利用单调性证明数列不等式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ｃ— Ｐ ｌ — Ｐ
ＮＩ Ｅ ａ ． ＝
ｃ—Ｐ
＋ 一 旦
Ｐ ～．
： ＋ ÷ ’ － ， ｎ Ｎ ∈ Ｎ ；
： ＋
—
—Ｐ ／ ｌ
Ｐ ｌ —Ｐ
推广 ２已 知数列 ｛ ａ ｝ 满足 ａ １ ＝ ａ ，且ａ ｎ ＋ ： Ｐ ａ ｎ
＋ ｑ ｃ ” ＋ ｒ ，ｒ ｔ ∈ Ｎ ，其中Ｃ ， Ｐ， ｑ ， ， 都为非零常数 ，求
再 令 ＝ 等， 得 （ ｎ ＋ ｌ 一 ） ＞ ｌ ｎ ，
・
． ．
（ Ⅲ ） 证明： １ ＋ １ ＋ 一 １ ＋ ． ． ・ ＋ － １ ＞
筒析 （ Ｉ ） 、（ Ｉ Ｉ ）略；
（ Ｉ Ｉ Ｉ ）构造 数列 ｛ ａ ｝ ，
＋
（ ） ．
１ ｎ （ ＋ １ ） ＋ ２ ｆ
再 利 用 ｝ 的单 调性 来证 明不 等式 ．
ｒ 一 １ —１ ｎ ． ２ ｒ ＋ ２ １ ２ ＋Ｉ ＋２ ＋ｌ
：
，然 后
由 （ Ⅱ ） 知，当 ≥ １ 时 （ ） ＞ Ｉ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋ 。 。 ） 上恒
成立 ，令 ： ，有 （ ） ： １
当日 ≠ 旦 ＋ ÷ 时，
Ｃ— Ｐ ｌ — Ｐ
＋ ＋ 一 ・
数列｛ ａ ｝ 的通项公式．
探究 这个 问题 亦然通 过待定系数直接整体代 换化为等比数列来解决 ，但 由于增加了一个常数 ， 使运算和推理变得更加复杂 ．经探究得下列结论 ，
过 程较 长 略 ．
值 得 指 出 的是 以上 两个 推 广 问题 ， 由于 形 式 的 复 杂性 ，难 以 用数学 归纳 法来 探究 获得 其通 项公 式 ， 构 造 化 归和 差 分 迭加 是 解 决 问题 的通 法 ． 由前 面 的 探 究 可 以看 出 ，探 究 递推 数列 的通 项 问题可 使 学 生
对ｆ （ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不等式 ，若 ｆ （ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是和式
从而 口 川一
一
ｎ ＋ｌ
表 达 式 ，则 可 构 造 数 列 ａ ＝ｆ （ ｎ ） 一 ｇ （ ｎ ）；若 ＿ 厂 （ ） 或 ｇ （ ） 是 积 式表 达 式 ，则可 构造 数 列 ：
（ １ ）若 Ｐ＝ｃ 且 Ｐ≠ｌ ，
贝 ０ ＝ ［ 口 ＋ （ 一 １ ） ｇ ］ ｐ 一 十
（ ３ ）若 Ｐ＝１ 且Ｃ ≠１ ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；
加深对等差、等比数列等知识 的理解 ，增强类 比迁 移能力和推理论证能力 ，培养探究精神和创新意识 ．
参 考文 献 ［ １ ］ 单蹲 ．数 列 与数 学归 纳法 ．上 海科技 教 育出版 社 ，２ ０ ０ ９ ［ ２ 】 赵银 仓 ． 善 用思维 策 略 ， 发 展创 新意 识 ． 中学 数学 （ 高 中版 ） ， ２ ０ １ ２（ ４ ）
Ｄ １
．
Ｄ ２
…． ． ．
所 以
方程为 Ｙ： 一１ ．
３ ÷
＞ 而．
＞ √ 成立 ．
简析 （ １ ）略；
（ ２ ） 由题意 有 ＝２ ，进 而 得 到 ＝２ ｎ，故
例 ２ （ ２ ０ １ ０年高考湖北卷 ・ 理 ２ １ ）已知函数
ｆ （ ｘ ） ＝ ＋ ＋ ｃ ＞０ ） 的 图象在 点 （ １ ， ｌ 厂 （ １ ） ） 处 的切 线
５ ７ … 所证不等式 即为 三… … Ｉ
２ ４
√ ＞ ＋ ，
，
（ Ｉ ） 用ａ 表示出ｂ ， ｃ ；
３ ６
福建中学数学
２ ０ １ ３ 年第 ３ 期
（ Ⅱ） 若ｆ （ ｘ ） ＞ Ｉ ｎ ｘ 在『 １ ， ＋ ∞ ） 上恒成立，求ａ 的取
值范围；
（ １ ）求 ｒ 的值 ；
故ａ ＞ａ ｎ ，即数列 ｛ ａ ｎ ｝ 单调递 增 ， 又口 ＝ ５ ４ ７＞ １，
＝ ３
＞ ｌ，
（ ２ ）当 ｂ ＝２时 ，记 ＝２ （ １ ｏ ｇ ２ ａ ｎ ＋ １ ） （ ∈ Ｎ＋ ） ，
证 明： 对任意的 ∈ Ｎ ＋， 不等式
４ ６ — ４ ８
（ ２ ） 若Ｐ ＝ ｃ ＝ １ ， 则ａ ｎ ＝ ａ ＋ （ ｎ － １ ） （ ｑ ＋ ｒ １ ；
利用单调性 证 明数列不等式
黄俊 峰 袁方程 湖北省大冶市第一中学 （ ４ ３ ５ １ ０ ０ ） 与数列有 关的数列不等式问题 ，一直是高考 的 热点 ，也是学生学习的难 点 ．本文通过两道高考试
题来 介 绍证 明证 明这 类数 列不 等 式 的方法 和策 略 ．
构 造 数 使 ＝ 丽 １ 蔷 一 ，
Ｊ ） ］ ｋ ￣ａ ｎ ＋ ｌ ＝ ４ ｎ ＋ ２ ・ ２ ｎ ＋ ３ ＝ 丽
２ ｎ＋３
２ ｎ ＋ ３
例 １（ ２ ０ ０ ９ 年高考山东卷 ・ 理２ Ｏ ） 等比数列 ｛ ａ ｝ 的前 项和为 ， 已知对任意 的１ ７ ∈ Ｎ ＋， 点（ ， ａ ｎ ） ， 均在函数 Ｙ＝ ｂ ＋ ｒ （ ｂ ＞ ０ 且ｂ ≠ １ ， ｂ ， ， ． 均为常数） 的图 象上．
门＋１ １
一 ｌ ｎ （ ” ＋ ２ ）
Ｉ ｎ （ ＋ ２ 、 ＋竺 ± ！
．
２ （ ＋２ ）
÷ｌ ｎ （ 川） 一 ｎ，
＋ｌ ｎ （ 肼 １ ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ 肼 ２ ）
Ｉ 十 ¨
故・ ＋ ＋
一 十 １ ＞１ ｎ （ 川
（ ＞１ ）
．
２ ０ １ ３ 年第 ３ 期
福建 中学数学
３ ５
ｅ Ｐ ｂ ， ＝ ｘ ＋ （ ６ ｌ — ） 【 詈 】 ＝ ＋ ｑ ｃ Ｉ （ ｅ ｌ ．
／
￣ Ｊ ｌ ａ ｎ ＝ ａ Ｉ ＋
＋
；
（ ４ ） 若ｐ ≠ ｃ 且ｐ ≠ Ｉ ， 贝 ０ 当日 ＝ — 里 ＿ ｃ 一 ＋ ÷ 时，
ＮＩ Ｅ ａ ． ＝
ｃ—Ｐ
＋ 一 旦
Ｐ ～．
： ＋ ÷ ’ － ， ｎ Ｎ ∈ Ｎ ；
： ＋
—
—Ｐ ／ ｌ
Ｐ ｌ —Ｐ
推广 ２已 知数列 ｛ ａ ｝ 满足 ａ １ ＝ ａ ，且ａ ｎ ＋ ： Ｐ ａ ｎ
＋ ｑ ｃ ” ＋ ｒ ，ｒ ｔ ∈ Ｎ ，其中Ｃ ， Ｐ， ｑ ， ， 都为非零常数 ，求
再 令 ＝ 等， 得 （ ｎ ＋ ｌ 一 ） ＞ ｌ ｎ ，
・
． ．
（ Ⅲ ） 证明： １ ＋ １ ＋ 一 １ ＋ ． ． ・ ＋ － １ ＞
筒析 （ Ｉ ） 、（ Ｉ Ｉ ）略；
（ Ｉ Ｉ Ｉ ）构造 数列 ｛ ａ ｝ ，
＋
（ ） ．
１ ｎ （ ＋ １ ） ＋ ２ ｆ
再 利 用 ｝ 的单 调性 来证 明不 等式 ．
ｒ 一 １ —１ ｎ ． ２ ｒ ＋ ２ １ ２ ＋Ｉ ＋２ ＋ｌ
：
，然 后
由 （ Ⅱ ） 知，当 ≥ １ 时 （ ） ＞ Ｉ ｎ ｘ 在［ １ ， ＋ 。 。 ） 上恒
成立 ，令 ： ，有 （ ） ： １
当日 ≠ 旦 ＋ ÷ 时，
Ｃ— Ｐ ｌ — Ｐ
＋ ＋ 一 ・
数列｛ ａ ｝ 的通项公式．
探究 这个 问题 亦然通 过待定系数直接整体代 换化为等比数列来解决 ，但 由于增加了一个常数 ， 使运算和推理变得更加复杂 ．经探究得下列结论 ，
过 程较 长 略 ．
值 得 指 出 的是 以上 两个 推 广 问题 ， 由于 形 式 的 复 杂性 ，难 以 用数学 归纳 法来 探究 获得 其通 项公 式 ， 构 造 化 归和 差 分 迭加 是 解 决 问题 的通 法 ． 由前 面 的 探 究 可 以看 出 ，探 究 递推 数列 的通 项 问题可 使 学 生
对ｆ （ ｎ ） ＞ ｇ （ ｎ ） 型不等式 ，若 ｆ （ ｎ ） 或ｇ （ ｎ ） 是和式
从而 口 川一
一
ｎ ＋ｌ
表 达 式 ，则 可 构 造 数 列 ａ ＝ｆ （ ｎ ） 一 ｇ （ ｎ ）；若 ＿ 厂 （ ） 或 ｇ （ ） 是 积 式表 达 式 ，则可 构造 数 列 ：
（ １ ）若 Ｐ＝ｃ 且 Ｐ≠ｌ ，
贝 ０ ＝ ［ 口 ＋ （ 一 １ ） ｇ ］ ｐ 一 十
（ ３ ）若 Ｐ＝１ 且Ｃ ≠１ ，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
；
加深对等差、等比数列等知识 的理解 ，增强类 比迁 移能力和推理论证能力 ，培养探究精神和创新意识 ．
参 考文 献 ［ １ ］ 单蹲 ．数 列 与数 学归 纳法 ．上 海科技 教 育出版 社 ，２ ０ ０ ９ ［ ２ 】 赵银 仓 ． 善 用思维 策 略 ， 发 展创 新意 识 ． 中学 数学 （ 高 中版 ） ， ２ ０ １ ２（ ４ ）
Ｄ １
．
Ｄ ２
…． ． ．
所 以
方程为 Ｙ： 一１ ．
３ ÷
＞ 而．
＞ √ 成立 ．
简析 （ １ ）略；
（ ２ ） 由题意 有 ＝２ ，进 而 得 到 ＝２ ｎ，故
例 ２ （ ２ ０ １ ０年高考湖北卷 ・ 理 ２ １ ）已知函数
ｆ （ ｘ ） ＝ ＋ ＋ ｃ ＞０ ） 的 图象在 点 （ １ ， ｌ 厂 （ １ ） ） 处 的切 线
５ ７ … 所证不等式 即为 三… … Ｉ
２ ４
√ ＞ ＋ ，
，
（ Ｉ ） 用ａ 表示出ｂ ， ｃ ；
３ ６
福建中学数学
２ ０ １ ３ 年第 ３ 期
（ Ⅱ） 若ｆ （ ｘ ） ＞ Ｉ ｎ ｘ 在『 １ ， ＋ ∞ ） 上恒成立，求ａ 的取
值范围；
（ １ ）求 ｒ 的值 ；
故ａ ＞ａ ｎ ，即数列 ｛ ａ ｎ ｝ 单调递 增 ， 又口 ＝ ５ ４ ７＞ １，
＝ ３
＞ ｌ，
（ ２ ）当 ｂ ＝２时 ，记 ＝２ （ １ ｏ ｇ ２ ａ ｎ ＋ １ ） （ ∈ Ｎ＋ ） ，
证 明： 对任意的 ∈ Ｎ ＋， 不等式
４ ６ — ４ ８
（ ２ ） 若Ｐ ＝ ｃ ＝ １ ， 则ａ ｎ ＝ ａ ＋ （ ｎ － １ ） （ ｑ ＋ ｒ １ ；
利用单调性 证 明数列不等式
黄俊 峰 袁方程 湖北省大冶市第一中学 （ ４ ３ ５ １ ０ ０ ） 与数列有 关的数列不等式问题 ，一直是高考 的 热点 ，也是学生学习的难 点 ．本文通过两道高考试
题来 介 绍证 明证 明这 类数 列不 等 式 的方法 和策 略 ．
构 造 数 使 ＝ 丽 １ 蔷 一 ，
Ｊ ） ］ ｋ ￣ａ ｎ ＋ ｌ ＝ ４ ｎ ＋ ２ ・ ２ ｎ ＋ ３ ＝ 丽
２ ｎ＋３
２ ｎ ＋ ３
例 １（ ２ ０ ０ ９ 年高考山东卷 ・ 理２ Ｏ ） 等比数列 ｛ ａ ｝ 的前 项和为 ， 已知对任意 的１ ７ ∈ Ｎ ＋， 点（ ， ａ ｎ ） ， 均在函数 Ｙ＝ ｂ ＋ ｒ （ ｂ ＞ ０ 且ｂ ≠ １ ， ｂ ， ， ． 均为常数） 的图 象上．
门＋１ １
一 ｌ ｎ （ ” ＋ ２ ）
Ｉ ｎ （ ＋ ２ 、 ＋竺 ± ！
．
２ （ ＋２ ）
÷ｌ ｎ （ 川） 一 ｎ，
＋ｌ ｎ （ 肼 １ ） ＋ ＿ ｌ ｎ （ 肼 ２ ）
Ｉ 十 ¨
故・ ＋ ＋
一 十 １ ＞１ ｎ （ 川
（ ＞１ ）
．
２ ０ １ ３ 年第 ３ 期
福建 中学数学
３ ５
ｅ Ｐ ｂ ， ＝ ｘ ＋ （ ６ ｌ — ） 【 詈 】 ＝ ＋ ｑ ｃ Ｉ （ ｅ ｌ ．
／
￣ Ｊ ｌ ａ ｎ ＝ ａ Ｉ ＋
＋
；
（ ４ ） 若ｐ ≠ ｃ 且ｐ ≠ Ｉ ， 贝 ０ 当日 ＝ — 里 ＿ ｃ 一 ＋ ÷ 时，