工程力学--第四章 变形静力学基础

L
A a
W
a x
B L
hA
hB
A
B
FA
FB
W
FN=0
二个平衡方程，三个未知量：x、FA、FB，不可解。需考虑变 形。板可作刚体处理，只考虑弹簧的变形。
2) 变形几何协调条件：
刚性板保持为直板， 二弹簧变形后应满足的 几何条件是：
hA A
hB a a
x B
FA
FB
W
FN=0
hB/hA=(L-a)/(L+a)
根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。
通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的 合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合 成)。
I. 截面法· 轴力及轴力图
FN=F
步骤： （1）假想地截开指定截面； （2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；
（3）根据分离体的平衡求出内力值。
上述假设，建立了一个最简单的可变形固体的理想化模 型。 随着研究的深入，再逐步放松上述假设的限制。 如在 后续课程中逐步讨论各向异性问题，大变形问题，含缺陷或 裂隙等不连续介质的问题等等。
4.3 内力、截面法
1.内力:
F2
F1
A
C
B
M
物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体，内力才能显示。
刚度—不因发生过大的弹性变形而失效；指构件的 抵抗变形的能力 稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失 效，指构件的保持平衡的能力
强度问题
垮塌后的彩虹桥 强 度 问 题
高刚度的桥面结构
刚 度 问 题
稳 定 问 题
强 稳 刚 度 定 度 问 题
第四章
4.1
变形体静力学基础
变形固体的力学分析方法
若外力在同一平面内，截面内力只 有三个分量，即:
轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FQ 作用于截面切向。 弯矩 M 使物体发生弯曲。
C
M
C
FQ FN
若外力在轴线上,内力只有轴力。
内力的符号规定
取截面左端研究，截面在研究对象右端，则规定：
FN
内力 右截面正向 左截面正向 FN FQ M
微段变形（正）
纯弯曲。
而车轴的外伸部分既受弯 又受剪——横力弯曲
弯曲变形
工程中常用构件在荷载作用下，大多为几种基本变形
形式的组合——组合变形。
齿轮传动轴 厂房吊车立柱 (压缩+横力弯曲) (扭转+水平面内横 (压缩+纯弯曲) 力弯曲+竖直面内
横力弯曲)
烟囱
工程构件的强度、刚度和稳定问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效；即指构件 的抵抗破坏的能力
C
2）求各截面内力： 截面1：FN1=FCD=-F
F FN1 FCD
a
截面2：FN2=FACcos45=F； FQ2=FACsin45=F M2=FACcos45x=Fx
FAC
x
a a
A 3
D
2 C 1
F
M2 FQ2 FN2
B
截面3：FN3=0；FQ3=-FBx-FCD=F/2；
M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2
1) 均匀连续性假设
物体整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是均匀、连 续的，且任何部分都具有相同的性质。 变形前、后都没有“空隙”、“重叠”，必须满足几何 协调（相容）条件。可取任一部分研究。
2) 各向同性假设
材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。 这样的材料称为各向同性材料。 使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化。
E
1
2
为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN 为方便，取横截面1－1左
FR
A
1
FN1
边为分离体，假设轴力为
1
拉力，得
FN1=10 kN(拉力)
1 FR
A
F1=40KN
B
2 F2=55KN F3=25KN
C
3 3
D
4 4
F4=20KN
E
1Fra Baidu bibliotek
2
FR
F1
2
FN2
FN2=50 kN(拉力)
A B
2 FN3 3
FN, max = FN 2 = 50 kN
思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？
[例题4-4]：试作此杆的轴力图。 F F
q= l
F l 解： FR 1 F F FR 2 F'=2ql F 3 1
F
F
2l 2 q
l 3 F
[例4-5] 试求此正方 形砖柱由于荷载引起的横
4.2 基本假设
4.3 内力、截面法 4.4、杆的轴向拉伸和压缩 4.5 一点的应力和应变 4.6 变形体静力学分析
前两章，将物体视为刚体，讨论其平衡。事实上，总有 变形发生，还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。属于固体力学的范畴。 不再接受刚体假设。
4.1
变形固体的力学分析方法
以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究： 1) 力和平衡条件的研究。 2) 变形几何协调条件的研究。 研究主线 3) 力与变形之关系的研究。 先以一个例子说明方法。
F3
为方便取截面3－3右边为 分离体，假设轴力为拉力。
F4 3
D E
FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)
1
画轴力图
F1=40KN
B
2 F2=55KN F3=25KN
C
FR
A
3 3
D
4 4
F4=20KN
E
1
2 50KN
10KN
⊕
5KN
20KN
⊕
轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。
变形静力学引言：
变形体静力学主要研究对象是杆件
横向尺寸远小于纵向尺寸的构件
轴线
横截面
截面形心
杆件的几何特性
直杆 曲杆
主要几何因素：横截 面、轴线 等截面杆和变截面杆
杆件变形的基本形式
Ⅰ. 轴向拉伸或轴向压缩
Ⅱ. 剪切
剪切变形
Ⅲ. 扭转
扭转变形
Ⅳ.
弯曲
F1=F2时(从而亦有FA=FB) 车轴的AB部分不受剪切——
FN=0
解得：板刚刚触地时，人所走过的距离为：
a 2 2 hk - 1) x= ( L W 此时，二弹簧的变形为： --（a）
A = W ( x - 1) 2k a
B =
W x ( + 1) 2k a
--（b）
将x代入平衡方程，即可求得FA、FB。
研究变形体力学问题的主线是：
力的平衡 (已熟悉) Fy=0 MA(F)=0
(x>0)
--(4) --(5)
--(3)
弹簧A、B的变形为 A=hA-h (受拉伸长) 及 B=h-hB (受压缩短)
3) 力与变形间的物理关系： 对于弹簧，力与变形间的关系为： FA=kA --(6) 及 FB=kB --(7)
x hA 综合考虑平衡条件、 hB B A a a 变形几何关系、物理关系 W FA FB 后，得到七个方程，可求 出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。
F
FR = F
1
FR = F
F
F
FN1 = F
2
q
3
F x
1
FR = F
2
FN 3 = F
3 F
F
FR = F
q
FN2
F
x
=0 Fx 1 l =0
F
x1 F F =
Fx 1 l
FN 2
FN2 + 2 F - FR FN2 = Fx 1 l -F
FR = F
F
x1
F
F
q=F/l
F
l F +

A
s dA
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横:截面上各点处s 相等 时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力——轴力 FN；横截面上各点处s 不相等时，特定条件下也可组成轴
力FN。
为此： 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后 的相对位移：两横向线仍为直线，仍相互平行，且仍垂直 于杆的轴线。 2. 平截面假设——原为平面的横截面在杆变形后仍 为平面，对于拉(压)杆且仍相互平行，仍垂直于轴线。
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设 进一步推知，拉(压)杆横截面上的内力均匀分布，亦即横截
面上各点处的正应力s 都相等。
4. 等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 s =
FN A
。
F
s =
300 50KN
FN A
F
F
4.4 杆的轴向拉伸和压缩
工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作 用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种 受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。
屋架结构简图
一
轴向拉伸压缩内力 轴力图
变形静力学中所研究的内力——物体内各质点间原来
相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。
方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为总应力。
某一截面上法向分 法向分量 总应力 p 切向分量 切应力t 正应力s
布内力在某一点处
的集度 某一截面上切向分 布内力在某一点处 的集度
应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
Ⅱ.拉(压)杆横截面上的应力
FN =
受拉伸
顺时针错动
向上凹
2. 截面法
用假想截面将物体截开，揭示并由平衡方程确定截 面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为： 求约 束反 力 截取 研究 对象 受力图， 内力按正 向假设。 列平 衡方 程 求解内力， 负号表示与 假设反向
无论以截面左端或右端为研究对象，都应得到相同的截面内 力。因为，二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适 当的符号规定可保证其一致性。
F
(f)
轴力图(FN图)——显示横截面上轴力与横截面位置 的关系。
【例题4-3】 试作此杆的轴力图。
40KN
A 600 B 300 C
55KN 25KN
D 500 E 400
20KN
等直杆的受力示意图
解：
1 FR
A B
C
F1=40KN
2 F2=55KN F3=25KN 3 3
D
4 4
F4=20KN
x hA A hB a a B
FA
FB
W
FN=0
变形的几何协调
(几何分析) 力与变形之关系
hB/hA=(L-a)/(L+a) A=hA-h; FA=kA ; B=h-hB FB=kB
(物理关系)
研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。
4.2 基本假设
固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。 为研究方便，采用下述假设：
2l
l F
+ F FN 图
二 应力· 拉(压)杆内的应力
Ⅰ.应力的概念 受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布
内力的平均集度即平均应力，
pm =
F A
，其方向和大小一般
而言，随所取ΔA的大小而不同。
该截面上M点处分布内力的集度为 p = lim
A 0
F A
=
dF dA
，其
灰口铸铁的 显微组织
球墨铸铁的 显微组织
普通钢材的 显微组织
优质钢材的 显微组织
B
3) 小变形假设
D
C 相对于其原有尺寸而言，变形 D' 后尺寸改变的影响可以忽略不计。 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大 的误差。
基于此，固体力学研究的最基本问题是：
均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。
长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为h的 拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走，试求板
[例4.1]
与地面刚刚接触时，人所走过的距离x。 解：设人重为W，板重不计。讨 论板与地面刚接触 的临界状态，板受力如图。 1) 力的平衡条件： 由平衡方程有： Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0
M3
D
FN3 FQ3
y
FBx
FCD
杆件：某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。
z
y
Fy
1
F My
B x
Fx
C
A
x
Fz
a Mz Mx b
最一般情况： 截面内力有六个分量。
基本 变形
轴向拉压
扭 转
弯 曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
注意：所讨论的是变形体，故在截取研究对象之前， 力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。
例[4.2] 求图中1、2、3截面内力。
解：1）求约束反力：由整体有 FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2 a a 由铰链C：FAC= F； FCD=-F 2
FBx
FAy
A 3
D
a FAx
2 C
1
F
B
FAC FCD
F3
处于平衡状态的物体，其任 一部分也必然处于平衡状态。
F2
F1 A
Fy
C
My Mx Fx
Fz Mz 沿C截面将物体截开，A部分在 外力作用下能保持平衡，是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何 运动(截面有三个反力、三个反力偶)。
内力分布在截面上。向截面形心简化，内 力一般可表示为六个，由平衡方程确定。
横截面m－m上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直
于横截面并通过其形心)——轴力。无论取横截面m－m的左
边或右边为分离体均可。 轴力的正负按所对应的纵向变形为伸长或缩短规定: 当轴力背离截面产生伸长变形为正；反之，当轴力指向 截面产生缩短变形为负。
轴力背离截面FN=+F
轴力指向截面FN=-F
F (c)