专题1库仑定律与相对论

x
v v
运动电荷的电力线分布
南京师范大学物科院黄晓琴制作
15
库仑定律与相对论
r （磁感应线的方向）既垂直于电荷Q的速 B r 度又垂直于电场 E （电力线的方向）；
y
v E
+q
v B
z
x
运动电荷的磁力线
南京师范大学物科院黄晓琴制作
16
库仑定律与相对论
当电荷Q的运动速度 r r Q r E≈ ⋅ 3 4πε 0 r
′ x= 1 v c − 2 2
γ=
y′ = y
z′ = z
则
′ = x2 +y2 +z′2 = γ2x2 +y2 +z2 ′ ′ r
南京师范大学物科院黄晓琴制作
8
库仑定律与相对论
• 所以S系中观测力可以改写为
Qx q γ F= ⋅ x 2 2 π0 4 ε (γ2x +y +z2)3/2
Qy q γ F= ⋅ y 2 2 4 ε (γ2x +y +z2)3/2 π0
所以，考虑相对论效应时，Q对q的作用力和q 对Q的作用力不满足牛顿第三定律
南京师范大学物科院黄晓琴制作
12
库仑定律与相对论
匀速运动电荷的电场和磁场
设在S 系中源电荷Q以匀速v沿x轴运动， 试验电荷q以任意速度u运动，计算Q作用在q 上的力。 (1) 首先写出在与Q相对静止的 S’系 (以u沿x 轴相对于S系运动)中，静止电荷Q作用于以 速度v运动的电荷q上的库仑力；
(
)
南京师范大学物科院黄晓琴制作
11
库仑定律与相对论
运动电荷在其速度方向产生的电场较小， 而在垂直于运动方向产生的电场较大，电场 不再是球对称分布。 在S系中，Q对q的作用力为 r r γq Qr Fq = Q / 2 2 2 2 32 4 ε γ x +y +z π0
(
)
q对Q的作用力为
v Q v 1 q FQ = ⋅ 3 ⋅(−r) q 4ε r π0
ˆ r12
是q1指向q2的单位长度矢量
南京师范大学物科院黄晓琴制作
2
库仑定律与相对论
围绕库仑定律，讨论如下几个问题： 围绕库仑定律，讨论如下几个问题： (1) 电荷的运动状态对电荷间的作 用力有怎样的影响？ 用力有怎样的影响？ (2) 电荷间的作用力是否满足牛顿 第三定律? 第三定律 (3) 库仑定律的适用范围
电磁学专题——
库仑定律与相对论
南京师范大学物科院黄晓琴制作
库仑定律与相对论
• 库仑定律的表述： 库仑定律的表述： 在真空中，两个静止点电荷之间的相互 作用力的大小，与它们的电量q1和q2的 乘积成正比，与它们之间距离r的平方 成反比。
r 1 q ⋅q ˆ ⋅ 1 22 r2 F= 1 1 2 π0 1 4 ε r2
南京师范大学物科院黄晓琴制作
6
库仑定律与相对论
v r r ′ ′ ′ F + 2 F ⋅u x 1 Qx q′ c F= = ⋅ 3 x r v 4 ε r′ π0 ′ 2 1 u + x c
由 力 的 变 换 公 式 得
γ Q y′ q c2 F= = ⋅ 3 y v 4 ε r′ π0 ′ 2 1 u + x c
v << c 时，γ
≈1
r r r µ0 Qu × r B = ⋅ 4π r3
可见低速运动的电荷的电场近似为静电场。 当
南京师范大学物科院黄晓琴制作
3
库仑定律与相对论
首先用相对论变换讨论运动源电 荷对检验电荷的作用力
南京师范大学物科院黄晓琴制作
4
库仑定律与相对论
图中源电荷Q相对于实验室（ 以速度u沿 图中源电荷Q相对于实验室（S系）以速度 沿 x轴运动，受力电荷 ，相对于实验室静止 轴运动， 轴运动 受力电荷q，相对于实验室静止。 设在t=0时，Q经过S系 的原点，q在S系中的坐 q S 标为（x ，y ，z）建立 一 个 坐 标 系 S’ 随 Q 一 起 沿x轴运动(v=u)，则在S’ 系内Q是静止的，而在S’ 系中q则以 u ′ = −v x 的速度运动。
南京师范大学物科院黄晓琴制作
10
库仑定律与相对论
分析：
若q位于源电荷Q的运动直线上，y=0，z=0 ，
r r 1 Qr 1 q 等于通常库仑力的 倍； F= 2 2 3 γ γ 4 εr π0
若q、Q的连线垂直于Q的运动方向，q的坐 r r Qr γ q 标（0，y，z），F= 为通常 32 / 4 ε y +z2 π0 2 库仑力的 γ 倍。
南京师范大学物科院黄晓琴制作
5
库仑定律与相对论
系中静止Q对运动的 在S’系中静止 对运动的 的作用力为 系中静止 对运动的q的作用力为
1 Qx q′ ′ ⋅ F= x ′3 4ε π0 r 1 Qy q′ ′ F= ⋅ 3 y 4ε r π0 ′
1 Qz q′ ′ F= ⋅ z 4ε π 0 r′3
q γ Q z′ c2 F= = ⋅ 3 z v 4 ε r′ π0 1 u 2 + ′ x c
南京师范大学物科院黄晓琴制作
7
v2 ′ − F 1 y
v2 ′ − F 1 z
库仑定律与相对论
其中
r r r ′ v u u =− =−
x− t v =x γ
1 v2 1 − c2
在S’系中，t=0时观察，q的坐标为
γ Qz q F= ⋅ z 2 2 π0 4 ε (γ2x +y +z2)3/2
南京师范大学物科院黄晓琴制作
9
来自百度文库
库仑定律与相对论
写成矢量式
r F= / 2 2 2 2 32 4 ε γ x +y +z π0
(
r γq Qr
)
上式即为运动的源电荷Q对静止电荷q 的作用力（在S系中），可见力仍在两 者连线的方向上，但大小不再与距离 的平方成正比。
(
)
r Q γ r 其中 E= ⋅ 3 r r′ = γ2x2 +y2 +z2 4 ε r′ π0 r r r r r Q γ v×r v×E B= ⋅ 3⋅ 2 = 2 4 ε r′ c π0 c
南京师范大学物科院黄晓琴制作
14
库仑定律与相对论
讨论： 讨论：
匀速运动的电荷的电场仍然是径向的，但不 是球对称的；
v 1 Q v q ′ F= ⋅ 3 r′ 4ε r π0 ′
南京师范大学物科院黄晓琴制作
13
库仑定律与相对论
(2)利用洛仑兹变换将力变换到S系中得：
r r r r Q q ×(Q ×r) u v γq r γ F= r+ ⋅ 3 2 4 ε r′ π0 4 εc π0 r′3 r r r v r r 将上式改写为 F=F +F =qE+u×B e m