浙江工业大学 高等数学(上)期末考试题及答案.

浙江工业大学高等数学(上）期末考试

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分

1. .

（A）（B）（C）（D）不可导.

2. .

（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；

（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.

3. 若，其中在区间上二阶可导且，则（）.

（A）函数必在处取得极大值；

（B）函数必在处取得极小值；

（C）函数在处没有极值，但点为曲线

的拐点；

（D）函数在处没有极值，点也不是曲

线的拐点。

4.

（A）（B）（C）（D）.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. .

6. .

7. .

8. .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 设函数由方程确定，求以

及.

10.

11.

12. 设函数连续，，且

，为常数. 求并讨论在

处的连续性.

13. 求微分方程满足

的解.

四、解答题（本大题10分）

14. 已知上半平面内一曲线，过

点，且曲线上任一点处切线斜率数值

上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面

积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线

及

x轴围成平面图形D.

(1 求D的面积A；(2 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋

转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数在上连续且单调递减，证明对

任意的，.

17. 设函数在上连续，且，

.证明：在内至少存在两个

不同的点，使（提示：设

）

参考答案

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分

1、D

2、A

3、C

4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5. .

6..

7. .

8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9. 解：方程两边求导

，

10. 解：

11. 解：

12. 解：由，知。

，在处连续。

13. 解：

，

四、解答题（本大题10分）

14. 解：由已知且，

将此方程关于求导得

特征方程：解出特征根：

其通解为

代入初始条件，得

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

15. 解：（1）根据题意，先设切点为，切线方程：

由于切线过原点，解出，从而切线方程为：

则平面图形面积

（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16. 证明：

故有：

证毕。

17.

证：构造辅助函数：。其满足在上连续，在

上可导。，且

由题设，有，

有，由积分中值定理，存在，使即

综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在

和，使及，即. 附：

浙江工业大学高等数学A（下）期末试卷

（无答案）

学院：班级：姓名：学号：任课教师：

题号一二三四五六总分

得分

一、填空题（每小题3分）：

1、设，则。

2、，

则。

3、已知则dz= 。

4、函数在闭区域x0，y0，x+y1上的最大值是。

5、若，且当x = 0是z = sin y ；y = 0时，z = sin x,则函数z (x, y= .。

6、积分化为极坐标下的二次积分是。

7、设的外侧，则下列等式正确的是。A、

B、

C、

8、设L为圆周，则。

9、级数的和是。

10、函数展开为麦克劳林级数的收敛半径是。

11、设幂级数的收敛域为（-4，2），则幂级数的收敛区间是（不讨论端点）。

二、试解下列各题（每小题6分）：

1、一平面过A（1，1，1）和B（0，1，-1），且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程。

2、设，其中是二次可微函数，求：

3、求曲线在点（1，1，1）处的切线及法平面方程。

三、试解下列各题（每小题6分）：

1、求，其中D是由直线y=x，x=2及曲线xy=1所围成的闭区域。

2、设L是正方形的正向边界，求。

3、求，其中是球面的外侧。

四、试解下列各题（每小题4分）：

1、判别级数的收敛性。

2、判别级数的收敛性。

3、设是单调增加的正数列，且游街，证明：级数收敛。

五、（12分）求曲面和z = 0 所围成空间体的体积V和表面S。

六、（7分）求两直线与之间的最短距离。