练习：直线与椭圆相交弦长答案

高二数学阶段练习----直线与椭圆相交弦长参考答案2013-11-28

1.解：设椭圆方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，由题意知：2a b =，则椭圆方程可化为22

2214x y b b

+=，设()()1122,,,A x y B x y . 由222

442

x y b y x ⎧+=⎨=+⎩消去y 得：225161640x x b ++-= 则()()2

222121216164,,1620164165455

b x x x x b b -+=-⋅=∆=--=-

AB ∴=5

==

，24,0b ∴=∆>满足，∴椭圆方程为221164x y +=.

2. 解：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>,由题意知：22

c c e a a ===∴=， 又2222

,1b a c b =-∴= ，∴椭圆方程为2

214x y +=. (2)设()()1122,,,P x y Q x y ,由2244x y y x m

⎧+=⎨=+⎩消去y 得：2258440x mx m ++-=， 则()()()22221212844,,8204416555

m m x x x x m m m -+=-⋅=∆=--=-

PQ ∴=5==

=22b =，215,08m ∴=∆>满足，4

m ∴=±

3.解： 椭圆离心率2

e =，222,a c ∴=又 22222,a b c b c =+∴=，则椭圆方程可设

为：222212x y c c +=，由题意知：()()()2,0,0,0,,2

AB b F c A a B b k a ∴=-=-，则过点2F

且与AB

垂直的直线方程为)y x c =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，

由)

22222x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得：225820x cx c -+=， 则()2222121282,,8402455

c c x x x x c c c +=⋅=∆=--=

PQ ∴=

5

== 点()1,0F

c -到直线)y x c =-

的距离d =

=

. 11122F PQ S PQ d ∆∴=⨯⨯==解得：225c = ∴椭圆方程为22

15025

x y +=. 方法二

：解： 椭圆离心率2

e =，222,a c ∴=又 22222,a b c b c =+∴=，则椭圆方程可设为：222212x y c c +=，由题意知：()()(

)2,0,0,0,,2

AB b F c A a B b k a ∴=-=-，则过点2F

且与AB 垂直的直线方程为2

x y c =+，设()()1122,,,P x y Q x y ，

由222

22x y c x y c ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去

x 得：22520y c +-=，

则2

12122,55

c y y y y +=-⋅=- 12y y ∴-

=

=

1121211222F PQ S F F y y c ∆∴=⨯-=⨯=225c = ∴椭圆方程为22

15025

x y +=.