最新微分几何 陈维桓 第四章讲稿

微分几何陈维桓第
四章讲稿
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第四章曲面的第二基本形式 (50)
§ 4.1 第二基本形式 (50)
§ 4.2 法曲率 (51)
§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (54)
一、Gauss映射和Weingarten变换 (54)
二、主曲率和主方向 (55)
§ 4.4 主方向和主曲率的计算 (57)
一、Gauss曲率和平均曲率 (57)
二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (58)
三、第三基本形式 (59)
§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (60)
§ 4.6 某些特殊曲面 (63)
一、Gauss曲率«Skip Record If...»为常数的旋转曲面 (63)
二、旋转极小曲面 (64)
第四章 曲面的第二基本形式
本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面
计划学时：12学时，含习题课3学时.
难点：主方向与主曲率
§ 4.1 第二基本形式
设«Skip Record If...»为正则曲面，«Skip Record If...»是单位法向量. 向量函数«Skip Record If...»的一阶微分为
«Skip Record If...»，
二阶微分为
«Skip Record If...».
由于«Skip Record If...»，再微分一次，得«Skip Record If...».
定义 二次微分式
«Skip Record If...» (1.6)
称为曲面«Skip Record If...»的第二基本形式(second fundamental form)，其中
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...» (1.4-5)
称为曲面«Skip Record If...»的第二类基本量.
第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度.由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量«Skip Record If...»一般都会改变.
(,)n u v (,r u u v +∆(,)
r u v r ∆
第二基本形式与空间坐标系的选取无关.
对曲面«Skip Record If...»作参数变换
«Skip Record If...» (1.7) 在新的参数下，
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...». (1.10) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...».
在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律.事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi矩阵为
«Skip Record If...».
则
«Skip Record If...». (1.14) 从而
«Skip Record If...»，
即有
«Skip Record If...». (1.13)例求平面«Skip Record If...»和圆柱面«Skip Record If...»的第二基本形式.
解. (1) 对平面，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».
(2) 对圆柱面，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».因
此
«Skip Record If...»，
«Skip Record If...».□
定理1.1 正则曲面«Skip Record If...»是平面(或平面的一部分)，当且仅当«Skip Record If...»的第二基本形式«Skip Record If...».
证明“«Skip Record If...»”平面«Skip Record If...»的单位法向量«Skip Record If...»是常向量，故«Skip Record If...».
“«Skip Record If...»”由«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»得«Skip Record If...».同理有«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»是常向量.于是«Skip Record If...».故«Skip Record If...».□
定理1.2正则曲面«Skip Record If...»是球面(或球面的一部分)，当且仅当«Skip Record If...»的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是非零函数.
证明“«Skip Record If...»”不妨设球心为原点，半径为«Skip Record If...».则
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».从而
«Skip Record If...».
“«Skip Record If...»”由条件，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»(因为«Skip Record If...»是独立的变量).所以
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
又«Skip Record If...».故
«Skip Record If...». (1) 同理有
«Skip Record If...». (2) 因为«Skip Record If...»是三次以上连续可微的，«Skip Record If...».于是
«Skip Record If...»，
即有«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»线性无关，«Skip Record If...».故
«Skip Record If...»是非零常数.由(1)和(2)得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
所以«Skip Record If...»是常向量.从而«Skip Record If...»上的点满足球面方程
«Skip Record If...».□
课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6
§ 4.2 法曲率
设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上过点«Skip Record If...»的一条正则曲线，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弧长参数，«Skip Record If...»为
«Skip Record If...»点的曲纹坐标.则«Skip Record If...»的单位切向量为
«Skip Record If...». (2.3) 根据Frenet公式，«Skip Record If...»的曲率向量
«Skip Record If...»， (2.4) 其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的曲率.设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的单位法向量，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...».
定义函数
«Skip Record If...» (2.6)
«Skip Record If...» (2.5) 称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点沿着切方向«Skip Record If...»(即«Skip Record If...»)的法曲率(normal curvature).
注曲面上所有在«Skip Record If...»点相切的曲线在«Skip Record If...»点有相同的法曲率，并且在«Skip Record If...»点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面(«Skip Record If...»的法平面«Skip Record If...»)内的一个直径为«Skip Record If...»的圆周上：曲率中心为
«Skip Record If...».
∏
n
α
β
沿着曲线«Skip Record If...»，有«Skip Record If...».由于«Skip Record If...»是弧长参数，因此在«Skip Record If...»点成立
«Skip Record If...».
定义2.1在曲面«Skip Record If...»上对应于参数«Skip Record If...»的点«Skip Record If...»处，沿着切方向«Skip Record If...»的法曲率为
«Skip Record If...». (2.8) 注法曲率除了与点«Skip Record If...»有关，还与切方向即比值«Skip Record If...»有关.但是与切向量«Skip Record If...»的大小无关.上面的定义不要求以«Skip Record If...»为切向量的曲线«Skip Record If...»以弧长«Skip Record If...»为参数.
定义曲面«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的一个切方向«Skip Record If...»与«Skip Record If...»点的法线确定的平面«Skip Record If...»称为由切方向«Skip Record If...»确定的法截面.法截面«Skip Record If...»与曲面«Skip Record If...»的交
线称为该点的一条法截线.
定理2.1曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点，沿切方向«Skip Record If...»的法曲率«Skip Record If...»等于该切方向确定的法截线«Skip Record If...»在相应的有向法截面«Skip Record If...»(以«Skip Record If...»为平面«Skip Record If...»的定向)中的相对曲率，即有«Skip Record If...».
证明设该点是«Skip Record If...»，沿切方向«Skip Record If...»的单位切向量为«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»点的单位法向量为«Skip Record If...».则法截面的定向是«Skip Record If...»，从而法截线«Skip Record If...»的弧长参数方程为
«Skip Record If...»，
其中«Skip Record If...». 因为«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的切向量，
«Skip Record If...».从而«Skip Record If...».因此«Skip Record If...»是由«Skip Record If...»确定的切方向.由定义，沿切方向«Skip Record If...»的法曲率
«Skip Record If...».
另一方面，法截线«Skip Record If...»在该点的相对曲率
«Skip Record If...».
所以有«Skip Record If...».□
例(1) 平面的法曲率.
在平面«Skip Record If...»上，«Skip Record If...».所以在任意点«Skip Record If...»，沿任意切方向«Skip Record If...»，都有法曲率«Skip Record If...».
(2)圆柱面«Skip Record If...»的法曲率.
对圆柱面，由上一节的例，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...».
(3) 球面«Skip Record If...»的法曲率.
由定理1.2，«Skip Record If...».所以«Skip Record If...»是非零常数.□
定理2.2 在曲面«Skip Record If...»上任意一点«Skip Record If...»处，法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.
证明在固定点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»都是常数，法曲率«Skip Record If...»仅与比值«Skip Record If...»有关.取«Skip Record If...»点邻近的正交参数网.则任意单位切向量«Skip Record If...»，可以写成
«Skip Record If...»，
其中
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
即
«Skip Record If...».
沿着切方向«Skip Record If...»的法曲率
«Skip Record If...» «Skip Record If...»
是«Skip Record If...»上的连续可微周期函数，必定在闭区间«Skip Record If...»上取到最大值和最小值.
如果«Skip Record If...»是常值函数，则«Skip Record If...»在任意两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.
设«Skip Record If...»不是常值函数，则它的最大值和最小值不相等.通过对曲面作参数变换
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
不妨设在«Skip Record If...»处«Skip Record If...»取到最大值«Skip Record If...».由于
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
并且«Skip Record If...»，有
«Skip Record If...».
所以«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处取到最小值«Skip Record If...».□
定义2.2在曲面«Skip Record If...»上一个固定点«Skip Record If...»处，法曲率取最大值和最小值的切方向称为曲面«Skip Record If...»在该点的主方向(principal direction)，相应的法曲率称为«Skip Record If...»在该点的主曲率(principal curvature).
注由上面的推导过程可知，如果在«Skip Record If...»点«Skip Record If...»不是常值函数，«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»上只有4个零点，所以在
«Skip Record If...»点«Skip Record If...»只有两个主曲率«Skip Record If...»，«Skip Record If...».于是有下面的Euler公式：
«Skip Record If...»，
其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...».
定义2.3 (1) 在曲面«Skip Record If...»上一点，使法曲率为零的切方向«Skip Record If...»称为该点的一个渐近方向(asymptotic direction).
(2) 设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条曲线.若«Skip Record If...»上每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条渐近曲线(asymptotic curve).
在一点«Skip Record If...»处，渐近方向«Skip Record If...»是二次方程
«Skip Record If...» (2.5) 的解.当«Skip Record If...»时，有两个实渐近方向
«Skip Record If...»；
当«Skip Record If...»时，只有一个实渐近方向«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，没有实渐近方向.
让«Skip Record If...»变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分方程.如果在曲面上每一点，«Skip Record If...»，则曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向向量场.根据第三章定理4.1，在曲面上有由渐近曲线构成的参数曲线网，称为渐近线网.
定理2.3 参数曲线网是渐近线网的充分必要条件是：«Skip Record If...».
证明“«Skip Record If...»”在«Skip Record If...»-曲线上«Skip Record If...».由(2.5)得«Skip Record If...». 同理可得«Skip Record If...».
“«Skip Record If...»” (2.5)现在成为«Skip Record If...». 因此«Skip Record If...»-曲线和«Skip Record If...»-曲线都是渐近曲线.□
定理2.4设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条曲线.则«Skip Record If...»是渐近线，当且仅当«Skip Record If...»是直线，或«Skip Record If...»的密切平面与曲面的切平面重合.
证明由公式«Skip Record If...»可得.□
课外作业：习题1，4，7.
§ 4.3 Weingarten映射和主曲率
一、Gauss映射和Weingarten变换
设«Skip Record If...»(«Skip Record If...»)是一个正则曲面，«Skip Record If...»是它的单位法向量.向量函数«Skip Record If...»定义了一个映射«Skip Record If...»，
其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»中的单位球面.因为空间«Skip Record If...»中的点与它的位置向量是一一对应的，映射«Skip Record If...»诱导了映射
«Skip Record If...». (3.1)
这个映射«Skip Record If...»称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不一定是«Skip Record If...»的一个区域.
Gauss 映射«Skip Record If...»的切映射«Skip Record If...»是一个线性映射，满足«Skip Record If...»，即
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3.2)
特别有
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (3.4)
因为«Skip Record If...»同时也是«Skip Record If...»的法向量，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的切平面是平行的，从而在自由向量的意义下可将«Skip Record If...»与«Skip Record If...»等同.
定义 线性映射«Skip Record If...»称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record
If...»点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).
事实上，因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...». 由定义可知， 二、主曲率和主方向
定理3.1 «Skip Record If...». □
定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换«Skip Record If...»是自共轭(对称)的，即
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
证明 «Skip Record If...»
«Skip Record If...»
«Skip Record If...». □
根据线性变换理论，Weingarten 变换«Skip Record If...»的2个特征值«Skip
Record If...»都是实的(这2个特征值可能相等). 设«Skip Record If...»分别是从属于它们的特征向量，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 当«Skip Record If...»2⊂(,)n u v (,)
n u v 11(,)n u v 11(,)n u v r
n
时，«Skip Record If...»所确定的切方向«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是唯一的，且相互正交.当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»中的任何非零向量都
是特征向量.因此仍然有两个相互正交的特征方向.
定理3.3在曲面«Skip Record If...»上任意一点«Skip Record If...»处，«Skip Record If...»的2个特征值«Skip Record If...»正好是曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的主曲率，对应的特征方向是曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的主方向.
证明取«Skip Record If...»的由«Skip Record If...»的特征向量构成的单位正交基«Skip Record If...»，使得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， (3.12) 并设«Skip Record If...».
对任意一个单位切向量«Skip Record If...»，可设
«Skip Record If...». (3.13) 则有
«Skip Record If...». (3.14) 于是沿切方向«Skip Record If...»的法曲率为
«Skip Record If...»
由«Skip Record If...»可知
«Skip Record If...»，
并且«Skip Record If...»在«Skip Record If...»时取最大值«Skip Record If...»，在«Skip Record If...»时取最小值«Skip Record If...». 所以«Skip Record If...»就是曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的主曲率«Skip Record If...»，相应的切方向«Skip Record If...»就是主方向. □
注1 由定理可知沿特征方向«Skip Record If...»的法曲率«Skip Record If...»就是对应于特征向量«Skip Record If...»的特征值：
«Skip Record If...».
注2曲面«Skip Record If...»在每一点«Skip Record If...»有2个主曲率«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，只有2个主方向，它们相互正交.此时可取2个单位特征向量«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，任何方向都是主方向.此时可任取2个正交的单位特征向量«Skip Record If...».
定理3.4(Euler公式)设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为«Skip Record If...».则对任意单位切向量«Skip Record If...»，沿着«Skip Record If...»方向的法曲率为
«Skip Record If...». (3.15)
在曲面«Skip Record If...»上一点«Skip Record If...»处，如果«Skip Record If...»，则由Euler公式可知沿任何切方向«Skip Record If...»，都有
«Skip Record If...»， (3.16) 即«Skip Record If...».这样的点称为脐点(umbilical point).此时在该点有
«Skip Record If...». (3.17) 当«Skip Record If...»时，该点称为平点(planar point)；当«Skip Record If...»时，该点称为圆点(circle point).
定理1.1和定理1.2的推论曲面«Skip Record If...»是平面(或其一部分)，当且仅当«Skip Record If...»上的点都是平点；曲面«Skip Record If...»是球面(或其一部分)，当且仅当«Skip Record If...»上的点都是圆点.
定义3.1 设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条曲线.若«Skip Record If...»上每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上的一条曲率线(curvature line).
定理3.5(Rodriques定理) 曲面«Skip Record If...»上一条正则曲线«Skip Record If...»是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...».
证明. 由定义，«Skip Record If...»是曲率线，当且仅当对所有的«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是Weingarten变换的特征向量，即«Skip Record If...»，也就是«Skip Record If...».□
定理3.6曲面«Skip Record If...»上一条曲线«Skip Record If...»是曲率线的充分必要条件是：曲面«Skip Record If...»的沿着曲线«Skip Record If...»的法线构成可展曲面.
证明.对曲面«Skip Record If...»上任意一条曲线«Skip Record If...»，曲面«Skip Record If...»的沿着曲线«Skip Record If...»的法线构成直纹面
«Skip Record If...»，
其中«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的弧长参数.由于«Skip Record If...»和«Skip Record If...»是相互正交的单位向量，从而是线性无关的.
«Skip Record If...»是可展曲面«Skip Record If...»«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...».
上式两边与«Skip Record If...»作内积可得«Skip Record If...»，从而上式等价于
«Skip Record If...»，
这正好是曲线«Skip Record If...»是曲率线的充分必要条件.□
例3.1求旋转面上的曲率线.
解设旋转面的方程为«Skip Record If...». 其中«Skip Record If...»，并且«Skip Record If...»是经线的弧长参数，«Skip Record If...». 则
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
由于
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
并且«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 所以u-曲线(纬线圆)和v-曲线(经线)都是曲率线. 当«Skip Record If...»时，这个旋转面是平面，任何曲线都是曲率线. 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...». 如果«Skip Record If...»是常数，即经线是圆弧，则旋转面是球面.此时任何曲线都是曲率线. □
例3.2求可展曲面上的曲率线.
解设可展曲面方程为«Skip Record If...». 已经知道它的单位法向量«Skip Record If...»与v无关，沿着v-曲线(直母线)有«Skip Record If...». 所以v-曲线是它的一族曲率线. 于是v-曲线的正交轨线是它的另一族曲率线. 如果可展曲面是平面，任何曲线都是曲率线. □
课外作业：习题1，4，5
§ 4.4 主方向和主曲率的计算
一、Gauss曲率和平均曲率
设曲面«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»分别是«Skip Record If...»的第一、第二类基本量.
引理设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»点的主曲率，则«Skip Record If...»满足
«Skip Record If...»， (4.4) 即«Skip Record If...»是二次方程«Skip Record If...»的根，也就是方程
«Skip Record If...» (4.8) 的根，其中«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，分别称为曲面«Skip Record If...»的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss曲率(或总曲率)(Gaussian curvature).换句话说，
«Skip Record If...». (4.9)
证明.设«Skip Record If...»是对应的主方向.则有«Skip Record If...»，即
«Skip Record If...».
分别用«Skip Record If...»与上式两边作内积，得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
所以主方向«Skip Record If...»满足
«Skip Record If...» (4.3) 由于«Skip Record If...»不全为零，可得(4.4)式.□
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»点的两个主曲率.由根与系数的关系可得
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.6-7) 因此
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.9) «Skip Record If...»点是脐点的充分必要条件是在«Skip Record If...»点成立«Skip Record If...».
注方程(4.4)即(4.8)是Weingarten变换的特征方程，在保持定向的参数变换下保持不变.事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号.因此平均曲率«Skip Record If...»在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号.而Gauss曲率«Skip Record If...»在参数变换下保持不变.
定理4.1假定曲面«Skip Record If...»是«Skip Record If...»次连续可微的.则主曲率函数«Skip Record If...»是连续的，且在非脐点邻近是«Skip Record If...»次连续可微的.□
在脐点，«Skip Record If...»，«Skip Record If...».从而由«Skip Record If...»可知«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，(4.3)中的两个方程成为恒等式.此时，任何方向都是主方向.
在非脐点，分别用«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入(4.3)，得到相应的主方向
«Skip Record If...» (4.10) 和
«Skip Record If...». (4.11)
将(4.3)改写成
«Skip Record If...» (4.12) 由于«Skip Record If...»不全为零，有
«Skip Record If...»， (4.14) 即
«Skip Record If...». (4.15) 上式可写成
«Skip Record If...». (4.16)
(4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率线的微分方程.
定理4.2 设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上一个固定点，它的曲纹坐标为«Skip Record If...».则在该点参数曲线的切方向是相互正交的主方向，当且仅当在该点有«Skip Record If...»，«Skip Record If...».此时，曲面«Skip Record If...»在该点的两个主曲率分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...».
证明必要性.在«Skip Record If...»点，«Skip Record If...»-曲线和«Skip Record If...»-曲线相互正交，故
«Skip Record If...». (1) 又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的特征向量，故 «Skip Record If...»，
«Skip Record If...».
分别用«Skip Record If...»与上面两式作内积得«Skip Record If...»，并且
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (4.17) 充分性.由条件，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»相互正交.又
«Skip Record If...».
因此«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的特征向量.□
下面的两个定理是定理4.2的直接推论.
定理4.3 参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是«Skip Record If...»，此时
«Skip Record If...». (4.18)
定理4.4 在非脐点，定理4.3中的参数曲线网局部总是存在的.□
注若曲面«Skip Record If...»上没有脐点，则可取正交的曲率线网作为参数曲线网.事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主方向«Skip Record If...»和«Skip Record If...». 从而有两个相互正交的非零向量场«Skip Record If...»和«Skip Record If...»，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线网是存在的.
若曲面«Skip Record If...»上的点都是脐点，则曲面上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线网都是曲率线网.但是在孤立脐点邻近，未必有正交的曲率线网作为参数曲线网.
二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵
我们知道«Skip Record If...»是切空间«Skip Record If...»的基，称为«Skip Record If...»的自然基.在这组基下，设Weingarten变换的矩阵为
«Skip Record If...»，
即
«Skip Record If...»， (4.19) 也就是
«Skip Record If...»
分别用«Skip Record If...»与上面二式作内积得
«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...»
«Skip Record If...». (4.21) 代入(4.19)得
«Skip Record If...»
«Skip Record If...». (4.22) 我们知道Weingarten变换«Skip Record If...»的特征多项式
«Skip Record If...»
«Skip Record If...».
其中«Skip Record If...»是单位矩阵. «Skip Record If...»的特征值«Skip Record If...»是特征多项式«Skip Record If...»的根，与基的取法无关，从而Gauss曲率
«Skip Record If...»
和平均曲率
«Skip Record If...»
与参数取法无关，是曲面的几何不变量.
Gauss曲率«Skip Record If...»的几何意义：从(4.19)可得
«Skip Record If...».
因此曲面«Skip Record If...»上一个区域«Skip Record If...»在Gauss映射«Skip Record If...»下的像«Skip Record If...»的面积元素
«Skip Record If...». (4.23) 所以«Skip Record If...»的面积
«Skip Record If...».
根据积分中值定理，存在«Skip Record If...»使得
«Skip Record If...».
让区域«Skip Record If...»收缩到一点«Skip Record If...»，取极限得到
«Skip Record If...». (4.25)这个公式是曲线论中
«Skip Record If...»
的一个推广,其中«Skip Record If...»是曲线上一段由«Skip Record If...»到
«Skip Record If...»的弧在切线像«Skip Record If...»下的弧长.
三、第三基本形式
定义设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»的单位法向量.二次微分式
«Skip Record If...» (4.27) 称为曲面«Skip Record If...»的第三基本形式，其中
«Skip Record If...». (4.28)
注利用Gauss映射，第三基本形式«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是单位球面«Skip Record If...»的第一基本形式.
定理4.5 曲面«Skip Record If...»上的三个基本形式满足«Skip Record If...».
证明因为Weingarten变换«Skip Record If...»的特征多项式为«Skip Record If...»，所以
«Skip Record If...».
其中«Skip Record If...»是单位变换. 于是有
«Skip Record If...»
同理可得«Skip Record If...»，«Skip Record If...». □
课外作业：习题2，4，6
§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开
设«Skip Record If...»是曲面«Skip Record If...»上一个固定点，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten变换的特征向量)，对应的主曲率为«Skip Record If...».对单位切向量«Skip Record If...» («Skip Record If...»)，沿该方向的法曲率为«Skip Record If...».当«Skip Record If...»时，在«Skip Record If...»点的切平面«Skip Record If...»中取一点«Skip Record If...»使得
«Skip Record If...». (5.3) «Skip Record If...»点切平面«Skip Record If...»中这样的点«Skip Record If...»的轨迹称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的Dupin标形(或标线indicatrix).
在平面«Skip Record If...»中取直角标架«Skip Record If...», 现在来导出Dupin标线的方程.
设轨迹上的点«Skip Record If...»在此坐标系中的坐标为«Skip Record If...».则
«Skip Record If...».
因此
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (5.4) 由Euler公式得到
«Skip Record If...». (5.5) 这就是Dupin标线的直角坐标方程，它是平面«Skip Record If...»中的二次曲线.如果在平面«Skip Record If...»中取极坐标系，那么Dupin标线的极坐标方程可由(5.3)立即得到：
«Skip Record If...». (5.5)’当«Skip Record If...»点的Gauss曲率«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»同号，Dupin标线(5.5)是一个椭圆
«Skip Record If...». (5.6) 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»异号，Dupin标线(5.5)是两对共轭双曲线
«Skip Record If...». (5.7) 它们的公共渐近线的方向正是曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的渐近
方向«Skip Record If...».
当«Skip Record If...»时，若«Skip Record If...»，«Skip Record If...»不全为零，Dupin标线(5.5)是两条平行直线
«Skip Record If...» («Skip Record If...») 或 «Skip Record If...» («Skip Record If...»).
(5.8)
定义. 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»点为曲面«Skip Record If...»上的椭圆点；若«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»点为曲面«Skip Record If...»上的双曲点；若«Skip Record If...»，则称«Skip Record If...»点为曲面«Skip Record If...»上的抛物点.
下面考察曲面«Skip Record If...»在一点«Skip Record If...»邻近的形状.在«Skip Record If...»点邻近取正交参数曲线网«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»点对应的参数为«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是«Skip Record If...»点的两个单位主向量.则«Skip Record If...»，且在«Skip Record If...»点
有
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...
». (5.9) 以标架«Skip Record If...»建立«Skip Record If...»的坐标系.根据Taylor公式， «Skip Record If...»
«Skip Record If...», (5.10) 其中«Skip Record If...».由于
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»，
«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， (5.11) (5.10)可化为
«Skip Record If...». (5.12) (5.12)称为曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点的标准展开.当«Skip Record If...»充分小时，我们得到«Skip Record If...»的近似曲面«Skip Record If...»，在标架«Skip Record If...»下，«Skip Record If...»的参数方程为«Skip Record If...»，显式方程为
«Skip Record If...». (5.14)
直接计算可知近似曲面«Skip Record If...»与原曲面«Skip Record If...»在«Skip Record If...»点相切(即它们的切平面相同).并且沿着«Skip Record If...»点切空间的任何相同的切方向，两者有相同的法曲率，即在«Skip Record If...»点具有公共切方向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲方向.
在椭圆点«Skip Record If...»，近似曲面«Skip Record If...»是椭圆抛物面. «Skip Record If...»在«Skip Record If...»点是凸的.
在双曲点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是双曲抛物面. «Skip Record If...»在«Skip Record If...»点不是凸的，且«Skip Record If...»点的切平面与«Skip Record If...»相交成两条直线，它们是«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的两条渐近曲线.
在非平点的抛物点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是抛物柱面，«Skip Record If...»点的切平面与«Skip Record If...»相交成一条直线，是«Skip Record If...»上过«Skip Record If...»点的渐近曲线.
在平点«Skip Record If...»，«Skip Record If...»是平面.此时，要考察曲面«Skip Record If...»的近似形状，需要将Taylor展式(5.10)展开到更高阶的项.见例5.2.
用平面«Skip Record If...»去截近似曲面«Skip Record If...»，再投影到«Skip Record If...»点的切平面上，就得到«Skip Record If...»点的Dupin标线.。