抽样技术-第三章
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2 L 2 h
L
2 ˆ ˆ N W V Yh N h V Yh h1 h1
hL 1
16
2017/7/10
ˆ 的方差为： 性质2：对于分层随机抽样，Y
1 f 2 h ˆ V Y N V yh N Sh nh h1 h1
L 2 h L 2 h
V pst Wh2V ph
h 1
2017/7/10 22
L
性质2：对于分层随机抽样， pst 是P 的无偏估计，
V ph N h nh Ph Qh N h 1 nh
Nh 1 Nh
因而 pst的方差为：
1 V pst Wh2V ph 2 N h1
i 1
2
2 ( y y ) hi h i 1
Nh 1
第 h 层的 总体方差
nh 1
第 h 层的 样本方差
代表的含义
第 h 层的 总体总量
第 h 层的 样本总量
2017/7/10
7
第二节
简单估计量及其性质
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
1 Yst Wh Yh N h 1
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25
分别比估计
定义3.4 总体均值 Y 和总体总量 Y的分别 比估计为：
yRS yh Wh yRh Wh Xh xh h 1 h 1
L L yh yh ˆ Nh X h X h Y Rh x x h 1 h 1 h h 1 h L
L
h
2 h
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
L L 2 h
2017/7/10 14
V yst 的一个无偏估计为： 因此，
nh
h
二、对总体总量的估计
总体总量 Y 的估计为：
ˆ ˆ ˆ Y NYst Y h
2017/7/10
12
性质4：对于分层随机抽样， V yst 的一个 无偏估计为：
L 2 h L 2 h
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
2017/7/10
13
证明性质4：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 机抽样，由第二章性质3,得 V yh 的无偏 估计为： v y 1 f h s 2
1 2 3 4
2017/7/10
19
N1 200 W1 0.07018 N 2850 n1 10 f1 0.05 N1 200
n 1 1 n1 2 2 y1i y1 1624.722 y1 y1i 39.5 s1 n1 1 i 1 n1 i 1
Y 因此，由性质1，有 E y st L
h 1
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样， 对每一层有
E y h Yh
V y st Wh2V y h
1 fh 2 Sh 由第二章性质2，得 V y h nh L L 2 2 1 fh 2 Sh 因此 V yst Wh V yh Wh nh h1 h1
MSE ( yRS ) MSE (Wh yRh ) W MSE ( yRh ) Wh2V ( yRh )
h 1 L
L
V ( yRS )
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W (1 f h ) 2 2 2 (S yh Rh S xh 2Rh h S yh S xh ) nh h 1
L
h 1 2 h
2 h
L
h 1
28
联合比估计
Y
Y
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29
E( yRC ) Y
MSE( yRC ) V ( yRC )
Wh2 (1 f h ) 2 2 (S yh R 2 S xh 2Rh S yh S xh ) nh h 1
L
2017/7/10 30
h
10
st
h 1
h
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性质3：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，
1 fh 2 V yst W V yh W Sh nh h1 h1
L 2 h L 2 h
2017/7/10
11
证明性质3：
L
L
2 Nh N h nh Ph Qh Nh 1 nh h1 L
2 1 N h N h nh Ph Qh 2 Nh nh h 1 N
Wh2 1 f h
2017/7/10
h 1
L
Ph Qh nh
23
V pst 的一个无偏估计为： 性质3：对于分层随机抽样，
fh
nh Nh
第 h 层的 抽样比
wk.baidu.com
Yh
yh
1 nh
公
式
1 Nh
Y
i 1
Nh
hi
y
i 1
nh
hi
代表的含义
2017/7/10
第 h 层的 总体均值
第 h 层的 样本均值
6
记 号
Yh
yh
Nh
2 Sh
nh
2 sh
公 式
Y
i 1
Nh
hi
N hYh
y
i 1
nh
hi
nh yh
(Yhi Yh )
L
ˆ Ny Y RS RS
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定理3.5 对于分层随机抽样的分别比估计， 若各层的样本量 nh 都比较大，则有
E( yRS ) Y
MSE( yRS ) V ( yRS )
Wh2 (1 f h ) 2 2 2 (S yh Rh S xh 2Rh h S yh S xh ) nh h 1
L
如果得到的是分层随机样本，则总体总 量的简单估计为：
h 1
Ny Y st
2017/7/10 15
2.估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 ˆ 是 Y 的无偏估 Yst 是 Y 的无偏估计，则 Y ˆ 的方差为： 计。Y
2 ˆ ˆ ˆ V Y N V Yst V Y h
1
同理，求得：
y2 105
2 s2 2166.667
y3 165
y4 24
2017/7/10
2 s3 8205.556
2 s4 193.333
20
ˆ N y Y h h
h 1
2 2 2 1 fh 2 ˆ v Y N Wh v yh N h sh 5.93 108 nh h 1 h 1
W 2V Y V Y h h st
h1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无 偏的，则对总体的推算也是无偏的。
9
2017/7/10
证明性质1
由于对每一层有
ˆ Y EY h h
L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st h h h h 因此， h1 h1
分别比估计与联合比估计的比较
由于 V ( yRC ) V ( yRS )
Wh2 (1 f h ) 2 2 2 ( R R ) S h xh 2( R Rh ) h S yh S xh nh h 1
sampling ）：如果每层中的抽样都是独立地按照简
单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分层
随机抽样，所得的样本称为分层随机样本
（stratified random sample）。
2017/7/10
4
二、作用
由于每层都进行抽样，这就可使样本在总体中分布 更加均匀，从而具有更好的代表性。 由于抽样在每一层中独立进行，所以一者允许各层 选择不同的适合本层的抽样方法，二则可同时对各 子总体（层）进行参数估计，而不单是对整个总体 的参数进行估计。 由于各层的总体方差因单元之间差异小而肯定小于 整个总体的方差，而抽样精度与此成正比，所以分 层抽样可以提高参数估计的精度。
2017/7/10 5
三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别：
记 号 代表的含义
h
下标
i
下标
Nh
nh
Yhi
yhi
第 h 层的 第 h 层的 第 h 层第 i 个 第 h 层第 i 个
" 第 h 层" " 层内单位号" 单位总数 样本数 总体单元的取值 样本单元取值
记
号
Wh
Nh N
第 h 层的 层权
第三章 分层随机抽样
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 概述 简单估计量及其性质 比率估计量及其性质 回归估计量及其性质 各层样本量的分配 总样本量的确定 分层抽样的其他方面
2017/7/10
1
第一节
概述
2017/7/10
2
2017/7/10
3
定 义 3.3 分 层 随 机 抽 样 （ stratified random
2017/7/10
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性质3：对于分层随机抽样， 无偏估计为：
ˆ VY
的一个
1 f h 2 ˆ v Y N v y h N sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
2017/7/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取 10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 其95%的置信区间。
N 1 f h 2 1 v pst W v ph 2 sh N h1 nh h 1
L 2 h L 2 h
p h qh W 1 f h nh 1 h 1
2 h
L
2017/7/10
24
第三节 比率估计量及其性质
先“比”后“加权”，此时所得的估计量称为 分别比估计（separate ratio estimator） 先 “加权”后“比”，这样所得的估计量称为 联合比估计（combined ratio estimator）
4
4
4
ˆ v Y ˆ 23208 s Y
ˆ ts Y
2017/7/10
ˆ 209650 2 23208 Y
21
三、对总体比例的估计
总体比例P的估计为：pst Wh ph
h 1
L
估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 ph是 Ph 的无偏估计 pst 的方差为： （h 1,2,, L ），则 pst 是 P的无偏估计。
L
2017/7/10 27
证明
根据比估计量的性质，当 nh 比较大时，有
E( yRh ) Yh
(1 f h ) 2 2 2 ( S yh Rh S xh 2 Rh h S yh S xh ) nh
L h 1
MSE( yRh ) V ( yRh )
L h 1
E ( yRS ) Wh E ( yRh ) WhYh Y
L
L
N Y hh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
N
h 1
L
h
yh
8
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估计量的性质
是 Yh 的无 性质1&2：对于一般的分层抽样，如果 Y h 偏估计（ h 1,2, , L ），则 Y 是Y 的无偏估计。 st Yst 的方差为：
L
1 L 1 L Y WhYh N hYh Yh Y N h1 N h1 N h 1 估计量的方差 L L L L 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ,Y ˆ V Yst V WhYh Wh V Yh 2WhWk Cov Y h k h 1 k h h1 h1 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L ˆ W 2V Y ˆ 为0，从而有 V Y
层 居民户 总数
200 400 750 1500
样本户奶制品年消费支出
1 10 50 180 50 2 40 130 260 35 3 0 60 110 15 4 110 80 0 0 5 15 100 140 20 6 10 55 60 30 7 40 160 200 25 8 80 85 180 10 9 90 160 300 30 10 0 170 220 25
L
2 ˆ ˆ N W V Yh N h V Yh h1 h1
hL 1
16
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ˆ 的方差为： 性质2：对于分层随机抽样，Y
1 f 2 h ˆ V Y N V yh N Sh nh h1 h1
L 2 h L 2 h
V pst Wh2V ph
h 1
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L
性质2：对于分层随机抽样， pst 是P 的无偏估计，
V ph N h nh Ph Qh N h 1 nh
Nh 1 Nh
因而 pst的方差为：
1 V pst Wh2V ph 2 N h1
i 1
2
2 ( y y ) hi h i 1
Nh 1
第 h 层的 总体方差
nh 1
第 h 层的 样本方差
代表的含义
第 h 层的 总体总量
第 h 层的 样本总量
2017/7/10
7
第二节
简单估计量及其性质
一、对总体均值的估计 分层样本，总体均值 Y 的估计
1 Yst Wh Yh N h 1
2017/7/10
25
分别比估计
定义3.4 总体均值 Y 和总体总量 Y的分别 比估计为：
yRS yh Wh yRh Wh Xh xh h 1 h 1
L L yh yh ˆ Nh X h X h Y Rh x x h 1 h 1 h h 1 h L
L
h
2 h
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
L L 2 h
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V yst 的一个无偏估计为： 因此，
nh
h
二、对总体总量的估计
总体总量 Y 的估计为：
ˆ ˆ ˆ Y NYst Y h
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12
性质4：对于分层随机抽样， V yst 的一个 无偏估计为：
L 2 h L 2 h
1 fh 2 v y st W v y h W sh nh h 1 h 1
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13
证明性质4：
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随 机抽样，由第二章性质3,得 V yh 的无偏 估计为： v y 1 f h s 2
1 2 3 4
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N1 200 W1 0.07018 N 2850 n1 10 f1 0.05 N1 200
n 1 1 n1 2 2 y1i y1 1624.722 y1 y1i 39.5 s1 n1 1 i 1 n1 i 1
Y 因此，由性质1，有 E y st L
h 1
对于分层随机抽样，各层独立进行简单随机抽样， 对每一层有
E y h Yh
V y st Wh2V y h
1 fh 2 Sh 由第二章性质2，得 V y h nh L L 2 2 1 fh 2 Sh 因此 V yst Wh V yh Wh nh h1 h1
MSE ( yRS ) MSE (Wh yRh ) W MSE ( yRh ) Wh2V ( yRh )
h 1 L
L
V ( yRS )
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W (1 f h ) 2 2 2 (S yh Rh S xh 2Rh h S yh S xh ) nh h 1
L
h 1 2 h
2 h
L
h 1
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联合比估计
Y
Y
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E( yRC ) Y
MSE( yRC ) V ( yRC )
Wh2 (1 f h ) 2 2 (S yh R 2 S xh 2Rh S yh S xh ) nh h 1
L
2017/7/10 30
h
10
st
h 1
h
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性质3：对于分层随机抽样， y st 是 Y y st 的方差为： 的无偏估计，
1 fh 2 V yst W V yh W Sh nh h1 h1
L 2 h L 2 h
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11
证明性质3：
L
L
2 Nh N h nh Ph Qh Nh 1 nh h1 L
2 1 N h N h nh Ph Qh 2 Nh nh h 1 N
Wh2 1 f h
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h 1
L
Ph Qh nh
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V pst 的一个无偏估计为： 性质3：对于分层随机抽样，
fh
nh Nh
第 h 层的 抽样比
wk.baidu.com
Yh
yh
1 nh
公
式
1 Nh
Y
i 1
Nh
hi
y
i 1
nh
hi
代表的含义
2017/7/10
第 h 层的 总体均值
第 h 层的 样本均值
6
记 号
Yh
yh
Nh
2 Sh
nh
2 sh
公 式
Y
i 1
Nh
hi
N hYh
y
i 1
nh
hi
nh yh
(Yhi Yh )
L
ˆ Ny Y RS RS
2017/7/10
26
定理3.5 对于分层随机抽样的分别比估计， 若各层的样本量 nh 都比较大，则有
E( yRS ) Y
MSE( yRS ) V ( yRS )
Wh2 (1 f h ) 2 2 2 (S yh Rh S xh 2Rh h S yh S xh ) nh h 1
L
如果得到的是分层随机样本，则总体总 量的简单估计为：
h 1
Ny Y st
2017/7/10 15
2.估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 ˆ 是 Y 的无偏估 Yst 是 Y 的无偏估计，则 Y ˆ 的方差为： 计。Y
2 ˆ ˆ ˆ V Y N V Yst V Y h
1
同理，求得：
y2 105
2 s2 2166.667
y3 165
y4 24
2017/7/10
2 s3 8205.556
2 s4 193.333
20
ˆ N y Y h h
h 1
2 2 2 1 fh 2 ˆ v Y N Wh v yh N h sh 5.93 108 nh h 1 h 1
W 2V Y V Y h h st
h1
L
只要对各层估计无偏，则总体估计也无偏。
各层可以采用不同的抽样方法，只要相应的估计量是无 偏的，则对总体的推算也是无偏的。
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证明性质1
由于对每一层有
ˆ Y EY h h
L L ˆ ˆ ˆ E Y E W Y W E Y st h h h h 因此， h1 h1
分别比估计与联合比估计的比较
由于 V ( yRC ) V ( yRS )
Wh2 (1 f h ) 2 2 2 ( R R ) S h xh 2( R Rh ) h S yh S xh nh h 1
sampling ）：如果每层中的抽样都是独立地按照简
单随机抽样进行的，那么这样的分层抽样称为分层
随机抽样，所得的样本称为分层随机样本
（stratified random sample）。
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4
二、作用
由于每层都进行抽样，这就可使样本在总体中分布 更加均匀，从而具有更好的代表性。 由于抽样在每一层中独立进行，所以一者允许各层 选择不同的适合本层的抽样方法，二则可同时对各 子总体（层）进行参数估计，而不单是对整个总体 的参数进行估计。 由于各层的总体方差因单元之间差异小而肯定小于 整个总体的方差，而抽样精度与此成正比，所以分 层抽样可以提高参数估计的精度。
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三、符号
所有总体参数的估计量都采用下标“st”以示区别：
记 号 代表的含义
h
下标
i
下标
Nh
nh
Yhi
yhi
第 h 层的 第 h 层的 第 h 层第 i 个 第 h 层第 i 个
" 第 h 层" " 层内单位号" 单位总数 样本数 总体单元的取值 样本单元取值
记
号
Wh
Nh N
第 h 层的 层权
第三章 分层随机抽样
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 概述 简单估计量及其性质 比率估计量及其性质 回归估计量及其性质 各层样本量的分配 总样本量的确定 分层抽样的其他方面
2017/7/10
1
第一节
概述
2017/7/10
2
2017/7/10
3
定 义 3.3 分 层 随 机 抽 样 （ stratified random
2017/7/10
17
性质3：对于分层随机抽样， 无偏估计为：
ˆ VY
的一个
1 f h 2 ˆ v Y N v y h N sh nh h 1 h 1
L 2 h L 2 h
2017/7/10
18
例3.1
调查某地区的居民奶制品年消费支出，以居民户为抽 样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每 层按简单随机抽样抽取 10户，调查获得如下数据（单 位：元），要估计该地区居民奶制品年消费总支出及 其95%的置信区间。
N 1 f h 2 1 v pst W v ph 2 sh N h1 nh h 1
L 2 h L 2 h
p h qh W 1 f h nh 1 h 1
2 h
L
2017/7/10
24
第三节 比率估计量及其性质
先“比”后“加权”，此时所得的估计量称为 分别比估计（separate ratio estimator） 先 “加权”后“比”，这样所得的估计量称为 联合比估计（combined ratio estimator）
4
4
4
ˆ v Y ˆ 23208 s Y
ˆ ts Y
2017/7/10
ˆ 209650 2 23208 Y
21
三、对总体比例的估计
总体比例P的估计为：pst Wh ph
h 1
L
估计量的性质
性质1：对于一般的分层抽样，如果 ph是 Ph 的无偏估计 pst 的方差为： （h 1,2,, L ），则 pst 是 P的无偏估计。
L
2017/7/10 27
证明
根据比估计量的性质，当 nh 比较大时，有
E( yRh ) Yh
(1 f h ) 2 2 2 ( S yh Rh S xh 2 Rh h S yh S xh ) nh
L h 1
MSE( yRh ) V ( yRh )
L h 1
E ( yRS ) Wh E ( yRh ) WhYh Y
L
L
N Y hh
h 1
L
分层随机样本，总体均值 Y 的简单估计
1 y st Wh y h N h 1
N
h 1
L
h
yh
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估计量的性质
是 Yh 的无 性质1&2：对于一般的分层抽样，如果 Y h 偏估计（ h 1,2, , L ），则 Y 是Y 的无偏估计。 st Yst 的方差为：
L
1 L 1 L Y WhYh N hYh Yh Y N h1 N h1 N h 1 估计量的方差 L L L L 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ,Y ˆ V Yst V WhYh Wh V Yh 2WhWk Cov Y h k h 1 k h h1 h1 由于各层是独立抽取的，因此上式第二项中的协方差全 L ˆ W 2V Y ˆ 为0，从而有 V Y
层 居民户 总数
200 400 750 1500
样本户奶制品年消费支出
1 10 50 180 50 2 40 130 260 35 3 0 60 110 15 4 110 80 0 0 5 15 100 140 20 6 10 55 60 30 7 40 160 200 25 8 80 85 180 10 9 90 160 300 30 10 0 170 220 25