不等式的性质1

课题：9.1.2 不等式的基本性质

教学目标：

(1)经历探索不等式的性质的过程，理解、认识不等式的性质；

(2)会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；

(3)在等式性质与不等式性质的转换过程中，渗透类比的学习方法；

(4)通过分组探究活动，让学生体会在解决问题过程中与他人合作的重要性，积累数学活动经验．

学习重点与难点：

重点: 探索不等式的性质.

难点: 不等式性质3的探索与运用．

教学辅助：导学案

教学过程：

环节1——复习引入课题

问题：解方程1-2x=1？

师：前面学习方程的相关概念后学习了一元一次方程的解法。首先解方程的目标是什么？生：得到未知数的值，也就是将方程转化为“x=a”的形式。

师：“x=a”这种形式的本质是等号左边只含未知的项，右边是不含未知数的项。如何解这个方程？

生：第一步，移项（注意移项要变号）；第二步，系数化为1。

师：每一步的依据是什么？

生：移项的依据是等式的性质1，系数化为1的依据是等式的性质2。

师：也就是说解方程的依据是等式的形式，那么学习完不等式的相关概念后学习解不等式，解不等式的依据是不等式的性质，这就是我们今天的学习内容（板书—9.1.2不等式的形式）设计意图：以集体提问的方式，对解方程中移项和系数化为1的依据的复习，引出学习的课题。不仅让学生体会到数学的推理或操作是有根据的，而且不等式的性质与等式的性质有很高的相关性，为下面的学生的小组探究活动铺垫。

环节2——小组活动，类比探究

师：等式与不等式有很高的相关性，不等式是否也有类似等式的性质呢？首先回顾用文字语言描述的等式的两个性质。

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.

等式的性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数, 结果仍相等.

师：也可以用符号语言来描述等式的基本性质。(如表1)

师：类比等式基本性质从基本事实到基本性质的探究过程，以小组讨论的形式探究不等式的性质，参照导学案中的材料结合讨论的任务进行讨论。

讨论的任务是：

①类比等式的两个性质，猜想不等式的性质；

②用基本事实验证你的猜想；

③用准确的数学语言概括不等式的性质.

预设学生在讨论的过程出现如下问题：

①等式基本性质1的猜想：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍不相等。

②等式基本性质2的猜想有不等号方向不改变的情况，也有改变的情况，不知如何表达。

③等式基本性质1及其猜想中都提到同一个数或式子，而等式的性质2及其猜想中只有同一个数。

其实这三个问题是相关的，对于①，学生在用（1）—（4）进行验证时，由于不等号的方向始终没有改变，学生很难注意到这一点，但对于②，学生在用（5）—（8）进行验证时会发现当不等式两边乘（除以）同一个正数时，不等号的方向没有改变，当不等式两边乘（除以）同一个负数时，不等号的方向发生改变。因此，自然就能理解了对等式的性质1的猜想中应该将“结果仍不相等”改成更准确的表达“不等号方向不变”，另外对于等式的性质2的猜想需要分成两种情况。

而对于③，其实在等式的性质2中等式两边乘同一式子，除以同一个值不为0的式子，

结果仍是相等的，但是对等式的性质2的猜想中，首先得先确定式子值的正负性，否则是结果就会有三种：不等号不变、不等号改变和相等。因此，在应用不等式的性质2和3时要注意，首先得判定这个数的正负性。

师：我们采用小组汇报的形式将小组讨论的过程及结论进行汇报。最后猜想变成了性质。

表1 不等式的基本性质

设计意图：采用类比猜想→事实验证→合情归纳的研究思路，让学生经历实验科学研究的方法——由特殊到一般的一般归纳法，经历合情推理的合理性。从基本事实到基本性质，虽然没有严谨的演绎推理加以证明，但对于这个阶段的学生而言，是更能接受合情推理的。另外，通过小组讨论，提高学生的学习积极性，让学生体会在解决问题过程中与他人合作的重要性，积累数学活动经验，由小组组长进行汇报，提高组长的组织积极性。对于等式的性质2的猜想采用分类讨论的方法进行，并抓住其中的关键词进行分析，突出了不等式性质3这个难点，深入分析原因并加以验证，突破了难点。

环节3——应用新知，层层推进

分层1：简单应用，口答检查

1.设a ＞b ，用“＞”“＜”填空，并说出你的依据

① 3a 3b ； ② a-8 b-8； ③ -2a -2b ； ④ 2a 2

b ； 设计意图：四个题目覆盖了不等式的3个性质，利用电脑随机点名的方式让学生快速回答并说出依据，让学生体会数学的结论的取得是靠根据的，不是靠猜的。另外，在学生没有掌握这个内容以前，学生会以特殊值代入得到答案，这样的方式始终会让学生觉得数学是不牢固的，通过归纳，从特殊到一般，得到一般性的结论，学生能消除这样的不踏实。 分层2：教师示范，学生操作

2. 例：利用不等式的性质解不等式 x-7>26，并把解集表示在数轴上．

师：什么是解不等式？解不等式的目标是什么？

生：将不等式转化为“x＞a”或“x＜a”的形式。

师：“x＞a”或“x＜a”的形式的本质是不等号左边只含未知的项，右边是不含未知数的项。如何解这个不等式呢？

x-7>26

解：根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号方向不变，所以：

x-7+7>26+7

x>33

将解集在数轴上表示：

O 33

练习：利用不等式的性质解下列不等式，并把解集表示在数轴上。

①2

3

x>50；②-4x>3；③ 3x<2x+1

师：请3位同学黑板板演。

设计意图：例题教学，并设计了应用不等式性质1中两边同时减一个式子、不等式性质2和不等式性质3的7分钟限时训练题，其中设计的难点在第②题和第③题，对于第③题，学生的第一反应可能是两边减1或者直接两边除以3，提示学生不等式的性质1中两边是可以加减一个数或式子的。而第②题，在应用不等式性质3时会忘记改变不等号方向。通过例题教学和练习，让学生发现出现的错误，及时纠正，准确应用不等式的3个性质。并让学生体会到能利用不等式性质解不等式的原因是不等式的基本性质保证了运算中的不变性。

分层3：复合应用，巩固新知

3.利用不等式的性质解不等式：-4x＞3+x

设计意图：这题与练习的第③题类似，不等号两边都含有未知数的项，结合了不等式性质1和不等式性质3的应用。可能会出现学生先利用不等式性质3，再利用性质1的情况，让学生经历这个曲折的过程，对学生找到最优解法未尝不是一件好事。并向学生说明利用不等式的性质1相当于移项，而利用不等式的性质2和3相当于系数化为1。并为下节课学习解一元一次不等式作好铺垫。

分层4：由果追因，从容面对

4.不等式mx＞1的解集为x＜1

m

，则（）

A m＜1

B m＞1

C m＞0

D m＜0

设计意图：已知不等式的解集，反求参数的取值范围，目的让学生从不等号方向的改变，判断不等式的变形的根据是应用了不等式的性质3，从而逆向确定了m是一个负数。

环节4——总结反思