对反函数的解析

椭圆及其标准方程

教学重点：归纳并理解椭圆的定义；推导出椭圆的标准方程。

针对教学重点，设计出以下教学过程：

1.引入新课

[归纳定义]

师：可以在多媒体上列举生活中的一些实例，例如：地球的运行的轨迹，足球在地面上的影子，眼镜片等。让学生举出一些此类图形。

【设计意图】通过现实生活的例子，让学生发现生活中的椭圆，认识到数学与生活紧密相连。

师：带领学生复习圆的定义和方程。通过类比圆，观察如何画出椭圆的图形。【设计意图】以学过的知识圆去类比新知，让学产生知识的迁移。

师：利用教具，演示画图。

先将绳子的一端固定，将粉笔套在绳子的另一端，拉紧画出一个圆。

提问：如果固定绳子的两端，粉笔将绳子拉紧，可以画出什么图形呢？

师：带领学生一起画图。

先将绳子的两端分开固定在黑板上的F1，F2两点，当绳子大于F1，F2的距离时。用粉笔拉紧的同时缓慢移动一周，画出椭圆。

（学会可能会忽视椭圆定义中的限制条件，老师可以重点强调）

生：学生小组间动手练习，增强学生学习的热情。总结出椭圆的定义。

【设计意图】老师带领学生动手画图，是为了让学生体会定点与绳子之间的关系，从而帮助学生形成椭圆的认识。

师：当绳长等于定点的距离时，能否画出椭圆？当绳长小于定点的距离时，能否画出椭圆？

生：学生在老师的带领下，自己画图总结。

把动点记作P，得到：

|MF1|+|MF2|＞|F1F2| ，椭圆；

|MF1|+|MF2|＝|F1F2| ，线段；

|MF1|+|MF2|＜|F1F2| ，不存在。

椭圆的定义：“我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。”

扩充：给学生讲一讲双耳椭圆与椭圆大厅。

[推导方程]

师：我们已经学习了圆的标准方程。那么我们回顾一下圆的一般方程我们是怎么推导的呢？

【设计意图】利用之前圆的推导法，进行椭圆一般方程的推导，让学生产生一种类比思维。 师：总结出求算步骤：

（1）建立直角坐标系（2）在曲线上找取一点（3）利用对应关系列方程（4）化简整理 师：那我们就利用以上步骤来求一下椭圆的标准方程

画出椭圆图形，以焦点F 1，F 2在x 轴为例

设点P （x ，y ）为椭圆上的任意一点，其焦距为|F 1F 2|=2c ，点 F 1，F 2在x 轴上， F 1（-c ，0），F 2（c ，0），绳长为2a 2222()()2x c y x c y a +++-+=

【设计意图】从椭圆的定义出发，用基本定义推导方程，易于学生接受。 化简，先移项，后平方：222()a cx a x c y -=-+

再次平方：22222222()()a c x a y a c a -+=-

令222a c b -=（b ＞0）， 得：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0) 师：让学生猜想并得出，焦点在y 轴上的椭圆标准方程。

【设计意图】让学生体会一般方程推导过程，引发学生从多角度认识椭圆的标准方程。

[练习巩固]

例：求出椭圆的标准方程

（1）焦点F 1(-3，0)和F 2(3，0) ,椭圆上的一点P 到两焦点的距离和为8；

（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点（3,2）和（5,1）；

（3）焦点在x 轴上，a ：b=2:1，6c =

【设计意图】加深对椭圆定义及标准方程形式的理解。

求反函数的问题设计： 【例题】已知函数12()1x f x x

-=

+，函数y=g （x ）的图像与1(1)y f x -=-的图像关于直线y=x 对称，则y=g （x ）的解析式为＿＿＿＿。 【学生】在解题过程中，学生易由y=g （x ）与1(1)y f x -=-互为反函数，而认为1(1)y f x -=-的反函数是y=f （x-1），则y=g （x ）=f （x-1）=

12(1)321(1)x x x x ---=+-。 【分析】1.1(1)y f x -=-与y=f （x-1）互为反函数？

学生作出这样的猜想本身无可厚非，毛病要在教师和肯本身上去找，产生这种错解的原因是学生对反函数的定义和求法掌握有误，而且课本只注重了对反函数的数的描述，对形的特点一笔带过，未加深入。会简单的认为()y f x =与1()y f x -=互为反函数，忽略了函数的基本三要素：定义域、值域、对应法则。

2.y=f （x ）的图像与y=g （x ）的图像关于直线y=x 对称。他们互为反函数吗？ 课本上没有这个结论，老师可能会提到过，但没从根本上理解，学生不太会运用。这里就设计到老师在课堂上要不要对这一重要知识加以补充教学以及如何教学问题。

3.函数1(1)y f x -=-的反函数是什么？如何去求它的反函数？

4.1(())f f x -=x 吗？ 【正确】由12()1x f x x -=

+得到11()2x f x x --=+，从而1(1)y f x -=-=1(1)22(1)1x x x x ---=+-+，再求1(1)y f x -=-的反函数得2()1x g x x -=+。 教学设计

1.创设情景

我们知道影射可以确定一个函数，而且影射存在着逆影射，在逆映射中又可以确定一个新的函数，那么新函数与以前那个函数之间存在着何种关系呢？这就是我们这节课所要研究的内容。

2.引入新知

【老师】在多媒体屏幕上展示几组反函数图像的图片，让学生观察与总结！

【学生】1.图像有何不同？ 2.有何相同？ 3.是否存在关系 4.这两个有对称轴吗？有的话，说出对称轴？（重点强调）

【老师】给出反函数的定义：设函数y=f （x ）（x ∈A ）的值域是C ，根据这个函数中x ，y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=f （y ）且他们的定义域值域互换。

【老师】让学生自己举出具有这样关系的几种数学函数实例。

3.讲练平台

【老师】给出一道例题，带领学生求出反函数，让学生明确求反函数的步骤，强调求解过程中的注意点。

【学生】和老师一起规范解题，对疑问点及时提出。

例：已知函数21y x =+，x ∈[0，+∞），y ∈[1.+∞),求出函数的反函数。

（1） 写出确定函数①的映射

f ：[0,+∞) = A B=[1,+ ∞)

（2） 这个映射存在逆映射吗？

∵f:A →B 是单射（A 中不同的元素，在B 中有不同的像）且又是满射（B 中每个元素在A 中都有原像）

∴f:A →B 是一一映射，从而它存在逆映射

（3） 写出这个逆映射 1:1

1:,f y x y f B A -→=--−−−−−

（4） 写出这个逆映射所确定的函数 2:1

f x y x →=+