浅析高中数学教材向量的引入

２ 解 析 几 何 中 的应 用
解 析 几 何 是 代 数 与 几 何 的结 合 点 ， 核 心 内 容是 通 过 建 立 直 其 角 坐 标 系 ， 用 代 数 方 法 研 究 曲 线 性 质 。 量 同 样 具 有 这 样 的 特 利 向 点 ， 而 向 量 在 解 析 几 何 中的 应 用 是 顺 理 成 章 的 。 新 教 材 中 ， 因 在 由 于 向 量 的 引 入 改 变 了原 教 材 中第 一章 “ 线 ” 关 问题 的推 导 ， 直 有 如 平面 上 两 点 间距 离 公 式 ， 比分 点 坐 标 公 式 ， 面 坐 标 平移 公式 等 定 平 都从 解 析 几 何 中移 到 本 章 ， 运 用 向量 法 导 出 ， 既 是 向量 法 解 题 并 这 的 实 例 ， 是 新 知 识 的 产 生 。 照 老 教 材 ， 们 不 难 发 现 新 教 材 的 也 对 我 简洁 、 明快 。 时 ， 向 量 用 于解 析 几 何 解 题 ， 使 很 多 运算 不再 纷 同 把 可 繁 复 杂 。 量在 解 决 垂 直 、 角 等 问 题 时 有 它 的 优 越 性 ， 解 析 几 向 夹 而 何中此类问题还是 比较多见的 。 例 ３ 过 坐标 原 点 Ｏ 直线 Ｏ Ｏ ： 作 Ｍ、 Ｎ分 别 交Ｙ ｘ 于Ｍ 、 两 点 ， ５ 。 Ｎ 直
可 见 使 用 向 量 的 优 越 性 在 于 将 错 综 复 杂 的 位 置 关 系 演 化 化 为 ４ ≤ｒ ＋ １ ）１ ｘ ＋１ ） （ ２ － 纯 粹 的代 数 运 算 。 们 在 教 学 中要 让 学 生 了解 向量 不 仅要 作 为 一 我 种 知 识 去 学 习 ， 主 要 的 是 作 为一 种 方 法 ， 种 思 想 去 理 解 。 更 一 ２． １立体 几 何 中的 应用 １ １ ． ４ ４ ２ 高 中立 体 几 何 主 要 培 养 学 生 的 逻 辑 推 理 能 力 与 空 间 想 象 能 ＋ 一 ２－２ ｙ １ ｘ －ｘ ｙ 力， 要求 学 生 能 判 断 点 、 、 的位 置关 系 ， 行 角 、 离 的计 算 ， 线 面 进 距 很 ｌ １ 、 ２ 多 学 生 对 此 感 到 困难 ， 行 立体 几 何 最 大 的 变 化是 引进 空 间 向量 ， 现 即： ＋ 。 声— — Ｔ １ｘ －ｙ 空 间 向量 已是 立 体 几 何 中的 重 要 内容 ， 改 变 了 以往 立 体 几 何 中 它 的 思 维 方 法和 解 题 方 法 ， 用 向量 在 解 决 垂 直 、 角和 距 离 等 问题 利 夹 １ ２ 向量在 三 角 中的 应用 ． 时 有 它 的 优越 性 ， 因为 用 向 量 来运 算 避 免 了繁 琐 的 定性 分 析 ， 问 使 例 ２： 明 ｓｎ 。 ｉ ７ 。 ｉ ｌ ＋ｓｎ２ ｏ ｉ ９ 证 ｉ ５ ＋ｓｎ ７ ＋ｓｎ ４ ｉ ２１＋ｓｎ２ Ｙ＝０。 题 得 到 了大 大 简化 ， 向量 是 新 教 材 给 予 学 生 的 一 个 简 单 有 力 的 解 分析 ： 题若作为 “ 角” 题来处理 ， 此 三 问 当然 也 可 以 证 出来 ， 但 使 使 从 题 中的 数 量 特 征 来 看 ， 现 这 些 角都 依次 相 差 ７ 。 联 想 到 正 五 决 几 何 问题 的 工具 ， 立 体 几 何 与代 数 有 了密 不 可 分 的关 系 ， 得 发 ２ ， 学生感到 立体几何不再 那么遥不可及 。 边 形 的 内 角关 系 ， 由此 构 造 一 个 正 五 边 形 （ 图 １ 示 ） 如 所 。 ２． 其它 学科 中的广 泛 应用 ２ 由于 ＋ ＋ ＋ ＋ ： ． 利 用 向量 的 理论 和 方 法 可 以 有效 地 解 决 数 学 问题 ， 同时 也 能 解 从而 它们 的各个 向量 在Ｙ轴上 的分 量之 和亦 为 ， 故知 原式 成立 。 决物 理 中 的诸如 力、 度 、 速 加速 度 、 位移 等 许 多问题 ， 数学 联 系实 际 为 开拓 了新 的 途径 ， 也使 学 科 交叉 成 为可 能 ， 此 不在 举 例说 明 。 在 总之， 向量 的 引入 为 学 生 提 供 了一 种 重 要 的 ， 有价 值 的 数学 工 具， 创设 了能 使 学 生 以 一种 新 的 角度 来 进 行 数 学 思 维的 情 境 。 利 有 ｃ 于 精 简 内 容 ， 少 不 必 要 的 重 复 ； 利 于 加 强 各部 分 知 识 和 相 互 联 减 有 Ｅ 系 ； 利 于 数 学 思 想 方 法 的 相互 渗 透 ； 利于 学生 创 新 能 力 及建 模 有 有 能力的培养 。 论是从考查知识来 看 ， 无 还是 从 考 查 能 力 来 看 ， 或者 Ｘ 从考查进一步 学习的潜能来看 ， 向量 都 是 很 好 的 素 材 。 Ａ
１ 代 数 中的 应 用
向量 作 为 一 种 既 有 大 小 ， 有 方 向 的量 ， 于具 备 数 的 特 征 ， 又 由 就 成 为 初 等 数 学 中 联 系 函数 、 角 、 列 、 等 式 等 许 多 重 要 内 容 三 数 不 的有 力纽 带 。 们 经 常通 过 构 造 向量 ， 用 向量 运 算 及 向 量 形 的 特 我 利 征来 处 理 代 数 问题 ， 而 拓 宽 了 解 题 的思 路 。 要 合 理 巧 妙 地 构 造 从 而 向量 ， 需 要 学 生 熟 练 掌 握 向 量 的 有 关 定 义 、 质 及 运 算 律 等 。 就 性 １ １ 向量 知识 在不 等 式 中的 应 用 ． 线 ＭＮ交 Ｙ轴 于 点 Ｑ ｏ Ｙ ） 当 ／ ＭＯＮ为锐 角时 ， （ ， 。 求Ｙ。 范 围。 的 例 １ 设 任意 实 数 ｘ、 ： Ｙ满足 ｌ ， ＜１ 求 证 ： ＸＪ ｌ ＜１ ＹＩ ， 解 ： ＯＭ ：（ ５ ）， Ｎ＝（， ） 设 葺， Ｏ ， ；。 ５ ＋ ≥ ＋ 了 — — １ ｘ －ｙ 依 题 意 ＯＭ ． Ｎ ＝ＸＸ ＋２ Ｏ １， ５ ＞０ 分析： 利用 向量数 量 积的 一 个重 要性 质 ｌ ． — ¨ ｆ 形 一ｌ ａ ｌ ， ｂ ≤ｌ 变 ＸＸ １２＞０或 １ Ｘ２＜ 一 １
摘 要 ： 着 以《 随 大纲》为基 础 的数 学教 学 实验 的推 广， 着新 的 高中数 学 国家课 程 标 准的研 制和教 学 实验 ， 向量 ” 入 中学数 学的步 随 “ 进 伐越来越 大。 在新教材 中， 向量 已独立成章 ， 新教材之 所以增 加向量 的内容 ， 不仅是 因 为教材 内容的 陈Ｉ Ｎ而增加 新的 内容 以适 用形式 的需 要， 更是 因为向量是 解决 问题 的有效 的思想方 法， 为教 材增加 了新鲜 的血 液 ， 它 使得教 材体 系更加 富有活 力， 更有利于 学生思维的 发展 。 关 键词 ： 学教 材 向量 引入 数 中图分类 号 ： ３ ６ Ｇ６ ３． 文献标 识码 ： Ａ 文章编 号 ： ７ －９ ９ （ ０ ｏ ｏ （） Ｏ ７ －０ １ ３ ７ ５２ １ ）３ａ－ ０ ９ １ ６ ２ 世纪初 ， Ｏ 人们 把 空 间性 质 与 向量 运 算 联 系起 来 ， 向量 成 为 使 套 具 有 优 良运 算 通 性 的 数 学 体 系 。 向量 具 有 几 何 形 式 与 代 数 形 式 的 双 重 身 份 ， 有 明确 的 几 何 意 义 ， 能象 数 一 样 的 运 算 ， 而 既 又 从 给 了 我 们 一 种 新 的 数 学 方 法 —— 向量 法 。 量 把 几 何 从 思 辨 数 学 向 化成 算 法 数 学 ， 技 巧性 解 题 化 成 算 法 解 题 ， 一 种 简 单 可 行 的 通 将 是 法。 向量 既 有 几 何 、 数 学 中 的 综 合性 特 点 ， 具 有 解 析 法特 点 ， 代 又 是 种 广 泛 应 用 性 的 方 法 。 为一 名 高 中教 师 ， 适 应 高 中教 材 改 革 作 为 的 新 情 况 ， 进 一 步 研 究 了 引入 向 量后 教 材 体 系 发 生 的 变 化 及 向 我 量帮助我们解决 的各类问题 。
即 Ｙ：５ｘ ＋ ２ ｘ １＋ （１ Ｘ） —ｘ ５ （ ） 令Ｘ ＝０， ： ｏ ５ ２ 得 Ｙ ＝一
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由向量 内积性 质 ： ｂ） ｒａ． ≤ ｌ ｌ ｛ ： Ｉ ｂ。 ａ 得
Ｙ ∈ 一 ， ｕ（， 。 ｏ （∞０ 古 ｏ ） ＋）
科教研 究
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浅 析 高 中 数 学 教 材 向量 的 引 入
吴 荣 明 （ 福建 省漳 州市南靖 一 中 福 建漳 州 ３６ ６ ０） ３０
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为 Ｉ ． ｌ ｌ ｌ． ｌ 以 解 决 不 等 式 中一 类 含 有 乘 积 之 和 或 ｚ １ ： ≤ 可 乘 方 之和 的式 子 的题 目 ，
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５ ｘ 一 ５ ，
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证明： 向量 ： 构造
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直线ＭＮ的方程为 ： ， Ｙ一
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可见， 向量 给解 题 带来 了新的 思 路和 新 的生 机 ， 助于 向量 可 使 借 学生 创作 出很 多精 简 优 美 的解 题方 法 ， 这无 疑 可激 发 学生 学 习 向 量 的兴 趣 ， 进探 素 、 促 创新 的意识 ， 从而 提高 分析 问题 、 解决 问题 的能力 。
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＜ ｛ ８ 、
图 １
中 国科教创新导刊 Ｃｈｎ Ｅ ｃ ｔｏ Ｉｎ ｖ ｔｏ ｅ ａｌ ｉａ ｄｕ ａ ｉｎ ｎ ｏ ａ ｉｎ Ｈ ｒ ｄ
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