第九讲地统计分析方法
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基础知识
地统计（Geostatistics）又称地质统计，是在法国著 名统计学家 G. Matheron 大量理论研究的基础上 逐渐形成的一门新的统计学分支。它是以区域化 变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性 又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现 象的一门科学。 凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性 和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对 这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数 据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理 论与方法。 地统计分析的核心就是通过对采样数据的分析、对 采样区地理特征的认识选择合适的空间内插方法 1 创建表面。
3
区域化变量
当一个变量呈现一定的空间分布时，称之为区 域化变量，它反映了区域内的某种特征或现象。 区域化变量与一般的随机变量不同之处在于， 一般的随机变量取值符合一定的概率分布，而 区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的 值。而当区域化变量在区域内确定位置取值时， 表现为一般的随机变量，也就是说，它是与位 置有关的随机变量。 区域化变量具有两个显著特征：即随机性和结 构性。
（一）协方差函数
协方差函数的概念
区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示。 在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为
cov( x, y) E[(x Ex)( y Ey)]
(4.2.1)
E(.)为期望值. 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量 和的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即
前提假设
随机过程 地统计学认为研究区域中的所有样本值都是随 机过程的结果，即所有样本值都不是相互独 立的，它们是遵循一定的内在规律的。因此 地统计学就是要揭示这种内在规律，并进行 预测。 正态分布 若不符合正态分布的假设，应对数据进行变换， 转为符合正态分布的形式，并尽量选取可逆 的变换形式。
式中：m为样本平均数，可由一般算术平 均数公式求得，即
1 m N
Z (x )
i 1 i
n
（二）变异函数
变异函数的概念
变异函数variograms），又称变差函 数、变异矩，是地统计分析所特有的基本 工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空 间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x) 在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的 一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异 函数，记为γ(h)，即
Z ( xi ) 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后； 为 Z ( x) 在空间位置 x i 处的实测值；Z ( xi h) 是 Z ( x) 在 x i 处距离偏离h的实测值[i=1，2，…， N ( h) ]，N ( h) 是分隔 距离为h时的样本点对（paris）总数， Z ( xi )和 Z ( xi h) 分别为 Z ( xi ) 和 Z ( xi h) 的样本平均数,即
Z ( x) Z ( xu , xv , xw )
Cov[Z ( x), Z ( x h)] E[Z ( x)Z ( x h)] E[Z ( x)]E[Z ( x h)]
（4.2.2）
协方差函数的计算公式
1 N (h) c(h) [ Z ( xi ) Z ( xi )][Z ( xi h) Z ( xi h)](4.2.3) N (h) i 1
2
平稳性
包括两种平稳性：一类是均值平稳；另一类是与协方差 函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳。 均值平稳，即假设均值是不变的并且与位置无关； 二阶平稳是假设具有相同的距离和方向的任意两点的 协方差是相同的，协方差只与这两点的值相关而 与它们的位置无关； 内蕴平稳假设是指具有相同距离和方向的任意两点的 方差（即变异函数）是相同的。二阶平稳和内蕴 平稳都是为了获得基本重复规律而作的基本假设， 通过协方差函数和变异函数可以进行预测和估计 预测结果的不确定性。
E[Z ( x h)] E[Z ( x)]
因此，公式可以改写为
( x, h )
从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x和 h ，当变异函数 ( x, h) 仅仅依赖于距离 h 而与位置x无关时， ( x, h) 可改写成 (h) ，即
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
1 Z ( xi ) N
Z (x )
i 1 i
N
(4.2.4)
i
1 Z ( xi h) N
ห้องสมุดไป่ตู้
Z ( x h)
i 1
N
(4.2.5)
若 Z ( xi ) = 以改写为
Z ( xi h)
=m（常数），则上式可
(4.2.6)
1 N ( h) 2 c(h) [ Z ( x ) Z ( x h )] m i i N (h) i 1
1 E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
(4.2.8)
(4.2.9)
变异函数的性质
设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳 假设条件下，变异函数式具有如下性质： (1) (0) =0，即在h=0处，变异函数为0；
(2) (h) = (h) ，即 (h) 关于直线 h=0 是 对称的，它是一个偶函数； (3) (h)≥0，即 (h) 只能大于或等于0；
( x, h) Var [ Z ( x) Z ( x h)]
1 方差等于平方均值减去均值的平方 2 1 1 E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 {E[ Z ( x)] E[ Z ( x h)]} 2 2 2
(4.2.7)
在二阶平稳假设条件下，对任意的h有
4
地统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究那些在空间 分布上既有随机性又有结构性，或空间相 关和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变 量理论为基础建立起来的地统计学的两个 最基本的函数。地统计学的主要方法之一， 克立格法就是建立在变异函数理论和结构 分析基础之上的。
地统计（Geostatistics）又称地质统计，是在法国著 名统计学家 G. Matheron 大量理论研究的基础上 逐渐形成的一门新的统计学分支。它是以区域化 变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性 又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现 象的一门科学。 凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性 和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对 这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数 据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理 论与方法。 地统计分析的核心就是通过对采样数据的分析、对 采样区地理特征的认识选择合适的空间内插方法 1 创建表面。
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区域化变量
当一个变量呈现一定的空间分布时，称之为区 域化变量，它反映了区域内的某种特征或现象。 区域化变量与一般的随机变量不同之处在于， 一般的随机变量取值符合一定的概率分布，而 区域化变量根据区域内位置的不同而取不同的 值。而当区域化变量在区域内确定位置取值时， 表现为一般的随机变量，也就是说，它是与位 置有关的随机变量。 区域化变量具有两个显著特征：即随机性和结 构性。
（一）协方差函数
协方差函数的概念
区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示。 在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为
cov( x, y) E[(x Ex)( y Ey)]
(4.2.1)
E(.)为期望值. 区域化变量在空间点x和x+h处的两个随机变量 和的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数，即
前提假设
随机过程 地统计学认为研究区域中的所有样本值都是随 机过程的结果，即所有样本值都不是相互独 立的，它们是遵循一定的内在规律的。因此 地统计学就是要揭示这种内在规律，并进行 预测。 正态分布 若不符合正态分布的假设，应对数据进行变换， 转为符合正态分布的形式，并尽量选取可逆 的变换形式。
式中：m为样本平均数，可由一般算术平 均数公式求得，即
1 m N
Z (x )
i 1 i
n
（二）变异函数
变异函数的概念
变异函数variograms），又称变差函 数、变异矩，是地统计分析所特有的基本 工具。 在一维条件下变异函数定义为，当空 间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x) 在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的 一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异 函数，记为γ(h)，即
Z ( xi ) 式中：h为两样本点空间分隔距离或距离滞后； 为 Z ( x) 在空间位置 x i 处的实测值；Z ( xi h) 是 Z ( x) 在 x i 处距离偏离h的实测值[i=1，2，…， N ( h) ]，N ( h) 是分隔 距离为h时的样本点对（paris）总数， Z ( xi )和 Z ( xi h) 分别为 Z ( xi ) 和 Z ( xi h) 的样本平均数,即
Z ( x) Z ( xu , xv , xw )
Cov[Z ( x), Z ( x h)] E[Z ( x)Z ( x h)] E[Z ( x)]E[Z ( x h)]
（4.2.2）
协方差函数的计算公式
1 N (h) c(h) [ Z ( xi ) Z ( xi )][Z ( xi h) Z ( xi h)](4.2.3) N (h) i 1
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平稳性
包括两种平稳性：一类是均值平稳；另一类是与协方差 函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳。 均值平稳，即假设均值是不变的并且与位置无关； 二阶平稳是假设具有相同的距离和方向的任意两点的 协方差是相同的，协方差只与这两点的值相关而 与它们的位置无关； 内蕴平稳假设是指具有相同距离和方向的任意两点的 方差（即变异函数）是相同的。二阶平稳和内蕴 平稳都是为了获得基本重复规律而作的基本假设， 通过协方差函数和变异函数可以进行预测和估计 预测结果的不确定性。
E[Z ( x h)] E[Z ( x)]
因此，公式可以改写为
( x, h )
从上式可知，变异函数依赖于两个自变量 x和 h ，当变异函数 ( x, h) 仅仅依赖于距离 h 而与位置x无关时， ( x, h) 可改写成 (h) ，即
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
1 Z ( xi ) N
Z (x )
i 1 i
N
(4.2.4)
i
1 Z ( xi h) N
ห้องสมุดไป่ตู้
Z ( x h)
i 1
N
(4.2.5)
若 Z ( xi ) = 以改写为
Z ( xi h)
=m（常数），则上式可
(4.2.6)
1 N ( h) 2 c(h) [ Z ( x ) Z ( x h )] m i i N (h) i 1
1 E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
(4.2.8)
(4.2.9)
变异函数的性质
设Z(x)是区域化变量，在满足二阶平稳 假设条件下，变异函数式具有如下性质： (1) (0) =0，即在h=0处，变异函数为0；
(2) (h) = (h) ，即 (h) 关于直线 h=0 是 对称的，它是一个偶函数； (3) (h)≥0，即 (h) 只能大于或等于0；
( x, h) Var [ Z ( x) Z ( x h)]
1 方差等于平方均值减去均值的平方 2 1 1 E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 {E[ Z ( x)] E[ Z ( x h)]} 2 2 2
(4.2.7)
在二阶平稳假设条件下，对任意的h有
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地统计学是以区域化变量理论为基础， 以变异函数为主要工具，研究那些在空间 分布上既有随机性又有结构性，或空间相 关和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变 量理论为基础建立起来的地统计学的两个 最基本的函数。地统计学的主要方法之一， 克立格法就是建立在变异函数理论和结构 分析基础之上的。