SSS R.S. X(t)的二维概率分布、密度函数与两时 刻 组 的 绝 对 位 置 (t1,t2) 无 关 ， 只 与 相 对 位 置
有关。( t1 t2 )
F (x1, x2;t1,t2 ) F (x1, x2; ) f (x1, x2;t1,t2 ) f (x1, x2; )
RX ( ) mX2 CX ( )
when 0 , CX (0) RX (0) mX2
X
(t1, t2 )
CX (t1, t2 )
X (t1) X (t2
)
CX ( X2
)
X
(
)
2020/5/22
14/117
通常 t1, 采t2 用 (t 的等,t)价形式，
是核心变量，t 称为绝对位置。