立体几何及空间想象能力经典精讲

第15讲 立体几何及空间想象能力经典精讲

题一：如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .

（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，且四棱锥P-ABCD 的体积为83

，求该四棱锥的侧面积.

题二：如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD =CD ．

（1）证明：AC ⊥BD ；

（2）已知△ACD 是直角三角形，AB =BD ．若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

题三：如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，

12

AB BC AD ==

，o 90BAD ABC ∠=∠=，E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面P AB ；

45，求二面角M-AB-D的余弦（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为o

值.

第1讲 立体几何及空间想象能力经典精讲

题一：（1）证明：由已知90BAP CDP ==︒∠∠， 得AB AP ⊥,CD PD ⊥.

由于//AB CD ，故AB PD ⊥，

又因为AP PD P =I ，

所以AB ⊥平面PAD .

又因为AB ⊂平面PAB ，

所以平面PAB ⊥平面PAD .

（2）623+. 题二：（1）证明：取AC 中点O ，连,OD OB ∵CD AD =，O 为AC 中点，

∴OD AC ⊥，

又∵ABC ∆是等边三角形，

∴OB AC ⊥，

又∵O OD OB =I ，

∴⊥AC 平面OBD ，

∵⊂BD 平面OBD ，

∴BD AC ⊥.

（2）1:1.

题三：（1）证明：取PA 的中点F ，连接,EF BF ， 因为E 是PD 的中点，所以1//,2

EF AD EF AD =

. 由o 90BAD ABC ∠=∠=，得//BC AD . 又因为12

BC AD =

，所以//BC EF . 所以四边形BCEF 为平行四边形，//CE BF ， 又因为CE ⊄平面PAB ，BF ⊂平面PAB ， 所以直线//CE 平面P AB.

（210