多项式矩阵

V12 (s) V22 (s)
则由(2.4)式可得
D(s) N (s)
V11 ( s) V21 ( s)
V12 (s) V22 (s)
R(s)
0
V11 (s) R(s)
V21
(
s)R(
s)
即存在多项式矩阵 V11(s)和V21(s) 使成立 D(s) V11(s)R(s), N (s) V21(s)R(s)
0
0
S2 s2 s3 s2 s 1 交换( 行1)2行和1行,E 3d,Ee
s 1
1 S 2 s 2
1 S 2 s 2
0
s 1
( s 2 1)行2加到行 3 Ef
0
s 1
0 s3 s2 s 1
0
0
R(s)
1 0
S
2 s s 1
2
为所求。
而相应的单模阵为
U (s) E f Ee Ed Ec Eb Ea
例如,方多项式矩阵
s 2 s 1
s
1
s 2
行列式是 (s 2)2 (s 1)2 6s 3
它不是有理函数域中的零元. 此矩阵是非奇异的(满秩的 )
有理函数域中的非奇异性Βιβλιοθήκη Baidu并不意味着该矩阵对所有的 C中s的均为非奇 异.例如,上述矩阵在 s=-0.5时秩为1而不是2.
多项式矩阵
s2
s
2
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0
1
0 0
0
1
0
1 0
0 (s2 1) 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0
1
0
s
1
0 1
0
0
1 0 1 0 0 1 0 0 1
gcrd的性质 性质2.1 不唯一性设 R(S)为具有相同列数 p的 D(s)和N(s)的一个gcrd
S2 2s 1]
的一个gcrd R(s)
解 对 [DT (s), N T (s)]T 进行初等行变换如下
s
D(s) N (s)
1 1
3s 1
1
S2
s
2
交换 行1和行2 Ea
s
S 2 2s 1
1
S2 s2
3s 1
S 2 2s 1
1
s行1加到行2,Eb ( 1)行1加到行3, Ec
3s
2
s s2
1 1
a1 (s) a2 (s)
行列式 (s 2)(s2 1) (s 1)(s2 3s 2) 0 因此矩阵是奇异的.
有理数1(s),2 (s)使得 1(s)a1(s) 2(s)a2(s) 0
可选1(s) 1,2 (s) 1/(s 1) 即多项式向量组 a1(s), a2 (s)
有U
(s)
D(s) N (s)
U11(s) U21(s)
U12 U 22
(s) (s)
D(s) N(s)
R(s)
0
(2.4)
则 p×p的多项式矩阵 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd.
证 1)先证 R(s)是D(s)和N (s) 的一个gcrd 令
V
(s)
U
1
(s)
V11(s) V21(s)
性质2.3 gcrd非奇异的条件: 给定具有相同列数 p的多项式矩阵
D(s)和N (s)
则当 ND((ss)) 为列满秩即rank
D(s) N (s)
p
时, D(s)和N (s) 的所有gcrd都是非奇异的.
(2.7)
证 由构造定理,有
U
(s)
D(s) N (s)
=
R(s)
0
其中, U(s)为 p维单模阵,gcrdR(s)为 p维多项式矩阵 .从而
称R(s)是N (s)和D(s) 的最大右公因子 记为gcrd
N (s)和D(s) 右互质:
gcrd为单模阵
最大左公因子具有对偶的形式,简记为gcld.同理,若gcld为单模阵,则称
N (s)和D(s) 是左互质的
定理2.5 [gcrd的构造定理] 对给定的 p p和q p 的多项式矩阵
D(s)和N (s) ,如果可以找到一个 ( p q)( p q) 的单模阵 U(s)
W(S)为任一 p维单模阵,则 W(S) R(S)也必是 D(s)和N(s)的一个gcrd ,
性质2.2 在非奇异性和单模性上的唯一性:设R1(s)和R2 (s) 是多项式矩阵 D(s)和N (s) 的任意两个gcrd, ,则当 R1 (s) 为非奇异(或单模)时,
R2 (s) 也必为非奇异(或单模).
线性相关
定义2.2(单模阵)如果对于 s £ ,多项式矩阵 A(s)均为可逆的,则必有
det A(s) 为非零的常数.这样的矩阵称为单模阵.
由上述定义和公式
A( s) 1 AdjA(s)
易得
det A(s)
定理2.4 多项式方阵为单模阵当且仅当其逆存在且仍为多项式矩阵.
定义2.3 考虑多项式矩阵 N (s)和D(s) 若存在多项式矩阵
R(s)是D(s)和N(s) 的一个右公因子
2)再证 D(s)和N (s) 的任一右公因子 R1(s)均为R(s)的右公因子。
Q R1 (s)是D(s)和N (s)的右公因子
D(s) D1(s)R1(s), N (s) N1(s)R1(s) (2.5)
再由(2.4)可得
R(s) U11(s)D(s) U12 (s)N (s)
的gcrd,则 R(s) X (s)D(s) Y (s)N(s)
(2.6)
将(2.5)代入(2.6),即得
R(s) [U11(s)D1(s) U12 (s)N1(s)]R1(s) W (s)R1(s) 其中W (s)为多项式矩阵， R1(s)为R(s)的右乘因子
R(s)为D(s)和N (s)一个右公因子
例2.1 求多项式矩阵
D(s)
s 1
3s 1 S2 s 2, N(s) [1
N (s)和D(s) ,使得 N (s) N (s)R(s), D(s) D(s)R(s)
则称多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子.
易得：N(s)和D(s) 有相同的列数.行数可以不同. 定义2.4 若多项式方阵 R(s)是N (s)和D(s) 的右公因子 ,并且是
N (s)和D(s) 的任一右公因子 R1(s)的左倍式（即R(s) W (s)R1(s)）
rank
D(s) N (s)
rankU
(s)
D(s) N (s)
rank
R(s)
0
rankR(s)
所以,当条件(2.7)成立时,必有 rankR(s)= p,即 R(s)为非奇异.性质2.2知 所有gcrd都是非奇异的.
性质2.4 设 R(s)是p p和q p 的多项式矩阵 D(s)和N(s)