《固体物理》课件PPT 20 有效质量

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§7.2 在恒定电场作用下电子的运动
一维紧束缚近似： Ei k i J0 2J1 cos ka
i：某原子能级
设J1 > 0，则k＝0点为能带底；k＝/a为能带顶
电子速度： 有效质量：
v k 1 dE 2aJ1 sin ka
dk
2
2
m
d2E dk 2
在有电场存在时，由于不同材料中电子在能带中的 填充情况不同，对电场的响应也不同，导电能力也各不 相同。
一、满带、导带和近满带中电子的导电能力，空穴概念
❖ 满 带：能带中所有的能态均已被电子所填满
❖ 导 带：能带中只有部分能态填有电子，而其余 的能态为没有电子填充的空态
❖ 近满带：能带的绝大部分能态已填有电子，只有 少数能态是空的
dv dt
m
F外 m
即
dv F外 dt m
其中
m
F外 F外 F晶
Hale Waihona Puke m——电子有效质量
有效质量包含了周期场的影响，所以，有效质量 有别于电子的惯性质量。
对于自由电子：F晶＝0，所以，m*＝m。
周期场中的电子已不是自由电子，它在运动过程中 总是受到周期场的作用，即F晶0。我们只是为了讨论 电子运动的方便，在形式上把它看成一个“自由粒子”， 将周期场的作用归并到有效质量中，而将电子对外场的 响应写成类似于经典牛顿定律的形式。这时，有效质量 在电子运动中所起的作用就类似于粒子质量的作用。这 就是电子的有效质量m*为何与电子的真实质量m可以有 很大差别的物理原因。
1. 满带 满带中电子的对称分布不会因外场的存在而改变，
所以不产生宏观电流，I＝0。 2. 导带
在外电场的作用下，导带中电子的对称分布被破坏， 产生宏观电流，I 0 。
3. 近满带和空穴
在有外场时，由于近满带中仍有少量没有电子占据 的空态，所以在外场的作用下，电子也会发生能级跃迁， 导致电子的不对称分布，所以， I0。
四、有效质量的物理解释
电子的真实动量： p mv
一维情况下：
牛顿定律：
m
dv dt
F合
F外＋F晶
F外：外场对电子的作用力 F晶：周期场即晶格对电子的作用力，称为晶格力
由于周期场对电子的作用力（晶格力）比较复杂， 并且往往事先不能知道，而且晶格对电子的作用是量子 效应，是不能用经典的方法来处理。
m
假设近满带中有一个k态中没有电子，设I(k)为这 种情况下整个近满带的总电流。设想在空的k态中填入 一个电子，这个电子对电流的贡献为－ev(k)。但由于 填入这个电子后，能带变为满带，因此总电流为0。
2a2J1 cos ka
在能带底k=0和能带顶k=/a处，电子速度v(k)=0； 在k=/2a处， v(k)分别为极大和极小；而m* 。
一、在k空间中的运动图象
设沿－x方向加一恒定电场，电子受力：F=e 沿+x方向
由
dk e
dt
dk e const. dt
这表明电子在k空间中的运动是匀速的。
有效质量是一个很重要的概念，它把晶体中电子准 经典运动的加速度与外力联系起来。
❖ 有效质量中包含了周期场对电子的作用。在一般情况下， 有效质量是一个张量，在特殊情况下可以退化为标量。
❖ 有效质量不仅可以取正，也可以取负，在能带底附近 （E(k)极小），有效质量总是正的；而在能带顶附近 （ E(k)极大）， 有效质量总是负的。
在准经典运动中，电子在同一能带中运动。电子在k 空间中的匀速运动意味着电子的能量本征值沿E(k)函数曲 线周期性变化，即电子在k空间中做循环运动。
电子在k空间中的循环运动，表现在电子速度上是v随 时间作周期性振荡。
二、在实空间中的运动图象
E
=0
E
x
x
附加电势能： e x
e x
电子速度的周期性振荡也就是电子在实空间中的振荡。
满足要求所需加的电场： 104 105 V/cm 对金属：无法实现高电场
对绝缘体：将被击穿
❖ 在准经典运动中，当电子运动到能隙时，将全部被 反射回来。而根据量子力学，电子遇到势垒时，将 有一定概率穿透势垒，而部分被反射回来。电子穿 透势垒的几率与势垒的高度（即能隙Eg）和势垒的 长度（由外场决定）有关。
有效质量m*既可以小于m，也可以大于m，甚至还 可以为负值。这都取决于晶格力的大小与方向，即周期
场对电子运动的影响。这种影响主要通过在布里渊区边
界附近发生Bragg反射，而在电子与晶格之间交换动量 这种形式反映出来的。
在能带底：电子的能量取极小值，
d 2E dk 2 0
电子从外场所获得的动量大于电子交给晶格的动量， 因而表现为具有正的有效质量m*> 0；
A BC
❖ 由于电子在运动过程中不断受到声子、杂质和缺陷的 散射，上述的振荡现象实际上很难观察到。若相邻两 次散射（碰撞）间的平均时间间隔τ很小，电子还来 不及完成一次振荡过程就已被散射。
电子振荡周期： T
简约区的宽度 电子在k空间的速度
2 e
a
e a
为了观察到电子振荡的全过程，要求 T 在晶体中： 10－12－10－13 s，a 3×10－10 m
在能带顶：
d 2E dk 2
0
电子从外场所获得的动量小于它交给晶格的动量，因而 表现为具有负的有效质量m*< 0。
由于在能带底
d 2E dk 2 0
，而在能带顶
d 2E dk 2 0
在能带中的某处必有一拐点，
d 2E dk 2 0
在拐点处，F外＝－F晶，所以m*。
当F外>－F晶时，m*> 0；而当F外<－F晶时，m*< 0。
穿透概率
εexp
－
2
Eg
e
2mEg
§7.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释
在k空间中，对于同一能带有 En k En k
对于同一能带，处于k态和处于－k态的电子具有 大小相等方向相反的速度。
v
k
1
k
En
k
v
k
1
k
En
k
1
k
En
k
v
k
当没有外加电场时，在一定温度下，电子占据k态 和－k态的概率相同，这两态的电子对电流的贡献相互 抵消。所以，无宏观电流I＝0。
由于F外只是外场对电子的作用力，它并不是电子所
受的合外力，因此， k 并不是电子的真实动量，而是
电子的准动量就不难理解了。
在讨论晶体中电子的准经典运动时， k 是一个很
有用的量，它往往比电子的真实动量mv更有用。这是因 为在k空间中去理解电子的运动往往比在真实空间中更容 易。
电子的有效质量和电子的准动量是两个人为引入的物 理量，至少我们可以在形式上不必考虑晶格力，而只考虑 外场力对电子运动的影响。