数学分析 散度定理
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为了求边界的法向, 我们先讨论 Rn 中的叉乘运算, 它是 R3 中叉乘运算的推广.
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
w ·w 0
0 v i · v j (n−1)×(n−1)
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
当{v i }ni=−11 线性无关时, 利用 w 2 = (w ) 以及 v i · w = 0 可得
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
6.6 Gauss-Green 公式
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘;
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向;
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向; 散度定理;
∆f = div(∇f ) = i=1 ∂xi2 , 如果 ∆f = 0, 则称 f 为 Ω 中的调和函数.
例如, 记 r = x , 则 ln r 是 R2 \ {0} 中的调和函数; n ≥ 3 时 r 2−n 是 Rn \ {0} 中的调和函数.
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
由 的定义易见 (v i ) = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1). 这说明 w 的确与 vi 都正交. 我们称 w 是 v 1, · · · , v n−1 的叉乘, 记为
w = v 1 × · · · × v n−1.
w = v 1 × · · · × v n−1.
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
由 的定义易见 (v i ) = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1). 这说明 w 的确与 vi 都正交. 我们称 w 是 v 1, · · · , v n−1 的叉乘, 记为
为此, 将坐标映射 ϕ(u) 限制在 Rn−1 上, 记 N = ϕu1 × · · · × ϕun−1, 再记 n = (−1)nN/ N , n 是边界的单位法向, 我们只要说明 n 是外法向即可.
事实上, 由于 ϕ 将上半欧氏空间映到 Ω 中, 在边界上向量 ϕun 方向必定朝内. 根 据叉乘的性质,
, ·
ϕi , · · · , ϕn · , un−1)
)
du1
·
· · dun−1
= (−1)n
X (ϕ) · N du1 · · · dun−1
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n N du1 · · · dun−1
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
(−ϕun ) · (−1)nN = (−1)n−1ϕun · ϕu1 × · · · × ϕun−1 = det Jϕ > 0,
这说明 n 的方向的确朝外.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n dσ
B∩Rn−1
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
∆f = div(∇f ) = i=1 ∂xi2 , 如果 ∆f = 0, 则称 f 为 Ω 中的调和函数.
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
i =1
此时 dη = div(X ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn, 其中 divX =
n i =1
∂fi ∂xi
,
称为
X
的散度.
定理 1 (散度定理) 设 Ω 为 Rn 中的正则区域, X 为 Ω¯ 中的 C1 向量场, 则
divX dx = X · n dσ,
Ω
∂Ω
其中 dx 是 Rn 的体积元, n 是边界的单位外法向, dσ 是边界的面积元.
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.
为此, 将坐标映射 ϕ(u) 限制在 Rn−1 上, 记 N = ϕu1 × · · · × ϕun−1, 再记 n = (−1)nN/ N , n 是边界的单位法向, 我们只要说明 n 是外法向即可.
n i =1∂fi ∂xi,源自称为X的散度.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
设 X = (f1, · · · , fn) 为 C1 向量场, 它决定了 (n − 1)−形式
n
η = (−1)i−1fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向. 如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
当{v i }ni=−11 线性无关时, 利用 w 2 = (w ) 以及 v i · w = 0 可得
w w
w
4 = det
v1 ...
v1 ...
v n−1
v n−1
= det
= w 2 det v i · v j (n−1)×(n−1),
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
x1 · · · xn
(x) =
v11 ...
··· ...
vn1 ... .
v1n−1 · · · vnn−1
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
设 X = (f1, · · · , fn) 为 C1 向量场, 它决定了 (n − 1)−形式
n
η = (−1)i−1fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,
i =1
此时 dη = div(X ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn, 其中 divX =
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
叉乘有一些简单性质, 如 {v i } 线性相关当且仅当它们的叉乘为零; 叉乘关于每 一个向量都是线性的; 叉乘关于每一对向量都具有反交换性.
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
为了求边界的法向, 我们先讨论 Rn 中的叉乘运算, 它是 R3 中叉乘运算的推广.
在 Rn 中给定 n − 1 个向量 v 1, · · · , v n−1, 我们要构造另一向量 w , 使得 w 与 v i = (v1i , · · · , vni ) (1 ≤ i ≤ n − 1) 均正交. 为此, 考虑线性函数 : Rn → R:
w w
w
4 = det
v1 ...
v1 ...
v n−1
v n−1
= det
= w 2 det v i · v j (n−1)×(n−1),
w ·w 0
0 v i · v j (n−1)×(n−1)
这说明 w 2 = det v i · v j (n−1)×(n−1).
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
散度定理
证明. 只要在坐标邻域中证明等式右端等于 (−1)n ∂Ω η 即可. 设坐标映射为 ϕ(u) 它在边 界上的限制记为 ψ(u). 按照第二型曲面积分的定义, 利用叉乘的定义和性质可得
(−1)n
η = (−1)n
∂Ω
B∩Rn−1
i
n =1
(−1)i
−1fi
(ϕ)
∂(ϕ1, · · · ∂(u1, ·
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向; 散度定理; 调和函数.
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
w ·w 0
0 v i · v j (n−1)×(n−1)
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
当{v i }ni=−11 线性无关时, 利用 w 2 = (w ) 以及 v i · w = 0 可得
数学分析(二): 多元微积分
梅加强 副教授 南京大学数学系
内容提要:
6.6 Gauss-Green 公式
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘;
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向;
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向; 散度定理;
∆f = div(∇f ) = i=1 ∂xi2 , 如果 ∆f = 0, 则称 f 为 Ω 中的调和函数.
例如, 记 r = x , 则 ln r 是 R2 \ {0} 中的调和函数; n ≥ 3 时 r 2−n 是 Rn \ {0} 中的调和函数.
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
由 的定义易见 (v i ) = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1). 这说明 w 的确与 vi 都正交. 我们称 w 是 v 1, · · · , v n−1 的叉乘, 记为
w = v 1 × · · · × v n−1.
w = v 1 × · · · × v n−1.
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
由 的定义易见 (v i ) = 0 (1 ≤ i ≤ n − 1). 这说明 w 的确与 vi 都正交. 我们称 w 是 v 1, · · · , v n−1 的叉乘, 记为
为此, 将坐标映射 ϕ(u) 限制在 Rn−1 上, 记 N = ϕu1 × · · · × ϕun−1, 再记 n = (−1)nN/ N , n 是边界的单位法向, 我们只要说明 n 是外法向即可.
事实上, 由于 ϕ 将上半欧氏空间映到 Ω 中, 在边界上向量 ϕun 方向必定朝内. 根 据叉乘的性质,
, ·
ϕi , · · · , ϕn · , un−1)
)
du1
·
· · dun−1
= (−1)n
X (ϕ) · N du1 · · · dun−1
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n N du1 · · · dun−1
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n det[(Jψ) Jψ] du1 · · · dun−1
按照行列式的定义可得
v11 · · · vi1−1 vi1+1 · · · vn1
wi = (−1)i−1 ... . . . ...
... . . . ... , i = 1, · · · , n. (1)
v1n−1 · · · vin−−11 vin+−11 · · · vnn−1
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
(−ϕun ) · (−1)nN = (−1)n−1ϕun · ϕu1 × · · · × ϕun−1 = det Jϕ > 0,
这说明 n 的方向的确朝外.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
B∩Rn−1
=
X (ϕ) · n dσ
B∩Rn−1
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
∆f = div(∇f ) = i=1 ∂xi2 , 如果 ∆f = 0, 则称 f 为 Ω 中的调和函数.
调和函数
设 Ω 为 Rn 中的开集, f 为 Ω 中的 C2 函数. 记 n ∂2f
i =1
此时 dη = div(X ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn, 其中 divX =
n i =1
∂fi ∂xi
,
称为
X
的散度.
定理 1 (散度定理) 设 Ω 为 Rn 中的正则区域, X 为 Ω¯ 中的 C1 向量场, 则
divX dx = X · n dσ,
Ω
∂Ω
其中 dx 是 Rn 的体积元, n 是边界的单位外法向, dσ 是边界的面积元.
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.
为此, 将坐标映射 ϕ(u) 限制在 Rn−1 上, 记 N = ϕu1 × · · · × ϕun−1, 再记 n = (−1)nN/ N , n 是边界的单位法向, 我们只要说明 n 是外法向即可.
n i =1∂fi ∂xi,源自称为X的散度.
散度定理
利用单位外法向, 可以将 Gauss-Green 公式改写成所谓的散度定理. 先引进欧 氏空间中向量场的散度.
设 X = (f1, · · · , fn) 为 C1 向量场, 它决定了 (n − 1)−形式
n
η = (−1)i−1fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向. 如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
当{v i }ni=−11 线性无关时, 利用 w 2 = (w ) 以及 v i · w = 0 可得
w w
w
4 = det
v1 ...
v1 ...
v n−1
v n−1
= det
= w 2 det v i · v j (n−1)×(n−1),
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
x1 · · · xn
(x) =
v11 ...
··· ...
vn1 ... .
v1n−1 · · · vnn−1
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
叉乘回顾
线性函数 可以表示为 (x) = x · w, 其中 w = (w1, · · · , wn).
设 X = (f1, · · · , fn) 为 C1 向量场, 它决定了 (n − 1)−形式
n
η = (−1)i−1fi dx1 ∧ · · · ∧ dxi−1 ∧ dxi+1 ∧ · · · ∧ dxn,
i =1
此时 dη = div(X ) dx1 ∧ · · · ∧ dxn, 其中 divX =
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
事实上, 当{v i }in=−11 线性相关时 w = 0, det v i · v j (n−1)×(n−1) = 0;
叉乘有一些简单性质, 如 {v i } 线性相关当且仅当它们的叉乘为零; 叉乘关于每 一个向量都是线性的; 叉乘关于每一对向量都具有反交换性.
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
=
det
vi · vj
(n−1)×(n−1)
1/2
.
叉乘的范数
断言:
v 1 × · · · × v n−1
为了求边界的法向, 我们先讨论 Rn 中的叉乘运算, 它是 R3 中叉乘运算的推广.
在 Rn 中给定 n − 1 个向量 v 1, · · · , v n−1, 我们要构造另一向量 w , 使得 w 与 v i = (v1i , · · · , vni ) (1 ≤ i ≤ n − 1) 均正交. 为此, 考虑线性函数 : Rn → R:
w w
w
4 = det
v1 ...
v1 ...
v n−1
v n−1
= det
= w 2 det v i · v j (n−1)×(n−1),
w ·w 0
0 v i · v j (n−1)×(n−1)
这说明 w 2 = det v i · v j (n−1)×(n−1).
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
如果在边界上采取所谓的诱导定向就不会出现 (−1)n. 诱导定向用边界的外法 向表示比较方便.
散度定理
证明. 只要在坐标邻域中证明等式右端等于 (−1)n ∂Ω η 即可. 设坐标映射为 ϕ(u) 它在边 界上的限制记为 ψ(u). 按照第二型曲面积分的定义, 利用叉乘的定义和性质可得
(−1)n
η = (−1)n
∂Ω
B∩Rn−1
i
n =1
(−1)i
−1fi
(ϕ)
∂(ϕ1, · · · ∂(u1, ·
6.6 Gauss-Green 公式
内容提要: 欧氏空间中的叉乘; 诱导定向; 散度定理; 调和函数.
Gauss-Green 公式中的符号
在 Gauss-Green 公式右边有一个符号 (−1)n, 这是因为我们在正则区域边界上 采取的是由坐标映射限制在 Rn−1 = ∂Rn+ 给出的参数表示所代表的定向.
诱导定向
设 Ω ⊂ Rn 为正则区域, ψ(v ) 为边界的一个局部参数表示, 则切向量 ψv1, · · · , ψvn−1 的叉乘是法向量, 若此法向量是外法向量, 则称 ψ(v ) 给出边界 的诱导定向.
我们来说明, 若边界的参数表示由坐标映射给出, 则当 n 为偶数时, 此参数与诱 导定向一致; 当n 为奇数时, 此参数与诱导定向相反.